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第2讲 整除、带余除法
1、定义：对于整数和不为零的整数，总存在整数使得,其中称为商，称为余数，特别地，当时，即，便称被整除（也称是的倍数或是的约数），记为
2、性质
（1）若，则；
（2）若，则，其中是任意整数；
（3）若，则
（4）若且，则.特别地，若质数则必有或；
（5）若且，则
（6）若则.
其中表示两数的最大公约数，表示两数的最小公倍数，若=1，则称两个数互质.
3.具有整除性的数的特征.
（1）被2整除的数：个位数字是偶数；（2）被3整除的数：数字和被3整除；（3）被4（25）整除的数：末两位数字组成的两位数能被4（或25）整除；（4）被5整除的数：个位数字是0或5；（5）被7（或11或13）整除的数：奇数位的数字和与偶数位的数字和的差（偶数位的数字和与奇数位的数字和的差）能被7（或11或13）整除；（6）被8（或125）整除的数：末三位数字组成的三位数能被8（或125）整除；（7）被9整除的数：数字和被9整除.

典例分析
例题 1 如果五位数是3的倍数，那么是_______________.

能力冲浪
1-1 （第15届 江苏竞赛）已知7位数是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．

1-2. 若六位数能被21整除，则.6

1-3.六位数是1375的倍数，求这六位数.713625

例题 2 为正整数，302被除所得的商数及余数都是正值，则的最大值与最小值的和是（ ）
A. 148 B.247 C.93 D.122

2-1. 整数A除以3余2，除以4余1，那么A除以12的余数是_________________.

2-2. 如果被4除余数为1，则被4除余数是___________________.

2-3.（第14届 “五羊杯”）五羊足球学校有3位教练带着学员一起跑步，如果学员每2人一行，那么最后一行只有1人；如果学员每3人一行，那么最后一行只有2人；如果教练和学员合起来每5人一行，那么刚好可以跑成一个方阵，已知学员人数约为250左右，那么跑步的人数为（ ）
A.230 B. 250 C. 260 D.280

例题 3 （第十九届江苏省初中数学竞赛）在0,1,2,3,4，…,100这101个整数中,能被2或3整除的数一共有( )
A. 85个 B. 68 C. 34个 D. 17个

3-1．（第14届“希望杯”）在1,2,3，…，100中，不能被2整除也不能被5整除的所有整数的乘积的个位数字是（ ）
A. 7 B. 1 C. 3 D.

例题 4 （第十五届江苏省初中数学竞赛）今天是星期天，从今天起第天是星期_____.

4-1. (第14届“五羊杯”) 2002年10月1日是星期二，2008年10月1日是星期__________
4-2. （第十六届江苏省初中数学竞赛）给出一列数，，，其中末位数是3的有_________个.
4-3. （第十八届江苏省初中数学竞赛）设今天是星期一，若算为第一天，则第天是星期几？
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