1、山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂一、空间曲线切线与法平面二、曲面切平面和法线第六节 多元函数微分学几何应用第1页山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂一、一、空间曲线切线与法平面空间曲线切线与法平面过点 M 与切线垂直平面称为曲线在该点法法位置.空间光滑曲线在点 M 处切线切线为此点处割线极限平面平面.第2页山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 设空间曲线参数方程为 x(t),y(t),z(t),这里假定(t),(t),(t)都在 上可导 设tt0和tt0t分别对应于曲线上点M0(x0,y0,z0)和M(x0+x,y0+y,z0+z)当MM0,即t0时,作曲线割线MM0,其方程为 得曲
2、线在点M0处切线方程为 一、一、空间曲线切线与法平面空间曲线切线与法平面第3页山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 设空间曲线参数方程为 x(t)y(t)z(t)这里假定(t),(t),(t)都在 上可导 过曲线上tt0所对应点M0切线方程为 向量T(t0)(t0)(t0)称为曲线在点M0切向量.经过点M0而与切线垂直平面称为曲线在点M0处法平面,其法平面方程为(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0 一、空间曲线切线与法平面第4页山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例1.求圆柱螺旋线 对应点处切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解解:因为对应切向量为在,故第5页
3、山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂讨论:1.若曲线方程为y(x)z(x)则切向量T?提醒:1.曲线参数方程可视为:xx y(x)z(x)切向量为T(1(x)(x)曲线x(t),y(t),z(t)在tt0所对应点M0切向量为T(t0)(t0)(t0)2.若曲线方程为F(x,y,z)0,G(x,y,z)0,则切向量T?2.两方程可确定两个隐函数:y(x)z(x)切向量为T(1(x)(x)而(x)(x)要经过解方程组得到.第6页山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例2.求曲线在点M(1,2,1)处切线方程与法平面方程.解解.方程组两边对 x 求导,得曲线在点 M(1,2,1)处有:切向量解得
4、第7页山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂切线方程即法平面方程即点 M(1,2,1)处切向量第8页山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂二、二、曲面切平面与法线曲面切平面与法线 设 有光滑曲面经过其上定点对应点 M,切线方程为不全为0.则 在且点 M 切向量切向量为任意引一条光滑曲线下面证实:此平面称为 在该点切平面切平面.上过点 M 任何曲线在该点切线都在同一平面上.第9页山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂证:在 上,得令因为曲线 任意性,表明这些切线都在以为法向量平面上,从而切平面存在.第10页山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂曲面 在点 M 法向量法向量法线方程法线方程切平面方
5、程切平面方程第11页山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂曲面时,则在点故当函数 法线方程法线方程令尤其尤其,当光滑曲面 方程为显式 在点有连续偏导数时,切平面方程切平面方程第12页山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂法向量法向量用将法向量法向量方向余弦方向余弦：表示法向量方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,第13页山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例3.求椭球面在点(1,2,3)处切平面及法线方程.解解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量令第14页山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂解切平面方程为法线方程为例例4求旋转抛物面在点(2,1,4)处切平面及法线方程.第15页山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例5.确定正数 使曲面在点解解:二曲面在 M 点法向量分别为二曲面在点 M 相切,故又点 M 在球面上,于是有相切.与球面,所以有第16页山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例6.求曲线在点(1,1,1)切线解解:点(1,1,1)处两曲面法向量为所以切线方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.第17页山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂作业：作业：p-100 习题习题9-63，4，5，8,10第18页
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