初2015级初三下数学试题1.doc

数 学 试 题
（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1．4的相反数是
A． B．4 C． D．
2．计算的结果是
A． B． C． D．
3．下列图形中，是中心对称图形的是

A．　 　 B．　 　 C．　 　 D．
B
A
E
C
F
D
4题图
4．如图，AB∥CD，BE交CD于点F，若∠B=50°，
则∠DFE的度数为
A．40° B．50°
C．130° D．150°
5．已知一次函数（k≠0）的y随x的增大而增大，则下列结论中一定正确的是
A．k＜0 B．k＞0 C．b＜0 D．b＞0
A
B
C
O
6题图
6．如图，点A、点B、点C均在⊙O上，若∠B=40°，
则∠AOC的度数为
A．40° B．60°
C．80° D．90°
7．已知△ABC∽△DEF，且相似比为2：3，则△ABC与△DEF的对应高之比为
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
8．在某校举行的“汉字听写”大赛中，七名学生听写汉字的个数分别为：35，31，32，25，31，34，36，则这组数据的中位数是
A．33 B．32 C．31 D．25
9．已知是关于x的方程的一个根，则m的值为
A．－2 B．－1 C．0 D．2
s

O
B．
s

O
C．
s

O
A．

s
O
D．
10．某班学生在参加做豆花的实践活动中，计划磨完一定量的黄豆．在磨了一部分黄豆后，大家中途休息并交流磨黄豆的体会，之后加快速度磨完了剩下的黄豆．设从开始磨黄豆所经过的时间为t，剩下的黄豆量为s．下面能反映s与t之间的函数关系的大致图象是

11．观察下列一组图形，其中图1中共有6个小黑点，图2中共有16个小黑点，图3中共有31个小黑点，…，按此规律，图5中小黑点的个数是
…
图1
图2
图3

A．46 B．51 C．61 D．76
12题图
O
x
D
A
B
C
y
12．如图，□OABC的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A、B在第一象限内，且点A的横坐标为2，对角线AC与OB交于点D．若反比例函数
的图象经过点A与点D，则□OABC的面积为
A．30 B．24
C．20 D．16

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
13．纪录片《穹顶之下》让大众进一步认识了雾霾对健康的危害．目前，我国受雾霾影响的区域约为1500000平方公里．将数据1500000用科学记数法表示为 ．
2x－4＞0，
3(x－1)≤4x
14．计算＋－的结果是 ．
16题图
A
B
C
O
D
15．不等式组 的解集是 ．
16．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，
且AB=2BC=4，CD与⊙O相切于点D，则图中阴影
部分的面积是 ．（结果保留根号和π）
E
D
C
A

B
18题图
17．从背面完全相同，正面分别标有数，，，的四张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为m，则使关于x 的方程有整数解，且使关于x 的一元二次方程x2＋mx＝0有正数解的概率为 ．
18．如图，点E是正方形ABCD内一点，连结AE、BE、DE，
若AE=2，BE=，∠AED=135°，则正方形ABCD的
面积为 ．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
19．化简：．
解：原式= ………………………………………………（4分）
= ………………………………………………（6分）
=． ……………………………………………………………………（7分）
20题图
A
B
C
E
D
20．如图，点是的中点， ，．
求证：．

证明：点C是AB的中点，∴ AC=BC，…………………………………………（2分）
又AD=CE，CD=BE，………………………………………………………（4分）
∴△ACD ≌△CBE， …………………………………………………………（5分）
∴∠D=∠E．……………………………………………………………………（7分）

四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）
21．《中国足球改革总体方案》提出足球要进校园．为了解某校学生对校园足球喜爱的情况，随机对该校部分学生进行了调查，将调查结果分为“很喜欢”、“较喜欢”、“一般”、“不喜欢”四个等级，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图：
21题图
四种类型人数的条形统计图
四种类型人数占调查总人数的百分比扇形统计图
不喜欢
10%
一般
较喜欢
很喜欢
人数（人）
等级
13
10
3
4
8
12
14
10
6
2
0
很喜欢
较喜欢
一般
不喜欢

（1）一共调查了　　　　名学生，请补全条形统计图；
（2）在此次调查活动中，选择“一般”的学生中只有两人来自初三年级．现在要从选择“一般”的同学中随机抽选两人来谈谈各自对校园足球的感想，请用画树状图或列表法求选中的两人刚好都来自初三年级的概率．
解：（1）30．…………………………………………………………………………（2分）
补图如下： …………………………（4分）
A1 A2 C1 C2

A2 C1 C2 A1 C1 C 2 A1 A2 C2 A1 A2 C1

(A1, A2) (A1, C1) (A1, C2) (A2, A1) (A2, C1) (A2, C2) (C1, A1) (C1, A2) (C1, C2) (C2, A1) (C2, A2) (C2, C1)

（2）由（1）知选择“一般”的学生共有4名，初三年级有2名，分别记为A1，

或列表如下：

A1
A2
C1
C2
A1

（A1，A2）
（A1，C1）
（A1，C2）
A2
（A2，A1）

（A2，C1）
（A2，C2）
C1
（C1，A1）
（C1，A2）

（C1，C2）
C2
（C2，A1）
（C2，A2）
（C2，C1）

（8分）
由树状图或列表可知，共有12种等可能情况，其中两名学生刚好都来自初三年级的有2种．所以，所选两名学生刚好都来自初三年级的概率． （10分）
22．为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，∠BCD=135°，通道斜面CD的长为6米，通道斜面AB的坡度．
（1）求通道斜面AB的长；
（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．
（答案均精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈2.24，≈2.45）
解：（1）过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G（如答图）．……（1分）
22题答图
A
B
C
E
D
F
G
则∠DFC=90°．
∠BCD=135°，∴∠DCF=45°，
∴∠CDF =45°=∠DCF，∴CF=DF．
在Rt△CDF中，，CD=6，
∴，∴DF= CF=．……………………………………………（3分）
AD∥BC，DF⊥BC，AG⊥BC，∴AG=DF =．………………………（4分）
又i=AG：BG =1：，∴BG=6．…………………………………………（5分）
在Rt△ABG中，≈．
∴通道斜面AB的长约为米． ……………………………………………（6分）
（2）在Rt△DEF中，∠DEF=30°，DF=，
∴DE=2DF=，………………………………………………………………（7分）
∴=．………………………………………………（8分）
又BC=8，CF=，∴BE=BC＋CF－EF=8＋－≈．
∴此时BE的长约为米．…………………………………………………（10分）
23．“创卫工作人人参与，环境卫生人人受益”，我区创卫工作已进入攻坚阶段．某校拟整修学校食堂，现需购买A、B两种型号的防滑地砖共60块，已知A型号地砖每块80元，B型号地砖每块40元．
（1）若采购地砖的费用不超过3200元，那么，最多能购买A型号地砖多少块？
（2）某地砖供应商为了支持创卫工作，现将A、B两种型号的地砖单价都降低a%，这样，该校花费了2560元就购得所需地砖，其中A型号地砖a块，求a的值．
解：（1）设购买A型号地砖x块，由题意，得……………………………………（1分）
80x＋40（60－x）≤3200．…………………………………………………（3分）
解得 x≤20．…………………………………………………………………（5分）
答：最多能购买A型号地砖20块．………………………………………（6分）
（2）由题意，得 ．………………（8分）
解得 ．经检验，符合题意．
答：a的值为20．…………………………………………………………（10分）

24．对a，b定义一种新运算M，规定M（a，b）=，这里等式右边是通常的四则运算，例如：M（2，3）=．
（1）如果M（2x，1）= M（1，－1），求实数x的值；
（2）若令y= M（，），则y是x的函数，当自变量x在－1≤x≤2的范围内取值时，函数值y为整数的个数记为k，求k的值．
解：（1）由题意，得，即．………………… （2分）
解得 ．……………………………………………………………… （4分）
经检验，是原方程的解．∴实数的值为．…………………… （5分）
（2）．………………… （7分）
二次项系数为1＞0，∴当x=时，函数有最小值为．
时，；时，，
又∵x≤时，y随x的增大而减小，x≥时，y随x的增大而增大．
∴当≤x＜时，＜y≤，函数值为整数的个数为0个，…… （8分）
当≤x≤2时，≤y≤，函数值为整数的个数为7个．……… （9分）
∴当自变量x在≤x≤2的范围内取值时，函数值y为整数的个数为7个，
即k的值为7．……………………………………………………………… （10分）
五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）
25．如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连结BE．
（1）若AF是△ABE的中线，且AF＝5，AE＝6，连结DF，求DF的长；
（2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G．
①如图2，若点E是AC边的中点，连结EG，求证：AG＋EG＝BE；
②如图3，若点E是AC边上的动点，连结DF．当点E在AC边上(不含端点)运动时，∠DFG的大小是否改变，如果不变，请求出∠DFG的度数；如果要变，请说明理由．
B
A
F
D
C
E
G
25题图2
A
B
F
D
C
E
G
25题图3
A
B
F
D
C
E
25题图1

解：（1）在Rt△ABE中，AF是中线，∴AF=BE．∵AF=5，∴BE=10．…… （1分）
在Rt△ABE中，AE=6，BE=10，∴．…………… （2分）
又∵AB=AC，∴AC=8，∴．…………………………… （3分）
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．
又∵点F是BE的中点，∴DF==1．………………………………… （4分）
（2）过点C作，交的延长线于点M（如答图1）．……………（5分）
则∠ACM=90°．又∵∠BAC=90°，∴∠BAC=∠ACM．
AF是△ABE的高，∴∠AFB =90°．∴∠1＋∠BAF=90°．
∵∠BAC=90°，∴∠2＋∠BAF=90°．∴∠1 =∠2．
25题答图1
M
B
A
F
D
C
E
G
1
2
又AB=AC，∠BAC=∠ACM，∴△ABE≌△CAM．………………………… （6分）
∴AE=CM，BE=AM．
又点E是AC边的中点，∴CE=AE=CM．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°．
又∵∠ACM=90°，∴∠MCG=45°=∠ACB．
又CG=CG，CE =CM，∴△CEG≌△CMG．………………………………… （7分）
∴．
又BE=AM，∴AG＋EG＝AG＋GM＝AM＝BE．……………………………… （8分）
（3）过点D作DN⊥DF，交AG的延长线于点N（如答图2）．……………………（9分）
A
B
F
D
C
E
G
25题答图2
N
5
6
4
1
3
2
则∠NDF=90°．又AD⊥BC，∴∠ADB=90°=∠NDF，
∴∠ADB＋∠ADF=∠NDF＋∠ADF，即∠BDF=∠ADN．
∠ADB=∠AFB= 90°，∠5=∠6，∴∠3=∠4．
在Rt△ABC中，BD=DC，∴AD=BC=BD．
又∵∠BDF=∠AND，∠3=∠4，∴△BDF≌△ADN，………………………… （10分）
∴DF=DN．……………………………………………………………………… （11分）
又∠NDF= 90°，∴∠DFN=∠DNF= 45°，即∠DFG=45°．……………… （12分）
26．如图1，抛物线（a≠0）与x轴的负半轴交于点A（－2，0），顶点为C，点B在抛物线上，且点B的横坐标为10．连结AB、BC、CA，BC与x轴交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）动点P在线段BC上，过点P作x轴的垂线，与抛物线交于点Q，过点Q作QH⊥BC于H．求△PQH的周长的最大值，并直接写出此时点H的坐标；
备用图
x
y
A
B
C
O
26题图1
x
A
B
C
Q
P
H
O
y
D
26题图2
x
y
A
B
C
N
M
O
（3）如图2，以AC为对角线作正方形AMCN，将正方形AMCN在平面内平移得正方形A′M′C′N′．当正方形A′M′C′N′有顶点在△ABC的边AC上（不含端点）时，正方形A′M′C′N′与△ABC重叠部分得到的多边形能否为轴对称图形，如果能，求出此时重叠部分面积S的值，或重叠部分面积S的取值范围；如果不能，请说明理由．

解：（1）∵抛物线过点A（－2，0），∴0＝4a－2＋3，
∴，∴抛物线的解析式为．
∵，∴顶点C的坐标为（2，4）．…………（1分）
在中，当x＝10时，y＝－12，
∴点B的坐标为（10，－12）．…………………………………………………（2分）
设直线BC的解析式为y＝kx＋b（k≠0），∵点B、点C在直线BC上，
∴ 解得
∴直线BC的解析式为y＝－2x＋8． …………………………………………（3分）
在y＝－2x＋8中，当y＝0时，x＝4，∴点D的坐标为（4，0）． …………（4分）
26题答图1
x
A
B
C
Q
P
H
O
y
E
D
（2）过点C作CE⊥x轴于点E（如答图1），则点E的坐标为（2，0），
∴DE＝2，CE＝4，∴CD＝．
∴DE：CE：CD＝1：2：．
经探究，得△CDE∽△PQH，
∴QH：PH：PQ＝DE：CE：CD＝1：2：，
∴QH＝PQ，PH＝PQ，
∴△PQH的周长为QH＋PH＋PQ＝PQ．……………………………（5分）
设点P的坐标为（x，－2x＋8），则点Q的坐标为（x，），
∴PQ＝－（－2x＋8）＝＝．……（6分）
当x＝6时，PQ有最大值4，∴△PQH的周长的最大值为．………（7分）
此时点H的坐标为（，）． ……………………………………………（8分）
（3）能，理由如下：
①当点A′在边AC上时（如答图2），重叠得到的四边形或三角形不是轴对称图形；
②当点M′在边AC上时（如答图3），重叠部分不构成多边形；……………（9分）
C
N′
C′
y
B
M′
A
A′
O
y
O
y
26题答图3
x
x
M′
B
O
y
O
y
N′
A′

C
y
A
C′
26题答图4
C
N′
C′
x
y
B
A′
M′
O
y
O
y
A
26题答图2

③当点C′在边AC上时，
ⅰ）点M′在△ABC外或边AB上时，重叠得到的等腰直角三角形是轴对称图形（如答图4）．点C′与点A重合时，S＝0；点M′在边AB上时，S＝＝4；
∴0＜S≤4．……………………………………………………………………………（10分）
ⅱ）点M′在△ABC内时，仅当AC′＝M′C′时，重叠得到的四边形是轴对称图形（如答图5）．∵点A′必在CA的延长线上，∴AA′＝A′C′－AC′＝，
A
C
O
y
O
y
N′
C′
26题答图5
x
y
B
A′
M′
y
A
B
D
y
O
y
M′
A′
C′
O
y
O
y
C′
O
y
O
y
F
F
G
x
OE
y
O
y
N′
C
26题答图7
N′
C′
y
M′
A
A′
C
B
O
y
O
y
26题答图6
x
∴S＝＝．………………………………………………（11分）

④当点N′在边AC上时，仅当点C′在△ABC内或在边BC上时，重叠得到的五边形是轴对称图形（如答图6）．点N′与点A重合时，S＝＝8；点C′在边BC上时（如答图7），经探究，得△CN′C′∽△CAD，∴，又∵CE＝4，N′C′＝4，AD＝6，∴CF＝，∴ EF＝CE－CF＝．而GA′＝N′A′－2EF＝，∴S＝＝．∴8＜S≤．
综上所述，正方形A′M′C′N′与△ABC重叠部分得到的多边形能为轴对称图形，
此时，0＜S≤4或S＝或8＜S≤．……………………
11