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(完整版)关于行列式的一般定义和计算方法关于行列式的一般定义和计算方法n阶行列式的定义n阶行列式=（1）2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和;3、N阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N个元素的乘积;特点：（1)(项数）它是3！项的代数和； （2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为: （3）(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123，231,312. 它们都是偶排列； 三个负项的列标构成的排列为321，213，132, 它们都是奇排列. 行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。即=；行列式对行满足的性质对列也同样满足。性质2 互换行列式的两行(列），行列式的值变号。如: D=adbc ， =bc-ad= -D以r表第i行，C表第j列。交换i，j两行记为r,交换i，j两列记作CC。性质3:如果一个行列式的两行（或两列)完全相同，那么这个行列式的值等于零.性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k乘这个行列式。（第i行乘以k，记作r)推论1:一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零.推论3:如果一个行列式的某二行(或某二列)的对应元素成比例，那么行列式值等于零。性质5：如果行列式D的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D等于两个行列式D1和D2的和。=+性质6：把行列式的某一行(或某一列)的元素乘同一个数后，加到另一行（或另一列）的对应元素上，行列式值不变。推论 如果行列式的某一行（列)的每个元素都是m个数之和(m2)，则此行列式等于m个行列式之和。一个n阶行列式,如果它的元素满足：;试证：当n为奇数时,此行列式为零.每一行（或列)提出一个（1），再转置得D=(-1）nD性质7 行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.按行：按列:将性质7 与Laplace定理合并为下列结论: （1） 和 （2）行列式的计算1利用行列式定义直接计算例1 计算行列式解 Dn中不为零的项用一般形式表示为。该项列标排列的逆序数t（n1 n21n）等于,故2利用行列式的性质计算例2 一个n阶行列式的元素满足则称Dn为反对称行列式,证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由知，即故行列式Dn可表示为由行列式的性质当n为奇数时,得Dn =Dn，因而得Dn = 0。3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例3 计算n阶行列式 解:这个行列式的特点是每行(列）元素的和均相等,根据行列式的性质，把第2，3,，n列都加到第1列上，行列式不变，得4降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶,更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例4 计算n阶行列式解 将Dn按第1行展开。5逆推公式法逆推公式法:对n阶行列式Dn找出Dn与Dn1或Dn与Dn1, Dn2之间的一种关系称为逆推公式（其中Dn， Dn1, Dn2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。例5 证明 证明：将Dn按第1列展开得 由此得递推公式：，利用此递推公式可得6利用范德蒙行列式例6 计算行列式解 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n1行的1倍加到第n行,便得范德蒙行列式7加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法.例7 计算n阶行列式 解： （箭形行列式）8数学归纳法例8 计算n阶行列式解：用数学归纳法. 当n = 2时 假设n = k时，有 则当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开,得由此,对任意的正整数n,有9拆开法把某一行(或列）的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。例9 计算行列式 解：上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结,才能更好地掌握行列式的计算.（1); 证明 。 关于行列式的消项（其中C代表列R代表行）(2)=(a-b)3; 证明 =（ab)3（3） =(ab）(ac)（a-d)（b-c)（bd)(cd）(a+b+c+d)； 证明 （c2 ，c3 ，c4减数字去第一列的） =（ab)（ac)(ad）（bc)(b-d)（c-d)（a+b+c+d）. (4)=xn+a1xn-1+ +an1x+an 。 证明 用数学归纳法证明. 当n=2时, ， 命题成立. 假设对于(n-1）阶行列式命题成立, 即 Dn-1=xn-1+a1 xn2+ +an-2x+an-1, 则Dn按第一列展开, 有 =xD n1+an=xn+a1xn1+ +an-1x+an 。 因此, 对于n阶行列式命题成立. 6. 设n阶行列式D=det（aij）， 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转， 依次得 , ， ， 证明， D3=D . 证明因为D=det（aij), 所以 . 同理可证 . 7。 计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）： (1）, 其中对角线上元素都是a， 未写出的元素都是0； 解 （按第n行展开) =anan2=an-2(a2-1）. （2)； 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 , 再将各列都加到第一列上， 得 =x+（n-1）a（x-a)n1。（3）； 解 根据第6题结果, 有 此行列式为范德蒙德行列式. 例3 练习3：证明： 。 证明：左边从最后一行开始，每行减去上一行，得到： 1 2 3 . n-1 n 1 1 1 .。 1 1-n .。 。 。 。. 1 1-n 1 . 1 1 然后做列变换,从各列中减去第一列，得到: 1 1 2 .。 n-2 n1 1 0 0 .。 0 n . .。. 。. 。. 1 n 0 。.。 0 0 再把各列乘以(1/n)，加回到第一列，得到： (n+1)/2 1 2 .。 n2 n1 0 0 0 。.。 0 n .。 .。 。.。 。 0 -n 0 .。 0 0 最后沿第一列展开得到结果是（1/2)*(n+1）*nn1*（1）（n-1)（n-2）/2