第十三节平行四边形的性质.doc

平行四边形的性质
[知识要点]
1.你知道平行四边形的定义和表示符号吗？

2.依次从边、角、对角线三个方面，列出平行四边形的性质吧！
（1）边：
（2）角：
（3）对角线：
3.两条平行线间的距离是指什么呢？平行四边形的面积公式是什么呢？
你知道二者有什么关系吗？对于平行四边形的面积，你能找出其中一条规律来吗？

4．平行四边形的知识运用包括三个方面：
(1)直接运用平行四边形的性质去解决问题,求角、线段，证明角相等，互补，证明线段相等或平分；
（2）判定一个四边形是平行四边形，从而判定两直线平行；
（3）先判定一个四边形是平行四边形然后用平行四边形的性质去解决某些问题。
[典型例题]
#利用平行四边形的性质求解边和角
例1—1 在平行四边形ABCD中
（1）若∠A=40°，则∠B= ，∠C= ，∠D= 。
（2）若∠A－∠B=80°，则∠A= ，∠B= 。
（3）若∠A+∠C=220°，则∠A= ，∠B= 。
（4）若周长为44cm，AB－BC=2cm，则CD= ，AD= 。
A
B
C
D
O
例1—2 如图，□ABCD中，AD⊥BD，垂足为D，OA=10，OB=6，求BC、AB的长。

#灵活运用平行四边形性质进行边长、周长计算
A
B
C
D
例2—1 如图，四边形ABCD为平行四形，∠A+∠C=80°，□ABCD的周长为40cm，且AB－BC=2cm，求□ABCD各边长和各内角的度数。

例2—2 已知□ABCD的周长为80cm，AC⊥AB，△ABC的周长为60cm，求AB与BC的长。

A
B
C
D
O
例2—3 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠DAB:∠ABC=1:3，AB=4，BD与AC相交于O，且BD⊥AB，求AD，BC和AC的长。

B
C
D
A
F
E
例2—4 如图，□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E，F，∠ADC=60°，BE=2，CF=1，连结DF，求△DEC的面积。

#利用平行四边形中对角线与边长的关系求取值范围
A
B
C
D
O
例3—1 如图，□ABCD中，对角线AC和BD相交于O点，若AC=8，BD=6，则边AB长的取值范围为（ ）
A．1﹤AB﹤7 B．2﹤AB﹤14
C．6﹤AB﹤8 D．3﹤AB14

例3—2 平行四边形的一边长为10，那么它的对角线长度可以是（ ）
A．8和12 B．20和30 C．6和8 D．4和6

#灵活运用平行四边形的面积公式计算
A
B
C
D
F
E
例4—1 小强家承包了一块苗圃用来养花。如图所示，苗圃的形状为平行四边形，经测量，其周长是36m，从钝角顶点D处向AB、BC引两条高DE、DF的长分别为5m、7m，求这个平行四边形苗圃的面积。

D
C
B
A
h
例4—2 已知□ABCD中周长是36cm，且AB=10cm，AD与BC间的距离为6cm，求：AB与CD之间的距离。

A
B
C
D
E
例4—3 如图，在□ABCD中，对角线AC=21厘米，BE⊥AC，垂足为E，且BE=5厘米，AD=7厘米，试求AD与BC之间的距离。

#利用平行线之间的垂线段处处相等求解
例5—1 如图所示，点A（乡镇）、B（村）、C（村）同处一片平坦的地区，计划经过点A修建一条水泥路L，使点B、C到L的距离相等，在图中画出直线L。
C
A
B

A
B
C
D
E
F
*例6 如图所示，□ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC，垂足为F，AF交BD于E。若DE=2AB，求∠AED的度数。

A
B
C
D
E
M
*例7 如图所示，□ABCD中，BC=2AB，DE⊥AB，M是BC的中点，∠BEM=50°，则∠B的大小是多少？

A
D
B
C
E
F
*例8 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EF∥BD，求证：S△ABE=S△ADF。

*例9 如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF,求证：∠AOB=∠COB
A
B
C
D
E
F
O

[大展身手]
#一、判断题
1．一组对边平行的四边形叫做平行四边形。 ( )
2．一组对边平行而另一组对边相等的四边形为平行四边形。 ( )
3．两条平行线间的距离是指从一边上的任意一点到另一边的距离。 ( )
4．相邻两边相等的平行四边形的四条边都相等。 ( )
5．相邻的两个角都互补的四边形为平行四边形。 ( )
6．平行四边形的对角线相等。 ( )
7．平行四边形的一组邻角的平分线互相垂直。 ( )
8．两组对边平行的四边形是平行四边形。 ( )
9．对角线相等的四边形是平行四边形。 ( )
10．对角线互相平分但不相等的四边形是平行四边形。 ( )
11．有两组邻角互补的四边形是平行四边形。 ( )
12．一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形。 ( )
13．有三个角为直角的四边形是平行四边形。 ( )
二、选择题
1.在□ABCD中，∠A=65°，则∠D的度数是（ ）
A、105° B、115° C、125° D、65°
2.在□ABCD中，∠B-∠A=20°，则∠D的度数是（ ）
A、80° B、90° C、100° D、110°
3.已知□ABCD的周长为40cm，边AB-BC=4cm，则边AD、CD的长为（ ）
A、10cm、14cm B、8cm、12cm C、14cm、10cm D、12cm、8cm
4.如图4-1-1，在□ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF与GH相交于O，则图中共有平行四边形的个数是（ ）
A、4个 B、5个 C、7个 D、9个
5.如图4-1-2，在□ABCD中，E、F分别是边AB、DC的中点，则图中共有平行四边形的个数是（ ）
A、3个 B、4个 C、5个 D、6个
图4-1-2
B
C
F
D
A
E
图4-1-1
B
C
F
G
D
E
A
H

6.在以下平行四边形性质中，错误的说法是（ ）
A、对边平行 B、对角相等 C、对边相等 D、对角线相等
7. □ABCD的对角线相交于O，△OBC的周长为58cm，AD=28cm，两条对角线之差为14cm，则两条对角线的长分别为（ ）
A、23cm和9cm B、23cm和37cm C、8cm和22cm D、24cm和38cm
8. □ABCD的周长为32，5AB=3BC，则对角线AC的取值范围是（ ）
A、6＜AC＜10 B、6＜AC＜16 C、10＜AC＜16 D、4＜AC＜16
9.以长为5cm、4cm、7cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
10.如图4-1-3，在□ABCD中，EF对角线交点O，如果AB=6cm，AD=5cm，OF=2cm，那么四边形BCEF的周长为 ）
A、13cm B、15cm C、11cm D、9.5cm
11.如图4-1-3，在图中有全等三角形（ ）
A、3对 B、4对 C、5对 D、6对
12.在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD与AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长为（ ）
A、3cm B、6cm C、9cm D、12cm
13.如图4-1-4，∥，AB∥CD，CE⊥，FG⊥，E、G为垂足，则下列说法不正确的是（ ）
A、AB=CD B、EC=FG
C、A、B两点的距离就是线段AB的长 D、与的距离就是线段CD的长
14.在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A、1：2：4：2 B、1：2：1：2 C、1：1：2：2 D、1：2：2：1
15.平行四边形两邻角的角平分线相交所成的角是（ ）
A、锐角 B、直角 C、钝角 D、不能确定
图4-1-4
B
D
E
G
F
C
A

图4-1-3
F
B
C
E
D
A
O

二、填空题
1．两组对边分别 的四边形叫做平行四边形，平行四边形的 的两个顶点连成的线段叫做它的对角线。
2．平行四边形的对边 ，对角 。
3．用20cm长的一根铁丝围成一个平行四边形，使长边与短边的比为3:2，则长边长为 ，短边长为 。
4．在平行四边形ABCD中，若∠A=2∠B，则∠A= ，∠B= ，∠C= ，∠D= 。
5．在□ABCD中，∠A：∠B=3：2，则∠C= ，∠D= 。
6．若A、B、C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形一共可以做 个。
7．平行四边形一组邻角的平分线一定是 。
8．平行四边形ABCD中，∠C=∠B+∠D，则∠B= 。
9．平行四边形ABCD的周长为56cm，两邻边之比为3:5，则这两邻边长分别为 。
10．平行四边形一个内角比它的邻补角大24度，则这个内角为 。
11.如图4-1-5，在□ABCD中，BC=2AB，CA⊥AB，则∠B= ，∠CAD= 。
12.已知O是□ABCD的对角线的交点，AB=10cm，BC=8cm，AC=16cm，BD=13cm，则△ODC的周长是 ，△OAD的周长是 。
13.在□ABCD中，如果AC=2cm，BD=6cm，CA⊥AB，那么□ABCD的周长是 cm，面积是 cm2。
14.在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AB交AB于点E，OE=3cm，则AB与CD间的距离为 cm。
15. □ABCD的周长为80cm，对角线AC、BD交于点O，若△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，那么AB= cm，BC= cm。
16.在□ABCD中，∠A=30，AB7cm，AD=6cm，则S□ABCD= 。
17.如图4-1-6，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60°，AE=，AF=，则（1）∠BAD= ，∠C= ，∠D= ；（2）AB= ，BC= 。
图4-1-6
C
F
D
A
B
E
图4-1-5
C
D
A
B

18．过□ABCD的钝角顶点A作两条高AE，AF，若∠B=60°，则∠EAF= 。
19．□ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8cm，则AB= ，BC= 。
20．□ABCD的周长为40，两邻边的比为3：5，其四边的长分别为 。
21．在□ABCD中，∠A的平分线分BC成4 cm和3 cm的两线段，则四边形的周长为 。
22．□ABCD的周长为25 cm，对边距离都为2 cm，则它的面积为 。
23．如果在□ABCD中，AB=8，对角线AC=6，则另一条对角线BD的范围是 。
24．□ABCD的周长为22 cm，AC，BD交于O点，△AOD的周长比△AOB的周长小3 cm，则AD= ，AB= 。
25．过□ABCD的钝角顶点A，分别作两条高AE和AF，若∠EAF=60°，BE=2，DF=3，则
□ABCD的面积为 。
26．已知四边形ABCD中，AD∥BC，分别补上下列条件中的哪一个条件，四边形就为平行四边形：①AD=BC；②AB∥CD；③AB=AD；④∠A=∠C。 （填上序号）
27．平行四边形的两邻边长分别为3和5，其夹角为120°，则该平行四边形的面积为 。

三、解答题
#1．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=140°，求各内角的度数。

#2．平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，AD=5cm，AB=8cm，求EC的长。
A
B
C
D
E

B
C
A
D
M
3．如图，平行四边形ABCD中，AD=2AB，点M为AD的中点，求∠BMC的度数。

图4-1-9
C
F
D
A
B
E
4.如图4-1-9，在□ABCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=2cm，AF=3cm，□ABCD的周长为20cm，求S□ABCD。

5.如图4-1-10，在□ABCD中，D在AB的中垂线DE上，若□ABCD的周长为38cm，△ABD的周长比□ABCD的周长少10cm，求□ABCD的一组邻边的长。

图4-1-10
B
C
D
A
E

B
E
C
D
A
F
6．在□ABCD中，E、F分别是AC、CA延长线上的点，且CE=AF，求证：BF∥DE。

A
F
C
D
B
7．如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，AB=AC=13cm，试说明：四边形AEDF是平行四边形，并求它的周长。

B
C
D
A
E
F
8．如图，在□ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF长多少？

9．如果平行四边形的一组邻边的长相等，且等于其较短的对角线的长，而此对角线的长为4cm，求此平行四边形相邻两内角的度数及各边的长。

10．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，延长AB到点F，延长BA到点E，使得AB=AE=BF，连结CE和DF交于点O，求证：EC⊥DF。（要求完整过程）
F
B
C
D
O
A
E

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