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(完整版)关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法
n阶行列式的定义
n阶行列式=
（1）

2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和;
3、N阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N个元素的乘积;
特点：（1)(项数）它是3！项的代数和；
（2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:
（3）(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123，231,312.
它们都是偶排列；
三个负项的列标构成的排列为321，213，132,
它们都是奇排列.
§ 行列式的性质
性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
即=；
行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2　 互换行列式的两行(列），行列式的值变号。
如: D==ad—bc ， =bc-ad= -D
以r表第i行，C表第j列。交换 i，j两行记为r,交换i，j两列记作CC。

性质3:如果一个行列式的两行（或两列)完全相同，那么这个行列式的值等于零.
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k乘这个行列式。（第i行乘以k，记作r)
推论1:一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零.
推论3:如果一个行列式的某二行(或某二列)的对应元素成比例，那么行列式值等于零。

性质5：如果行列式D的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D等于两个行列式D1和D2的和。=+
性质6：把行列式的某一行(或某一列)的元素乘同一个数后，加到另一行（或另一列）的对应元素上，行列式值不变。
推论 如果行列式的某一行（列)的每个元素都是m个数之和(m>2)，则此行列式等于m个行列式之和。

一个n阶行列式,如果它的元素满足：;试证：当n为奇数时,此行列式为零.
每一行（或列)提出一个（—1），再转置得D=(-1）nD
性质7 行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.
按行：
按列:
将性质7 与Laplace定理合并为下列结论:
（1）
和 （2）
行列式的计算
1．利用行列式定义直接计算
例1 计算行列式

解 Dn中不为零的项用一般形式表示为
。
该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2…1n）等于,故

2．利用行列式的性质计算
例2 一个n阶行列式的元素满足

则称Dn为反对称行列式,证明：奇数阶反对称行列式为零.
证明：由知，即

故行列式Dn可表示为

由行列式的性质

当n为奇数时,得Dn =－Dn，因而得Dn = 0。
3．化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n阶行列式

解:这个行列式的特点是每行(列）元素的和均相等,根据行列式的性质，把第2，3,…，n列都加到第1列上，行列式不变，得

4．降阶法
降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶,更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
例4 计算n阶行列式

解 将Dn按第1行展开

。
5．逆推公式法
逆推公式法:对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1, Dn－2之间的一种关系——称为逆推公式（其中Dn， Dn－1, Dn－2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。
例5 证明

证明：将Dn按第1列展开得

由此得递推公式：，利用此递推公式可得

6．利用范德蒙行列式
例6 计算行列式

解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行,便得范德蒙行列式

7．加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法.
例7 计算n阶行列式

解：
（箭形行列式）

8．数学归纳法
例8 计算n阶行列式

解：用数学归纳法. 当n = 2时

假设n = k时，有

则当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开,得

由此,对任意的正整数n,有

9．拆开法
把某一行(或列）的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。
例9 计算行列式
解：

……

上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结,才能更好地掌握行列式的计算.
（1);
证明

。
关于行列式的消项（其中C代表列··R代表行）
(2)=(a-b)3;
证明

=（a—b)3
（3）
=(a—b）(a—c)（a-d)（b-c)（b—d)(c—d）(a+b+c+d)；
证明

（c2 ，c3 ，c4减数字去第一列的）

=（a—b)（a—c)(a—d）（b—c)(b-d)（c-d)（a+b+c+d）.
(4)=xn+a1xn-1+ × × × +an—1x+an 。

证明 用数学归纳法证明.
当n=2时, ， 命题成立.
假设对于(n-1）阶行列式命题成立, 即
Dn-1=xn-1+a1 xn—2+ × × × +an-2x+an-1,
则Dn按第一列展开, 有

=xD n—1+an=xn+a1xn—1+ × × × +an-1x+an 。
因此, 对于n阶行列式命题成立. 6. 设n阶行列式D=det（aij）， 把D上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转， 依次得
, ， ，
证明， D3=D .
证明　因为D=det（aij), 所以

.
同理可证
.

7。 计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）：
(1）, 其中对角线上元素都是a， 未写出的元素都是0；
解
（按第n行展开)

=an—an—2=an-2(a2-1）.
（2)；
解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得
,
再将各列都加到第一列上， 得
=[x+（n-1）a］（x-a)n—1。
（3）；
解 根据第6题结果, 有

此行列式为范德蒙德行列式.

例3

练习3：证明： 。
证明：
左边

从最后一行开始，每行减去上一行，得到：
1 2 3 ... n-1 n
1 1 1 .。。 1 1-n
..。 。。。 。。。 。。.
1 1-n 1 ... 1 1
然后做列变换,从各列中减去第一列，得到:
1 1 2 .。。 n-2 n—1
1 0 0 .。。 0 —n
... .。. 。.. 。..
1 —n 0 。.。 0 0
再把各列乘以(1/n)，加回到第一列，得到：
(n+1)/2 1 2 .。。 n—2 n—1
0 0 0 。.。 0 —n
.。。 .。。 。.。 。。。
0 -n 0 ..。 0 0
最后沿第一列展开得到结果是（1/2)*(n+1）*n^｛n—1｝*（—1）^｛（n-1)（n-2）/2}