行列式的计算方法总结.doc

行列式的计算方法总结:1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式. 2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace定理).几个特别的行列式:,其中分别是阶的方阵.例子: ,利用Laplace定理,按第行展开,除级子式外其余由第行所得的级子式均为零.故,此为递推公式,应用可得.3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式.例: -() -(每一列提出相应的公因子) -(将第列加到第一列).其它的例子：特点是除了主对角线,其余位置上的元素各行或各列都相同.,.4. 逐行逐列相减法.行列式特点是每相邻两行(列)之间有许多元素相同.用逐行(列)相减可以化出零.5. 升阶法(或加边法, 添加一行一列,利于计算,但同时保持行列式不变). 例子:.例子:6. 利用范德蒙德行列式.计算行列式: 解: 令: ,这是一个级范德蒙德行列式.一方面,由范德蒙德行列式得.可看做是关于的一个次多项式.另一方面,将按最后一列展开,可得一个关于的多项式,其中的系数与所求行列式的关系为.由来计算的系数得:,故有其它的例子: 每一行提公因子,7.利用数学归纳法证明行列式.(对行列式的级数归纳)证明当时,证明时,将按第一行(或第一列)展开得,利用归纳假设可得.8. 利用递推公式.例子: 计算行列式解: 按第一行展开得: ,将此式化为: (1) 或 (2) 利用递推公式(1)得:,即. (3)利用递推公式(2)得:,即. (4) 由(3)(4) 解得: 其它的例子,按第一行展开可得,此时令则,变形为,此为递推公式.利用刚才的例子可求得结果.这里即是方程的两个根.9. 分拆法.将行列式的其中一行或者一列拆成两个数的和,将行列式分解成两个容易求的行列式的和.例子: 除第一行外,其余各行加上第一行的倍,所得行列式按第一列展开,按第一列展开., 故,由的对称性质,亦可得,这两个式子中削去,可得结论,.注: (1) 同一个行列式,可有多种计算方法.要利用行列式自身元素的特点,选择合适的计算方法. (2) 以上的各种方法并不是互相独立的,计算一个行列式时,有时需要综合运用以上方法,