行列式的几种计算方法.pdf

科技信息高校理科研究行列式昀几和计算方法南京铁道职业技术学院张玉兰 摘要 行列式的计算是线性代数的基础内容，而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，本文结合实例，归纳出了几种常用的求行列式的计算方法。关键词】行列式线性代数计算方法规律性技巧性行列式是线性代数的一个重要内容，是讨论线性方程组的一个有力工具，在很多数学分支中都有着广泛的应用，然而行列式的计算灵活多变，具有一定的规律和技巧，常用的方法有定义法，化三角形法，降阶法等，本文结合教学实践，从实例出发，在以上三种方法的基础上，探讨并给出行列式的其他几种计算方法。1、定义法即根据行列式的定义求其值。=亘笋(一1)(一1)1 l：(一1)掣。“婴=(一1)n 旦妄L。阶行列式的定义：设有。z 个数，排成。行。列的数表挈a 2 2：擘，：其中a n la,a 做出表中位于不同行不同列的n 个数的乘积，并冠以符号(一叭得到形如(一1)a l p l a 2 p 2 +a u。(1)的项，其中p p 2 p。为自然数1,2，n 的一个排列，t为这个排列的逆序数，由于这样的排列共有n!个，因而形如(1)式的项共有n!项，所有这n!项的代数和(一1)a I P l a 2 p：a n，。称为n 阶行列式。例I 求D=解：D=n 一1n234：n1345：1212l11l：1l1l nn-2n-Inl2：n-2n l11 一n1 一n1：一llllI 掣z，n 一no11ll n“釜“l01II nIji：n：i：IIII n=一2 1 叠“I1=一J；，；lI nI1In-II 一-，I：1：。1 I n。-”之”-!f!jl：2I=i l oj。1I：三苫P k n：如k。坠f 翌!)l：2j 二j joI l1111 0 4 一O00O：0一nnOO00一“0O一n0On0On0OO0一nnO：00OO=(一n)n-2(一1)。t 为 4 歹0n 一2，n 一3，I 的逆序数，根据逆序数的计算方法：t：0+1”，+(n 一3)：垒兰掣旦二笙。Z注：例1 中的n(i-l，二2 一，n)表示第i 行；c。(i 1，2，一)表示第i 列，下同。2、对角线法则此法则适用于计算低阶行列式的值(如2 阶、3 阶行列式的值)，即主对角线的元素的乘积减去辅(或次)对角线上的元素的乘积，其主要思想是根据2 阶、3 阶行列式的定义来计算行列式的值。1一，I例2 1I _ l：一1 3 一(一2)2=1(主对角线上的元素为一1 和3，辅对角线上的元素为一2 和2)。0b a例2 23 b02 cI=0 x o x 0+b x 2 c x a+3 b x c x(一a)一O x(一a)x a-2 c x c xac00 3 b x b x 0=一a b c。3、化三角形法利用行列式的性质，把行列式化为上(下)三角形行列式，再利用上(下)三角形行列式的结论，可得到相应行列式的值。3 1 上(下)三角形行列式及其值(1)上、下三角形行列式分别为D=8 1 1000a 2 la 2 2008 ma 3 2a 嚣0a I I l 轧轧(2)D=a 1 1a 1 2a 1 3+0a 2 2a 2 300a 3 3 0OO一即上(下)三角形行列式的值等于主对角线上的元素的乘积。3 2 化三角形法的一般步骤为：(以化上三角形行列式为例)第一步：把a：，变换为l(可通过交换两行(列)或把第1 行乘L 来a l l实现，尽量避免出现分数)；第二步：把第1 行分别乘以一8 2。，一a。，一a n 加到第2，3，n 行对应元素上，把第1 列a。以下的元素全部化为0；第三步：从第2 行开始再依次用以上方法把主对角线a。a 一a 卜。，13 r12“。，；一以。：；r345；l2；0OO；OO 如；O 勉如；轧 鲫驯；剐=跏；跏轧勉札；O靴勉O；OO0；0 万方数据科技信息高校理科研究以下的元素全部化为0，即可得上三角形行列式。例3 计算D=解：D=XaaXaaa aaaXaaXaaaaaaaaaaaaXaaXaaaaaaXaaXx+(n 一1)aaax+n-1)aXax+(n 1)aaxx+f n 一1)aaax+n 一1 haax+(n 一1)aaaaa0 x a00OO0 x-a OOOO0】(-a000O0X-aaaaaaaXaaX=x+(n 1)a】(x a)扣1。4、降阶递推法利用已给的行列式的特点，建立起n 阶行列式与n 一1 阶行列式(或更低阶)行列式之间递推关系式，利用此关系式求行列式的值。降阶递推法，常见的有两类：4 1D,=L D，。型，此时根据递推关系有：D n-r D。4 2D n=p D+-+q D 卜2(n 2 q 0)型，此时我们不妨设d，B 是方程x 2-p x q=0 的根，则由根与系数的关系，得：a+g=p,-e t g=q，将其代入D。=p D，l+q D 卜2 中，有：D n-g D+l=c t(D r g D。2)=酸D f p D d=砘鼍D r 印i)(1)D o-e t D 铲l=B(D 卜l a D d=B 2(D 卜旺D J _ B D 2 吨D 1)(2)下面分两种情况进行讨论：C a s e l：d B，由(1)和(2)得D n 笪焦型啦芈坚型吐a-pC a s e 2：a=g，由(1)和(2)得：D=c t D n-l+柚(D r q D O：d 2 嗡2 a 柚(D 2 n D I 户=d 州D l+(n+l h 柚(D rc t D,)例4 求D n=2112Ol：O0OOO 12：0 0 OOO0O0：2ll2解：由于D=2 D+l-D m；则不妨设a，B 是方程x 2-2 x+l=0 的根，则c t=g=l。于是D。=l”1 D-+(n 一1)1”2(D 2-1 D 1)=(2 一n)D-+(n 1)D：其中：。=I：l=z，。产I；：1 4 z=，；所以：D n=(2 一n)D 1+(n-1)D 2=4-2 n+3 n=n+1即2l0y 04 0121OOO12000002lO00 l2=n+l5、行列式乘积法在行列式中，如果每个元素都可分解为乘积之和(a i。b u+柚矿a i l l b n j)的形式，那么该行列式就可转化为两个矩阵乘积的行列式，只要分解的这两个矩阵的行列式比较容易计算，则可由公式I A BI=I AJ I B 计算出原行列式的值。例5 计算D n _l1x+lx 2+l。X+X 1X 2+x 2一x-+Xlx2+x2一解：由于10l1Ol：OO0O所以D。=其中1X+l2x I+X 1n ln-2xl+X10 0-l：0 0 O00O00：1Ol11O0Ol10O0ll000O 1OO0 llO0l10Oll：OO00 0O11】c 22】【2：n 一2】【2n 一1】【2例6 证明X 32】【3：n 一2X 3n Ix 3s i n 2 c ts i n(p+d)s i n(1+c t)fs i n 2 a证明：因为s i n(g+a)o s i n(,+c t)f C O$O tc o s pc o 吖1s i n as i n gs i n 3|；【000J所以所以s i n 2 as i n(g+a)s i n n+d)C O S s i n y0C 0 8 0【c o s gC O S vO0OX 12X 1：n 一2X ln IX 1O00 0O0：1Oll11X。+12X。+x n：1。2Xn+xn=l(下三角形行列式)s i n(a+g)s i n 2 9s i n(c t+g)s i n(a+g)s i n 2 9s i n(0【+g)s i n(m+g)s i n 2 9s i n(o t+p)C 0 8 aS l n dOc o s Bs i n BO=H 一x j)(范德蒙行列式)1 l i ns i n(a+V)s i n(B+啪s i n 2 ys i n +1)1f s i n c tC O$C t0 1s i n(g+1)J=Js i n gc o s g0J s i n 2 1 J【s i n c o s l0Js i n(u+1)s i n(g+7)s i n 2 C o S ls l n Y0=0：s i n 2 c ts i n(o t+1 3)s i n(d+1)ls i n(g+a)s i n 2 Bs i n(p+1)i：Os i n(_ y+a)s i n(y+g)s i n 2 一Is i n c C O$O t0s i n gc o s g0s i n c o s 06、加边法一般计算行列式，是将其进行降阶，但对于某些行列式，我们可以反过来，在保持原行列式值不变的基础上再加上一行一列(增加的一行一列元素一般是由1 和0 构成)：D。=10 0 x IjD。X“1o I x n0iD。O1 0 5 一。“蝇；。拽毪：k卜kK：K；mk h。：盹k1一一：一b：b；pb b毪：pbpkaaX；aaaaX；aaK：k mk K轴：轴；!：一b：b；pbpb毪：；”p毪oi确：鱼；。两。轴K：k；pKpKk：；kPk一一：h；。h。一器=D贝印堆。眦邮叫“虬s副sm眦。且；，“军c；岷K：hpk 万方数据科技信息高校理科研究把n 阶行列式转化为n+l 阶行列式，只要巧妙地选取x b b，x n，结合行列式的性质，便可计算出行列式的值。例7 计算D F解：D。=1+8 111儿第2 行到第n+l 行分别减去第1 rl+a1：l1llal0一10第i 列!一加到第1 列上(。：2，m+1I一1。10 0a 2 0：0 a。11101+8 l101l+a 2：0111+111z 1a=a 1000a 2 0：00a。lll：1+a=(1+乞上)(a l，a 2 曲i=l 已7、待定系数法此方法是数学中的重要方法，它是对数学问题，根据求解问题的固有特征，可转化为一个含有待定系数的恒等式，然后利用恒等式性质求出未知系数，从而获得问题解决的方法，用待定系数法求行列式的思想是：若行列式中含有未定元x，则行列式一定是关于X 的一个多项式，且当取某些值，如x=a 能够使行列式的值为零，根据多项式整除理论，则行列式一定可以被x a 这个线性因子整除，即行列式的表达式里应该含有该因子，如果可以找出行列式的所有因子，求出待定常数即可得到行列式的值。例8 计算D。=nn。n：x+1解：D。显然是一个关于x 的n 一1 次的多项式，不妨记为“x)；且当x=l，2，n 一1 时，根据行列式的性质，都有：f(x)；0。即(x 1)，(x 一2)，(x n+1)都是f(x)的因子且互质，所以它们的乘积也是“x)的因子，通过比较，1 的系数，知：f(x)=D。=l l(x i)。i=l8、软件法对于阶数n 已知的行列式的计算或一些稍复杂的行列式的计算，我们还可借助于一些数学软件来进行求解。l IJ-9一是借助于E X C E L 进行行列式的计算：如计算行列式f 二-lZj的值，可按下列步骤进行求解：第一步：打开一个E X C E L 文档，选择相邻的两行两列的四个的空l 一1一，l单元格，在其中分别依次输入行列式l _：l 的四个元素一1，一2，2，3；zj第二步：选定存放结果的单元格，点击“插入”菜单中的“f x 函数”，打开粘贴函数的窗口，在窗口中选择“数学与三角函数”中的M D E T E R M函数，单击确定；第三步：在编辑栏内函数的括号内输入要计算的单元格，按下E n t e r键即可得到所求行列式的值。二是可以使用数学软件M a t l a b 进行行列式的计算，如可按下列步I 气1骤计算行列式K：l 的值：l 二叶I第一步：打开M a t l a b，在其命令窗口(C o m m a n dW i n d o w)(或新建一个M 一文件，在其中)输入以下命令：a=3，7；2，4 ；d e t r a l第二步：按下E n t e r 键(或点击运行按钮)即可得到行列式的值，其显示结果如下：a n 8=-2此外，行列式的计算方法还有很多，除了以上几种方法外还有一些，如构造法，微积分法，特征值法，归纳法等等。正因为行列式的计算方法是多种多样的，所以在计算时往往根据行列式自身的特点选择特定的方法进行计算，而不局限于某一种算法，而是多种方法结合求之。参考文献 1 同济大学数学教研室x-程数学线性代数(第三版)M 北京：高等教育出版社，1 9 9 9：1 3 5 2 詹勇虎经济应用数学 M 南京：东南大学出版社，2 0 0 4：1-1 4 3 张志涌精通M A T L A B 6 5 版 M 北京：北京航空航天大学出版社2 0 0 3：1 0 3 1 0 4 4 段向阳浅谈行列式的几种计算方法 J 湖南冶金职业技术学院学报，2 0 0 8(1 2)：4 2-4 5 5 杨闻起计算行列式的三种技巧 J 通化师范学院学报，2 0 0 3(3)：1 2-1 6 6 魏贵环E X C E L 在线性代数中的应用 J 沧州师范专科学校学报2 0 0 2(9)：6 3 7 王开帅用待定系数发计算行列式 J 河北理科教学研究，2 0 0 1年：1 6 1 7(上接第1 0 2 页)会学生发现新知识的方法，而这种方法正是科学精神的精髓所在。小结在学习中能够有效地运用科学思维和科学方法是学生进行创新实践的关键。如何培养学生的科学素养，养成良好的科学精神，是每一个教育者不断追求的目的。本文从物理学的教育人手，提出了通过马克思主义哲学的指导，科学精神与人文精神的结合，物理学研究方法的培养三种途径来提高对学生科学精神的培养。通过文章的论述，我们发现这三种途径的实现都有赖于物理学史在教育教学过程的渗透。最后需要指出的是科学精神是探究新知识的动力，真正要发现新知识还需要实际的动手操作，只有教会学生“知行合一”才能够达到教育的真正目的。参考文献 1 庞晓明简论马克思与恩格斯的科学思维及其方法论创新 J 马克思主义研究，2 0 0 9 年，第1 期，P 8 6-9 1 2 宋清波科学精神与人文理念 J 求索，2 0 0 9 年，第1 期，P 4 7-4 9 3 吕增建论物理学史的素质教育功能 I j 自认辩证法通讯，2 0 0 9年，第2 期，P 6 7-6 9 4 弗卡约里物理学史 M 桂林：广西师范大学出版社，2 0 0 2 年8月 5 房永军在科学探究中培养学生质疑的能力 J 当代教育论坛(下半月刊)，2 0 0 9 年，第3 期，P 1 1 2-1 1 3 6 包括，张旭等试论东西方在科学思维方法上的差异 J 科技创新导报，2 0 0 9 年，第4 期，P 2 1 5(上接第1 0 3 页)4 3 由于系统对于溶解氧、氧化还原电位、硝酸盐等的控制要求较高，今后应引入完备的在线检测技术以提高工艺的可控性。参考文献 1 周岳溪，钱易，顾夏声废水生物除磷机理研究 J 环境科学学报，1 9 9 3，1 3(2)：1 9 3 1 9 81 0 6 一 2 姜安玺厌氧一好氧活性污泥法除磷机理及动力学探讨 J 哈尔滨建筑大学学报，1 9 9 7，3 0(3)3 曹贵华，黄勇，潘杨常规生物脱氮除磷工艺中问题及对策水处理技术。2 0 0 9，3：1 0 2-1 0 6 4 王金梅，薛叙明水污染控制技术北京化学工业出版社，2 0 0 4，3 5 楼紫阳等渗滤液处理处置技术及工程实例北京化学工业出版社2 0 0 7。1j托嘎；+，吨；，州；o：；1 万方数据行列式的几种计算方法行列式的几种计算方法作者：张玉兰作者单位：南京铁道职业技术学院刊名：科技信息英文刊名：SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION年，卷(期)：2009，(30)被引用次数：0次 参考文献(7条)参考文献(7条)1.同济大学数学教研室 工程数学线性代数 19992.詹勇虎 经济应用数学 20043.张志涌 精通MATLAB6.5版 20034.段向阳 浅谈行列式的几种计算方法期刊论文-湖南冶金职业技术学院学报 2008(12)5.杨闻起 计算行列式的三种技巧期刊论文-通化师范学院学报 2003(03)6.魏贵环 EXCEL在线性代数中的应用期刊论文-沧州师范专科学校学报 2002(09)7.王开帅 用待定系数发计算行列式期刊论文-河北理科教学研究 2001 相似文献(10条)相似文献(10条)1.期刊论文 章海燕.肖扬波.ZHANG Hai-yan.XIAO Yang-bo 矩阵求逆及行列式求解的计算机实现-郧阳师范高等专科学校学报2007,27(3)介绍线性代数中求解矩阵逆和行列式的一种常用算法,在Matlab语言环境下编写通用的求解函数,通过数值算例证明了所编程序的正确性,将计算机应用到线性代数的教学中,这对激发学生的学习兴趣将起到一定的作用.2.期刊论文 段向阳.DUAN Xiang-yang 浅谈行列式的几种计算方法-湖南冶金职业技术学院学报2008,8(4)行列式是线性代数中的一个重要内容,行列式的计算具有一定的规律性和技巧性,本文结合实例,归纳出了几种求行列式的计算方法.3.期刊论文 行列式展开理论的教学思路-甘肃科技纵横2006,35(4)讨论非数学专业线性代数行列式展开理论的教学思路,并且应用关系映射反演思想方法简要论述行列式展开理论.4.期刊论文 窦永平 线性代数的RMI模型理论矩阵行列式同值理论的RMI模型理论-发展2010(11)本文给出线性代数矩阵行列式同值理论的RMI模型理论,并且应用关系映射反演思想方法论述矩阵行列式同值理论的教学思路.5.期刊论文 窦永平 行列式的教学思路-甘肃科技纵横2006,35(1)讨论非数学专业线性代数行列式的教学思路,并且应用关系映射反演思想方法简要论述行列式相等的证明思路.6.期刊论文 武柏锋.刘春杰 线性代数中行列式Laplace展开式的证明-中国科教创新导刊2010(8)本文的重点是对行列式亦有沿多行(列)展开的求值方法的证明.对此法来说一般人只会用之,不知其证明,甚至对数学要求较高的物理学院在中忽略其证明.7.期刊论文 刘连福 利用矩阵分块简化行列式计算-辽宁师专学报（自然科学版）2007,9(4)通过对矩阵分块问题的推广,给出计算某些n阶行列式的简便方法,该方法突出线性代数中两大数学工具的联系.8.期刊论文 孙树东.Sun Shudong 线性代数中两个问题的新探索-新疆教育学院学报2008,24(4)探讨了两个传统线性代数问题-Cramer法则和三对角行列式计算的新方法.9.期刊论文 刘慧敏.宫玉荣 关于线性代数中行列式教学改革的思考-致富时代（下半月）2010(11)本文对线性代数中行列式理论中的两个性质和按一行(列)展开定理给出了新的证明方法.10.期刊论文 苏化明.潘杰 对一道线性代数习题的探讨-高等数学研究2008,11(6)同济大学数学系所编线性代数附册(学习辅导与习题选解)对一道行列式证明的习题作出了推广.本文给出了这一推广的多种证明,并利用数值分析中的插值理论对该问题作出进一步推广.本文链接：授权使用：浙江大学(wfzjdx)，授权号：282d03cb-d6c7-4199-90e5-9e95014a981a下载时间：2011年2月25日