行列式的计算方法总结.doc

行列式的计算方法总结:
1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式.
2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace定理).
几个特别的行列式:
,,其中分别是阶的方阵.
例子: ,
利用Laplace定理,按第行展开,除级子式外其余由第行所得的级子式均为零.
故,此为递推公式,应用可得
.
3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式.
例: -----()
--------(每一列提出相应的公因子)
--------(将第列加到第一列)
.
其它的例子：特点是除了主对角线,其余位置上的元素各行或各列都相同.
,.
4. 逐行逐列相减法.行列式特点是每相邻两行(列)之间有许多元素相同.用逐行(列)相减可以化出零.
5. 升阶法(或加边法, 添加一行一列,利于计算,但同时保持行列式不变).
例子:

.
例子:

6. 利用范德蒙德行列式.
计算行列式:
解: 令: ,这是一个级范德蒙德行列式.
一方面,由范德蒙德行列式得.可看做是关于的一个次多项式.
另一方面,将按最后一列展开,可得一个关于的多项式,其中的系数与所求行列式的关系为.
由来计算的系数得:,
故有
其它的例子:
……每一行提公因子,

7.利用数学归纳法证明行列式.(对行列式的级数归纳)
证明当时,
证明时,将按第一行(或第一列)展开得,利用归纳假设可得.
8. 利用递推公式.
例子: 计算行列式
解: 按第一行展开得: ,将此式化为:
(1) 或 (2)
利用递推公式(1)得:
,即. (3)
利用递推公式(2)得:
,即. (4)
由(3)(4) 解得:
其它的例子
,按第一行展开可得
,此时令则,
变形为,此为递推公式.利用刚才的例子可求得结果.
这里即是方程的两个根.
9. 分拆法.将行列式的其中一行或者一列拆成两个数的和,将行列式分解成两个容易求的行列式的和.
例子:

: 除第一行外,其余各行加上第一行的倍,所得行列式按第一列展开,按第一列展开.

, 故,
由的对称性质,亦可得,这两个式子中削去,可得结论,
.

注: (1) 同一个行列式,可有多种计算方法.要利用行列式自身元素的特点,选择合适的计算方法.
(2) 以上的各种方法并不是互相独立的,计算一个行列式时,有时需要综合运用以上方法,