子空间的直和PPT课件.ppt

2 2 线性空间的定义线性空间的定义 与简单性质与简单性质3 3 维数维数 基与坐标基与坐标4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换1 1 集合集合 映射映射5 5 线性子空间线性子空间7 7 子空间的直和子空间的直和8 8 线性空间的同构线性空间的同构6 6 子空间的交与和子空间的交与和第六章 线性空间1.6.7 子空间的直和一、直和的定义二、直和的判定三、多个子空间的直和6.7 子空间的直和子空间的直和2.引入有两种情形：由维数公式设 为线性空间V的两个子空间，此时 即，必含非零向量.6.7 子空间的直和子空间的直和3.情形2）是子空间的和的一种特殊情况直和此时 不含非零向量，即 6.7 子空间的直和子空间的直和4.一、直和的定义设 为线性空间V的两个子空间，若和是唯一的，和就称为直和（direct sum），注意若有 则 1.分解式 唯一的，意即 中每个向量的分解式记作6.7 子空间的直和子空间的直和5.2.2.分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立.例如，R3的子空间这里，在和中，向量的分解式不唯一.所以和 不是直和，而在和中，向量 的分解式是唯一的，是直和.6.7 子空间的直和子空间的直和6.二、直和的判定分解式唯一，1、(定理定理8)8)8)8)和是直和的充要条件是零向量，则必有证：必要性必要性.是直和,而0有分解式即若6.7 子空间的直和子空间的直和7.充分性充分性.故 是直和.有其中 于是 由零向量分解成唯一，即 的分解式唯一.6.7 子空间的直和子空间的直和8.2、和是直和 则有 即 是直和.证：“”若 6.7 子空间的直和子空间的直和9.“”由于是直和，零向量分解式唯一，故任取 6.7 子空间的直和子空间的直和10.证：由维数公式3、和是直和 有，是直和.（由2、得之）6.7 子空间的直和子空间的直和11.总之总之，设为线性空间V V的子空间，则下面四个条件等价:（2）零向量分解式唯一（1）是直和 （3）（4）6.7 子空间的直和子空间的直和12.4、(定理定理10)10)10)10)设U是线性空间V的一个子空间，为U的一个余子空间（余子空间（complementary subspacecomplementary subspace）.则必存在一个子空间W，使 称这样的W证：取U的一组基把它扩充为V的一组基则 6.7 子空间的直和子空间的直和13.余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间).注意注意如，在R3中，设则 但6.7 子空间的直和子空间的直和14.5、设 分别是线性子空间的一组基，则是直和线性无关.证：由题设，6.7 子空间的直和子空间的直和15.若线性无关，则它是 的一组基.从而有“”是直和.6.7 子空间的直和子空间的直和16.若 直和，则从而的秩为rs.所以线性无关.“”6.7 子空间的直和子空间的直和17.1 1、定义中每个向量的分解式三、多个子空间的直和都是线性空间V的子空间，若和是唯一的，则和就称为直和，记作6.7 子空间的直和子空间的直和18.四个条件等价:（2）零向量分解式唯一，即（3）（4）2 2、判定设都是线性空间V V的子空间，则下面（1）是直和 6.7 子空间的直和子空间的直和19.例1 1 每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和.证：设是n维线性空间V的一组基,则 而 故得证.6.7 子空间的直和子空间的直和20.例2 2 已知，设（2）当 时，证明：（1）的子空间.是6.7 子空间的直和子空间的直和21.证：（1）任取有是 的子空间.6.7 子空间的直和子空间的直和22.又对有从而有 故 是 的子空间.6.7 子空间的直和子空间的直和23.又（2）先证 任取其中又是 的子空间，6.7 子空间的直和子空间的直和24.任取从而所以再证 6.7 子空间的直和子空间的直和25.