1、昆 明 学 院 2010 届毕业设计(论文)设计(论文)题目 行列式的计算方法研究 姓 名 学 号 S006054127 所 属 系 数学系 专业年级 数学与应用数学2006级数学班 指导教师 2010年 5 月行列式的计算方法研究摘要 在线性代数中,行列式是个函数。在本质上,行列式描述的是在维空间中一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。行列式的概念出现的根源是解线性方程组。本论文首先,对行列式的计算方法进行总结,并对计算方法进行举例。其次,n阶行列式的计算方法很多,除非零元素较少时可利用定义计算(按照某一列或某一行展开完全展开式)外,更多的是利用行列式的性质计算,特别要注意观察所求题
2、目的特点,灵活选用方法。最后,值得注意的是,在同一个行列式有时会有不同的求解方法,这就要根据行列式的特点选择适当的方法了。关健词: 行列式 计算 方法 方法举例Abstract In linear algebra, the determinant is a function.In essence, the determinant dimensional space described in a linear transformation.The formation of parallel polyhedron and volume.The concept of the root of the
3、determinant there is solution of linear equations.The paper on the summary of the calculation of the determinant and the calculation method for example.n-order determinant have many the calculation methods,Fewer non-zero elements Can be calculated using the definition(1.In accordance with the start
4、of a column or a row. 2.Full expansion.). More determinant of the nature of the calculation is to use.In particular, observe the characteristics of the subject request,Flexible Selection Method.It is to be noted that In the same determinant sometimes will have different methods for solving. Here are
5、 some commonly used methods and illustrate with examples.Keywords: Determinant Calculation motheds illustrate with examples目 录前言 1第一章 普遍法求行列式1.1 利用行列式的定义直接计算.21.2 利用行列式的性质计算.21.3 化为三角形行列式.3 1.3.1 直接化为阶梯型.3 1.3.2 相同去项化上三角形 .4第二章 特殊法求行列式2.1 降阶法(按行(列)展开法) .5 2.1.1 先简后展 .5 2.1.2 按第一行(列)展开.62.2 递(逆)推公式法.
6、7 2.2.1 等差数列递推.7 2.2.2“一路直推”.9 2.2.3 对角递推.92.3 利用范德蒙行列式.11 2.3.1 变形范德蒙行列式.11 2.3.2 系数范德蒙行列式.12 2.3.3利用行列式性质凑范德蒙行列式.13第三章 其他方法求行列式3.1 加边法(升阶法).14 3.1.1“0”和“字母”加边.14 3.1.2 “0”和“1”加边.143.2 数学归纳法 .16 3.2.1 第一数学归纳法 .16 3.2.2 第二数学归纳法 .17 3.2.3 猜测归纳法 .173.3 拆开法 .193.3.1 对角拆开 .193.3.2 按行(列)拆 .19参考文献.21.谢辞.2
7、2前 言 在线性代数中,行列式是一个函数,其定义域为的矩阵,值域为一个标量,写作。在本质上,行列式描述的是在维空间中,一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。行列式无论是在微积分中(比如说换元积分法中),还是在线性代数中都有重要应用.如判断矩阵的可逆性,行列式的一个主要应用是解线性方程组。当线性方程组的方程个数与未知数个数相等时,方程组不一定总是有唯一解。对一个有个方程和个未知数的线性方程组,我们研究未知数系数所对应的行列式。这个线性方程组有唯一解当且仅当它对应的行列式不为零。这也是行列式概念出现的根源。当线性方程组对应的行列式不为零时,由克莱姆法则,可以直接以行列式的形式写出方程组的解
8、。但用克莱姆法则求解计算量巨大,因此并没有实际应用价值,一般用于理论上的推导。行列式概念的最初引进是在解线性方程组的过程中行列式被用来确定线性方程组解的个数,以及形式。随后,行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用。于是有了线性自同态和向量组的行列式的定义。行列式的特性可以被概括为一个n次交替线性形式,这反映了行列式作为一个描述“体积”的函数的本质。若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵,与矩阵不同的是,矩阵的表示是用中括号,而行列式则用线段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和,既是一个实数:求每一个积时依次从每一行取一个元因子,而这每一个元因子又需取自不同的列,作为乘数,积
9、的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。 第一章 普通法求行列式 1.1 利用行列式定义直接计算例1 计算行列式 解 中不为零的项用一般形式表示为 该项列标排列的逆序数等于,故. 总结:对上面的例题,可以看出,行列式中0元素比较多的,那么用定义法计算比较简略。对于这一类型行列式形状,我们为了方便计算逆序数,最好把它的个数做成等差或等比数列。 1.2 利用行列式的性质计算 例1: ,一个n阶行列式的元素满足则称Dn为反对称行列式。证明:奇数阶反对称行列式为零. 证明:由知,即故行列式可表示为,由行列式的性质,当为奇数时,得,因而得 1.3 化为三
10、角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形,其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 化为三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上(下)三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。 原则上,每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式,在一般情况下,计算往往较繁。因此,在许多情况下,总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形,再将其化为三角形行列式。1.3.1 直接化为阶梯形例1 计算行列式解: 这是一个阶
11、数不高的数值行列式,通常将它化为上(下)三角行列式来计算1.3.2 相同去项化上三角形例题2:计算n阶行列式解:这个行列式每一列的元素,除了主对角线上的外,都是相同的,且各列的结构相似,因此n列之和全同将第2,3,n列都加到第一列上,就可以提出公因子且使第一列的元素全是1第二章 特殊法求行列式阶法 2.1 按行(列)展开法 降阶法是按某一行(或一列)展开行列式,这样可以降低一阶,更一般地是用拉普拉斯定理,这样可以降低多阶,为了使运算更加简便,往往是根据行列式的特点,先利用列式的性质化简,使行列式中有较多的零出现,然后再展开。 2.1.1 先简再展例1:计算20阶行列式分析这个行列式中没有一个零
12、元素,若直接应用按行(列)展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算,需进行20!*201次加减法和乘法运算,这人根本是无法完成的,更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素,则很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列(行)的对应元素仅差1,因此,可按下述方法计算:2.1.2 按第一行(列)展开例2 : 计算n阶行列式解 将按第1行展开.例3:计算n(n2)阶行列式 解 按第一行展开,得 再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开,则可得到 2.2 递(逆)推公式法 递推法是根据行列式的构造特点,建立起与的递推关系式,逐步推下去,从而求出的值。 有时也可以找到 与 , 的递推关
13、系,最后利用 . 得到 的值。 注意:用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话,即很难找出递推关系式,从而不能使用此方法。 2.2.1 等差数列递推例1: 计算行列式.解:将行列式按第列展开,有,得 。同理得 , 例2 : 计算解: 同理联立解得当时, 2.2.2 “一路直推”例1: 计算阶行列式解 首先建立递推关系式按第一列展开,得:这里与有相同的结构,但阶数是的行列式现在,利用递推关系式计算结果对此,只需反复进行代换,得:因,故最后,用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的当时,显然成立设对阶的情形结果正确,往证对n阶的情形也正确由可知,对n阶的行列式结果也成立根据归纳法原
14、理,对任意的正整数n,结论成立 2.2.3 对角直递例1: 证明n阶行列式证明: 按第一列展开,得其中,等号右边的第一个行列式是与有相同结构但阶数为的行列式,记作;第二个行列式,若将它按第一列展开就得到一个也与有相同结构但阶数为的行列式,记作这样,就有递推关系式:因为已将原行列式的结果给出,我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的当时,结论正确当时,结论正确设对的情形结论正确,往证时结论也正确由 可知,对n阶行列式结果也成立 根据归纳法原理,对任意的正整数n,结论成立分析:此行列式的特点是:除主对角线及其上下两条对角线的元素外,其余的元素都为零,这种行列式称“三对角”行列式1。从行列式
15、的左上方往右下方看,即知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。 2.3 利用范德蒙行列式根据行列式的特点,适当变形(利用行列式的性质如:提取公因式;互换两行(列);一行乘以适当的数加到另一行(列)去; .) 把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。 2.3.1 变形范德蒙行列式例1 计算行列式解 把第1行的1倍加到第2行,把新的第2行的1倍加到第3行,以此类推直到把新的第n1行的1倍加到第n行,便得范德蒙行列式例2:计算阶行列式 其中解: 这个行列式的每一行元素的形状都是,0,1,2,n即按降幂排列,按升幂排列,且
16、次数之和都是n,又因,若在第i行(1,2,n)提出公因子,则D可化为一个转置的范德蒙行列式,即例3: 计算行列式 .解: 2.3.2 系数范德蒙行列式例1: 计算行列式 解 作如下行列式,使之配成范德蒙行列式 = 易知等于中 的系数的相反数,而中 的系数为 ,因此, 2.3.3 利用行列式性质凑范德蒙行列式 例1: 计算n阶行列式 解:显然该题与范德蒙行列式很相似,但还是有所不同,所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。先将的第n行依次与第n-1行,n-2行,,2行,1行对换,再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行,n-2行,,2行对换,继续仿此作法,直到最后将第n行与第n-1行
17、对换,这样,共经过(n-1)+(n-2)+2+1=n(n-1)/2次行对换后,得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式,故利用范德蒙行列式的结果得: 第三章 其他方法求行列式 3.1加边法(升阶法) 加边法(又称升阶法)是在原行列式中增加一行一列,且保持原行列式不变的方法。它要求:1 保持原行列式的值不变; 2 新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行(列)有一个相同的字母外,也可用于其第 列(行)的元素分别为 个元素的倍数的情况。 3.1.1 “0”“字母”加边例1: 计算阶行列式 解: 3.1.2 0 和1加边例1: 计算阶行列式 ,其中解: 先将添上
18、一行一列,变成下面的阶行列式: 显然,将的第一行乘以后加到其余各行,得 因,将上面这个行列式第一列加第i(,)列的倍,得:3.2 数学归纳法 当 与 是同型的行列式时,可考虑用数学归纳法求之。 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值,再用数学归纳法给出猜想的证明。因此,数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式,要猜想其值是比较难的,所以是先给定其值,然后再去证明。3.2.1 第一数学归纳法例1 :计算行列式 解:用数学归纳法. 当时, 假设时,有 则当时,把按第一列展开,得由此,对任意的正整数,有 3.2.2 第二数学归纳法例1:计算行列式 .解:,于是猜想 . 证明:对级数
19、用第二数学归纳法证明. 时,结论成立.假设对级数小于时,结论成立.将级行列式按第行展开 . 3.2.3 猜测归纳 例1: 计算行列式 解: 猜测: 证明(1) 时,命题成立。假设 时命题成立,考察n=k的情形: 故命题对一切自然数n成立。 3.3 拆开法 拆项法是将给定的行列式的某一行(列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的。使问题简化以利计算。 3.3.1 对角拆例1 :计算行列式 解:= 3.3.2 按列(行)拆例1: 计算阶行列式 解: 将按第一列拆成两个行列式的和,即再将上式等号右端的第一个行列式第i列(,3,n
20、)减去第一列的i倍;第二个行列式提出第一列的公因子,则可得到当n3时,当时,小结:计算行列式的方法很多,也比较灵活,上面介绍了计算n阶行列式的常见方法,计算行列式时,我们应当针对具体问题,把握行列式的特点,灵活选用方法。总的原则是:充分利用所求行列式的特点,运用行列式性质及上述常用的方法,有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值;有时也可用多种方法求出行列式的值。学习中多练习,多总结,才能更好地掌握行列式的计算。参考文献1 线性代数-方法导引m.屠伯埙 .上海科大出版社.19942 高等代数m.王萼芳.石生明 .高等教育出版社.19953 高等代数全程导学及习题全解m.杜炜.马訾伟.中国
21、时代经济出版社.1998.4 高等代数辅导及习题全解(北大第三版)m.王勇.科学技术文献出版社.1995.5 高等代数习题集(上下册)m.杨子胥.山东科学技术出版社.2004.6 高等代数习题课参考书m.张均本.高等教育出版社.2003.7 高等代数m.上海财经大学数学系 主编.复旦大学出版社.2008.8 高等代数m.王住登.国防工业大学出版社.2005.9 Introduction To Higher Algebram.Dover publications 2004.10 Higher Enginering Mathematicsm.John Bird.Newnes.2004.谢辞 本论文
22、设计在老师的悉心指导和严格要求下业已完成,从课题选择到具体的写作过程,无不凝聚着老师的心血和汗水,在我的毕业论文写作期间,刘老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议,没有这样的帮助和关怀,我不会这么顺利的完成毕业论文。在此向刘老师表示深深的感谢和崇高的敬意。 在临近毕业之际,我还要借此机会向在这四年中给予了我帮助和指导的所有老师表示由衷的谢意,感谢他们四年来的辛勤栽培。不积跬步何以至千里,各位任课老师认真负责,在他们的悉心帮助和支持下,我能够很好的掌握和运用专业知识,并在设计中得以体现,顺利完成毕业论文。 同时,在论文写作过程中,我还参考了有关的书籍和论文,在这里一并向有关的作
23、者表示谢意。 我还要感谢同组的各位同学,在毕业设计的这段时间里,你们给了我很多的启发,提出了很多宝贵的意见,对于你们帮助和支持,在此我表示深深地感谢。 1. 基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究2. 基于单片机的嵌入式Web服务器的研究 3. MOTOROLA单片机MC68HC(8)05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究 4. 基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制 5. 基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究 6. 基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正(STR)调节器7. 单片机控制的二级倒立摆系统的研究8. 基于增强型51系列
24、单片机的TCP/IP协议栈的实现 9. 基于单片机的蓄电池自动监测系统 10. 基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究11. 基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究 12. 基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发 13. 基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制 14. 基于单片机的自动找平控制系统研究 15. 基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发 16. 基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发 17. 模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现 18. 一种基于单片机的轴快流CO,2激光器的手持控制面板的研制 19. 基于双单片机冲床数控系统的研究 20. 基于
25、CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制 21. 基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制 22. 基于单片机的软起动器的研究和设计 23. 基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究 24. 基于单片机的机电产品控制系统开发 25. 基于PIC单片机的智能手机充电器 26. 基于单片机的实时内核设计及其应用研究 27. 基于单片机的远程抄表系统的设计与研究 28. 基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制 29. 基于微型光谱仪的单片机系统 30. 单片机系统软件构件开发的技术研究 31. 基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制32. 基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制
26、 33. 基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用 34. 基于单片机的光纤光栅解调仪的研制 35. 气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制 36. 基于单片机的数字磁通门传感器 37. 基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究 38. 基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究 39. 单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制 40. 基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪 41. 基于单片机的电机运动控制系统设计 42. Pico专用单片机核的可测性设计研究 43. 基于MCS-51单片机的热量计 44. 基于双单片机的智能遥测微型气象站 45. MCS-51单片机构建机器人的
27、实践研究 46. 基于单片机的轮轨力检测 47. 基于单片机的GPS定位仪的研究与实现 48. 基于单片机的电液伺服控制系统 49. 用于单片机系统的MMC卡文件系统研制 50. 基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究 51. 基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究 52. 单片机控制的后备式方波UPS 53. 提升高职学生单片机应用能力的探究 54. 基于单片机控制的自动低频减载装置研究 55. 基于单片机控制的水下焊接电源的研究 56. 基于单片机的多通道数据采集系统 57. 基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制 58. 基于单片机的红外测油仪的研究 59. 96系列
28、单片机仿真器研究与设计 60. 基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造 61. 基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现 62. 基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制 63. 基于单片机的气体测漏仪的研究 64. 基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器 65. 基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究 66. 基于单片机的膛壁温度报警系统设计 67. 基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计 68. 基于单片机船舶电力推进电机监测系统 69. 基于单片机网络的振动信号的采集系统 70. 基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究 71. 基于单片机的叠
29、图机研究与教学方法实践 72. 基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现 73. 基于AT89S52单片机的通用数据采集系统 74. 基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究 75. 机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统 76. 基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究77. 基于单片机系统的网络通信研究与应用 78. 基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究79. 基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究 80. 基于双单片机冲床数控系统的研究与开发 81. 基于Cygnal单片机的C/OS-的研究82. 基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究
30、 83. 基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现 84. 变频调速液压电梯单片机控制器的研究 85. 基于单片机-免疫计数器自动换样功能的研究与实现 86. 基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现 87. 单片机嵌入式以太网防盗报警系统 88. 基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现 89. 单片机监测系统在挤压机上的应用 90. MSP430单片机在智能水表系统上的研究与应用 91. 基于单片机的嵌入式系统中TCP/IP协议栈的实现与应用92. 单片机在高楼恒压供水系统中的应用 93. 基于ATmega16单片机的流量控制器的开发 94. 基于MSP43
31、0单片机的远程抄表系统及智能网络水表的设计95. 基于MSP430单片机具有数据存储与回放功能的嵌入式电子血压计的设计 96. 基于单片机的氨分解率检测系统的研究与开发 97. 锅炉的单片机控制系统 98. 基于单片机控制的电磁振动式播种控制系统的设计 99. 基于单片机技术的WDR-01型聚氨酯导热系数测试仪的研制 100. 一种RISC结构8位单片机的设计与实现 101. 基于单片机的公寓用电智能管理系统设计 102. 基于单片机的温度测控系统在温室大棚中的设计与实现103. 基于MSP430单片机的数字化超声电源的研制 104. 基于ADC841单片机的防爆软起动综合控制器的研究105.
32、 基于单片机控制的井下低爆综合保护系统的设计 106. 基于单片机的空调器故障诊断系统的设计研究 107. 单片机实现的寻呼机编码器 108. 单片机实现的鲁棒MRACS及其在液压系统中的应用研究 109. 自适应控制的单片机实现方法及基上隅角瓦斯积聚处理中的应用研究110. 基于单片机的锅炉智能控制器的设计与研究 111. 超精密机床床身隔振的单片机主动控制 112. PIC单片机在空调中的应用 113. 单片机控制力矩加载控制系统的研究 项目论证,项目可行性研究报告,可行性研究报告,项目推广,项目研究报告,项目设计,项目建议书,项目可研报告,本文档支持完整下载,支持任意编辑!选择我们,选择成功!项目论证,项目可行性研究报告,可行性研究报告,项目推广,项目研究报告,项目设计,项目建议书,项目可研报告,本文档支持完整下载,支持任意编辑!选择我们,选择成功!单片机论文,毕业设计,毕业论文,单片机设计,硕士论文,研究生论文,单片机研究论文,单片机设计论文,优秀毕业论文,毕业论文设计,毕业过关论文,毕业设计,毕业设计说明,毕业论文,单片机论文,基于单片机论文,毕业论文终稿,毕业论文初稿,本文档支持完整下载,支持任意编辑!本文档全网独一无二,放心使用,下载这篇文档,定会成功!23