6-5--子空间的交与和.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,也为,V,的子空间，,设,V,1,、,V,2,为线性空间,V,的子空间，则集合,一,、,子空间的交,1,、,定义,任取,则有,同时有,故 为,V,的子空间,.,事实上，,称之为,V,1,与,V,2,的,交空间,.,显然有,2,、,推广,多个子空间的交,为线性空间,V,的子空间，则集合,也为,V,的子空间，称为 的交空间,.,二,、,子空间的和,1,、,定义,其中，则有,设,V,1,、,V,2,为线性空间,V,的子空间，则集合,也为,V,的子空间，,称之为,V,1,与,V,2,的,和空间,.,任取设,事实上，,显然有,2,、,推广,多个子空间的和,为线性空间,V,的子空间，则集合,也为,V,的子空间，称为 的和空间,.,V,的两子空间的并集未必为,V,的子空间,.,例如,注意,：,皆为,R,3,的子空间，但是它们的并集,并不是,R,3,的子空间,.,因为它对,R,3,的运算不封闭，如,但是,三,、,子空间的交与和的有关性质,2,、,设,为线性空间,V,的子空间，则以下三,1、,设,为线性空间,V,的子空间,1）,若 则,2,）,若 则,条件等价,:,3,、,为线性空间,V,中两组,向量，则,4,、,维数公式,（定理,7,）,设 为线性空间,V,的两个子空间，则,或,由扩基定理，它可扩充为,V,1,的一组基,证：设,取的一组基,它也可扩充为,V,2,的一组基,即有,所以，有,下证,线性无关.,令,假设有等式,则有,令,即可被 线性表出,则,即,从而有,由于线性无关，得,因而,由于线性无关，得,所以，,线性无关,.,因而它是 的一组基,.,注：,从维数公式中可以看到，子空间的和的维数,往往比子空间的维数的和要小,.,例如，在,R,3,中，设子空间,其中，,但，,则，,由此还可得到，,是一直线,.,推论：,设 为,n,维线性空间,V,的两个子空间，,若 ，则 必含非零的公共,向量,.,即中必含有非零向量,.,证：由维数公式有,又是,V,的子空间，,若,则,故中含有非零向量,.,与,的解空间，则就是齐次线性方程组,例,1,、,在 中，用分别表示齐次线性方程组,的解空间,.,证：设方程组,分别为,即,设,W,为的解空间，任取，有,从而,反之，任,取，则有,从而,故,例,2,、,在 中，设,1）求,的维数的与一组基,；,2,）求,的维数的与一组基,.,解：1),任取,设,则有,(),解,得,（,t,为任意数）,(),即,令,t,=1,，,则得,的一组基,为一维的,.,2),对以 为列向量的矩阵,A,作初等行变换,为,3,维的,，,由,B,知，为 的一个极大无关组,.,为其一组基.,练习：,在中，令,求及,易知，皆为 的子空间,.,解：任取,由有,由有,故，,从而，,再求,因为，,所以，,