苏教版初中数学组卷.doc

初中数学组卷

一．选择题（共1小题）
1．如图，AB为⊙O的直径，点 C、D、E均在⊙O上，且∠BED=30°，那么∠ACD的度数是（　　）

A．
60°
B．
50°
C．
40°
D．
30°

二．填空题（共6小题）
2．有一枚均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1，2，3，4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为x；另有三张背面完全相同，正面上分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，小亮将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后他们计算出S=x+y的值，则S=0时的概率为　_________　．

3．（2008•泰州）若O为△ABC的外心，且∠BOC=60°，则∠BAC=　_________　．

4．某种商品的进价为15元，出售时标价是22.5元．由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于10%，那么该店最多降价　_________　元出售该商品．

5．已知a2﹣3a+1=0，则a+=　_________　，a2+=　_________　．

6．（2010•威海）从边长为a的大正方形纸板中间挖去一个边长为b的小正方形后，将其截成四个相同的等腰梯形﹙如图①﹚，可以拼成一个平行四边形﹙如图②﹚．
现有一平行四边形纸片ABCD﹙如图③﹚，已知∠A=45°，AB=6，AD=4．若将该纸片按图②方式截成四个相同的等腰梯形，然后按图①方式拼图，则得到的大正方形的面积为　_________　．

7．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为　_________　．

三．解答题（共23小题）
8．某企业员工300人，生产A种产品，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数），为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的B种产品，根据评估，调配后，继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m万元．
（1）调配后，企业生产A种产品的年利润为　_________　万元，企业生产B种产品年利润为　_________　万元（用含x和m的代数式表示）．若设调配后企业全年总利润为y万元，则y与x的关系式y=　_________　．
（2）若要求调配后，企业生产A种产品的年利润不小于调配前企业利润的，生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几种调配方案？请设计出来．
（3）比较（2）中的几种调配方案并指出其中哪种方案全年总利润最大．

9．（2009•衡阳）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．

（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化并说明理由；
（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？
（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0＜a＜4），正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．

10．（2008•内江）如图，一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，OB=．且点B横坐标是点B纵坐标的2倍．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点A横坐标为m，△ABO面积为S，求S与m的函数关系式，并求出自变量的取值范围．

11．（2009•德州）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．
（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；
（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值？若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．

12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴正半轴上，边CO在y轴的正半轴上，且AB=2，OB=2，矩形ABOC绕点O逆时针旋转后得到矩形EFOD，且点A落在Y轴上的E点，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D．
（1）求F，E，D三点的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx+c经过点F，E，D，求此抛物线的解析式；
（3）在X轴上方的抛物线上求点Q的坐标，使得△QOB的面积等于矩形ABOC的面积．

13．观察下列各式：，，…
（1）找出规律，再继续写出下面的两个等式．
（2）用含字母n的式子表示以上各式的特点．

14．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2=a且，则将将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2开方，从而使得化简．
例如，5+==，
∴．
请仿照上例解下列问题：
（1）；
（2）．

15．如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，且OP=2．以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M，N两点，且∠MPN=∠AOB=60°．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M，N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．
（1）判断：△OPN与△PMN是否相似，并说明理由；
（2）写出y与x之间的关系式；
（3）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．

16．（2011•六盘水）如图所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA=3，OB=4．将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为D点，AE为折痕，E在y轴上．
（1）在如图所示的直角坐标系中，求E点的坐标及AE的长．
（2）线段AD上有一动点P（不与A、D重合）自A点沿AD方向以每秒1个单位长度向D点作匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜3），过P点作PM∥DE交AE于M点，过点M作MN∥AD交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）当t（0＜t＜3）为何值时，A、D、M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标．

17．（2009•邵阳）如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）
（1）求A、B两点的坐标；
（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；
（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2；
①当2＜t≤4时，试探究S2与之间的函数关系；
②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的？

18．（2009•中山）小明用下面的方法求出方程2﹣3=0的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中．
方程
换元法得新方程
解新方程
检验
求原方程的解

令，
则2t﹣3=0

，
所以

　_________　
　_________　
　_________　
　_________　

　_________　
　_________　
　_________　
　_________　

19．如图，A、B、E、C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，∠CAD=∠EAB，AE是⊙O的直径吗？为什么？

20．（2009•漳州）为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．
（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？
（2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？

21．（2009•鸡西）某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：
型号
A型
B型
成本（元/台）
2200
2600
售价（元/台）
2800
3000
（1）冰箱厂有哪几种生产方案？
（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？
（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种？

22．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，DE垂直平分AB，且DE=DC，求∠B的度数．

23．（2010•聊城）如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．

24．如图：直线y=﹣x+6与坐标轴分别相交于点A、B，点P是直线AB上的一点，Q是双曲线上的一点，若O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，请在图中找出所有符合条件的点Q，并求出点Q的坐标和写出相应k的值．

25．（2011•泰州）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．
（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．

26．（2010•湘西州）在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=100°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，点E是AB的中点，连接DE．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求∠B的度数；
（3）求线段DE的长．

27．（2003•海南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF=CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请证明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是矩形吗？为什么？

28．观察下列各式及其验证过程
①2=；验证：2===
②3；验证：3
（1）参照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想：5=　_________　；
（2）针对上述各式所反映的一般规律，请你猜想出用n（n为自然数，且n≥2）表示的等式，并给出验证．

29．已知：a=，b=．求a2﹣3ab+b2的值．

30．观察下列各式，，…利用上述三个等式及其变化过程，
计算的值．

参考答案与试题解析

一．选择题（共1小题）
1．如图，AB为⊙O的直径，点 C、D、E均在⊙O上，且∠BED=30°，那么∠ACD的度数是（　　）

A．
60°
B．
50°
C．
40°
D．
30°

考点：
圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系。747015
专题：
计算题。
分析：
连接BD，DA，由AB是圆的直径，则∠BDA=90°，由圆周角定理知，∠DAB=∠BED=30°，即可求∠ABD=90°﹣∠DAB=60°，从而得出∠ACD的度数．
解答：
解：连接BD，DA，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DAB=∠BED=30°，
∴∠ABD=90°﹣∠DAB=60°，
∴∠ACD=60°．
故选A．

点评：
本题考查了直径对的圆周角定理是直角和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

二．填空题（共6小题）
2．有一枚均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1，2，3，4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为x；另有三张背面完全相同，正面上分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，小亮将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后他们计算出S=x+y的值，则S=0时的概率为　　．

考点：
列表法与树状图法。747015
分析：
列举出所有情况，看S=0的情况占总情况的多少即可．
解答：
解：
共有12种情况，S=0的情况有2种，所以概率为．
点评：
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

3．（2008•泰州）若O为△ABC的外心，且∠BOC=60°，则∠BAC=　30°或150°　．

考点：
三角形的外接圆与外心。747015
分析：
根据圆周角定理可知∠BAC=∠BOC=30度．
解答：
解：因为∠BOC是所对的圆心角，∠BAC是所对的圆周角，
所以由两种情况：①∠BAC=∠BOC=30度，②∠BAC=（360°﹣∠BOC）=150°．

点评：
本题考查了同一弧线所对的圆心角和圆周角的关系．本题关键要想到圆周中同一弧线所对应的圆周角是圆心角的一半．

4．某种商品的进价为15元，出售时标价是22.5元．由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于10%，那么该店最多降价　6　元出售该商品．

考点：
一元一次不等式的应用。747015
分析：
先设最多降价x元出售该商品，则降价出售获得的利润是22.5﹣x﹣15元，再根据利润率不低于10%，列出不等式即可．
解答：
解：设降价x元出售该商品，
则22.5﹣x﹣15≥15×10%，
解得x≤6．
故该店最多降价6元出售该商品．
故答案为：6．
点评：
本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．

5．已知a2﹣3a+1=0，则a+=　3　，a2+=　7　．

考点：
完全平方公式。747015
分析：
首先观察题目：弄清已知和问题之间的关系；利用完全平方公式，可解答题目
解答：
解：∵a2﹣3a+1=0，
∴a2+1=3a，
∴a+===3，
∵a2﹣3a+1=0，
∴a2+1=3a，
∴（a2+1）2=9a2，
∴a4+1=7a2，
∵a2+===7
故答案为3，7．
点评：
本题主要考查了完全平方公式，熟知公式，并灵活变形公式是解答题目的关键．

6．（2010•威海）从边长为a的大正方形纸板中间挖去一个边长为b的小正方形后，将其截成四个相同的等腰梯形﹙如图①﹚，可以拼成一个平行四边形﹙如图②﹚．
现有一平行四边形纸片ABCD﹙如图③﹚，已知∠A=45°，AB=6，AD=4．若将该纸片按图②方式截成四个相同的等腰梯形，然后按图①方式拼图，则得到的大正方形的面积为　11+6　．

考点：
等腰梯形的性质；平行四边形的性质；正方形的性质。747015
分析：
要求大正方形的面积，就是要求出等腰梯形的下底．
解答：
解：过点F作FG∥AD，交AB于点G，
∴四边形AEFG是平行四边形，EF=AG，AE=GF=AD，
∵BH=EF，AG=EF，
∴BH=AG，
∵∠A=45°，
∴∠GFH=90°，
∵GF=FH=2，
∴由勾股定理得，GH=2，
∴AG==3﹣，
∴等腰梯形的下底=3﹣=3+，
∴大正方形的面积=（3+）2=11+6．

点评：
考查了等腰梯形的性质和正方形面积的求法，以及平行四边形的判定．

7．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为　5　．

考点：
旋转的性质；直角梯形。747015
专题：
计算题。
分析：
过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点，由旋转的性质可知△CDF≌△EDG，从而有CF=EG，由△ADE的面积可求EG，得出CF的长，由矩形的性质得BF=AD，根据BC=BF+CF求解．
解答：
解：过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点，
由旋转的性质可知CD=ED，∠EDG+∠CDG=∠CDG+∠FDC=90°，
∴∠EDG=∠FDC，又∠DFC=∠G=90°，
∴△CDF≌△EDG，∴CF=EG，
∵S△ADE=AD×EG=3，AD=2，
∴EG=3，则CF=EG=3，
依题意得四边形ABFD为矩形，∴BF=AD=2，
∴BC=BF+CF=2+3=5．
故答案为：5．

点评：
本题考查了旋转的性质的运用，直角梯形的性质的运用．关键是通过DC、DE的旋转关系，作出旋转的三角形．

三．解答题（共23小题）
8．某企业员工300人，生产A种产品，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数），为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的B种产品，根据评估，调配后，继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m万元．
（1）调配后，企业生产A种产品的年利润为　1.2（300﹣x）m　万元，企业生产B种产品年利润为　1.54mx　万元（用含x和m的代数式表示）．若设调配后企业全年总利润为y万元，则y与x的关系式y=　360m+0.34mx　．
（2）若要求调配后，企业生产A种产品的年利润不小于调配前企业利润的，生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几种调配方案？请设计出来．
（3）比较（2）中的几种调配方案并指出其中哪种方案全年总利润最大．

考点：
一元一次不等式组的应用；一次函数的性质。747015
专题：
应用题；方案型。
分析：
（1）调配后企业生产A种产品的年利润=生产A种产品的人数×原来平均每人每年可创造利润×（1+20%）；生产B种产品的年利润=生产B种产品的人数×1.54m；总利润=调配后企业生产A种产品的年利润+生产B种产品的年利润，把相关数值代入即可；
（2）关系式为：调配后企业生产A种产品的年利润≥调配前企业年利润的五分之四，生产B种产品的年利润＞调配前企业年利润的一半，把相关数值代入求得x的取值范围，再根据x的实际意义确定其具体值，从而得出调配方案；
（3）根据（1）中y与x的关系式，运用一次函数的性质，可求得利润最大的调配方案．
解答：
解：（1）生产A种产品的人数为300﹣x，平均每人每年创造的利润为m×（1+20%）万元，所以调配后企业生产A种产品的年利润为1.2（300﹣x）m万元；
生产B种产品的人数为x，平均每人每年创造的利润为1.54m，所以生产B种产品的年利润为1.54mx万元；
调配后企业全年的总利润y=1.2（300﹣x）m+1.54mx=360m+0.34mx．
故答案为：1.2（300﹣x）m；1.54mx；360m+0.34mx；

（2），
解得97 ＜x≤100，
∵x为正整数，
∴x可取98，99，100．
∴共有三种调配方案：
①202人生产A种产品，98人生产B种产品；
②201人生产A种产品，99人生产B种产品；
③200人生产A种产品，100人生产B种产品；

（3）∵y=0.34mx+360m，
∴x越大，利润y越大，
∴当x取最大值100，即200人生产A种产品，100人生产B种产品时总利润最大．
点评：
本题考查一元一次不等式组的应用，一次函数的性质及方案选择问题，根据关键语句得到相应的关系式是解决问题的关键．

9．（2009•衡阳）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．

（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化并说明理由；
（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？
（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0＜a＜4），正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．

考点：
二次函数综合题。747015
专题：
压轴题。
分析：
（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为﹣x+4（0＜x＜4，x＞0，﹣x+4＞0）用坐标表示线段的长度则：MC=|﹣x+4|=﹣x+4，MD=|x|=x，根据四边形的周长计算方法计算即可发现，当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8．
（2）先用x表示四边形的面积S四边形OCMD=﹣（x﹣2）2+4，再利用四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0＜x＜4）的二次函数，并且x=2，可知即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4．
（3）结合（ 2 ），当0＜a≤2时，S=4﹣a2=﹣a2+4；当2≤a＜4时，S=（4﹣a）2=（a﹣4）2，作图即可．注意该图是分段函数．
解答：
解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为﹣x+4（0＜x＜4，x＞0，﹣x+4＞0），
则：MC=|﹣x+4|=﹣x+4，MD=|x|=x，
∴C四边形OCMD=2（MC+MD）=2（﹣x+4+x）=8，
∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8．

（2）根据题意得：S四边形OCMD=MC•MD=（﹣x+4）•x=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0＜x＜4）的二次函数，并且当x=2，
即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4．

（3）如图（ 2 ），当0＜a≤2时，S=4﹣a2=﹣a2+4，
如图（3），当2≤a＜4时，S=（4﹣a）2=（a﹣4）2，
∴S与a的函数的图象如下图所示．

点评：
本题结合四边形的性质考查二次函数的综合应用，有关函数和几何图形的综合题目，要利用几何图形的性质和二次函数的性质把数与形有机地结合在一起，利用题中所给出的面积和周长之间的数量关系求解．

10．（2008•内江）如图，一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，OB=．且点B横坐标是点B纵坐标的2倍．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点A横坐标为m，△ABO面积为S，求S与m的函数关系式，并求出自变量的取值范围．

考点：
反比例函数与一次函数的交点问题。747015
专题：
数形结合；待定系数法。
分析：
（1）根据点B的横坐标是点B的纵坐标的2倍，且OB=，结合勾股定理，即可求出B点的坐标，从而求出反比例解析式；
（2）在（1）的基础上，当A点的横坐标已知的情况下，A点的纵坐标也可求出，把A、B的坐标代入一次函数解析式中，利用待定系数法，可求出解析式，从而可求出直线与坐标轴的交点．
再进一步利用求和的方法，求三角形ABO的面积时，可列出等量关系，从而得出函数解析式．
解答：
解：（1）设点B的纵坐标为t，则点B的横坐标为2t．
根据题意，得（2t）2+t2=（）2，
∵t＜0，
∴t=﹣1．
∴点B的坐标为（﹣2，﹣1）．
设反比例函数为y=，得
k1=（﹣2）×（﹣1）=2，
∴反比例函数解析式为y=．

（2）设点A的坐标为（m，）．
根据直线AB为y=kx+b，可以把点A，B的坐标代入，
得，解得．
∴直线AB为y=．
当y=0时，=0，
∴x=m﹣2，
∴点D坐标为（m﹣2，0）．
∵S△ABO=S△AOD+S△BOD，
∴S=×|m﹣2|×+×|m﹣2|×1，
∵m﹣2＜0，＞0，
∴S=，
∴S=．
且自变量m的取值范围是0＜m＜2．

点评：
此题考查了勾股定理、待定系数法以及数形结合思想，难易程度适中．

11．（2009•德州）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．
（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；
（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值？若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．

考点：
二次函数的应用。747015
专题：
分类讨论。
分析：
（1）要看图解答问题．得出当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米可得出三角形EMN的面积．
（2）本题要分情况解答（0＜x≤1；1＜x＜1+）．当0＜x≤1时，可直接得出三角形的面积函数，当1＜x＜1+，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，先求FG，再证△MNG∽△DCG，继而得出三角形面积函数
（3）本题也要分两种情况解答：当MN在矩形区域滑动时以及当MN在三角形区域滑动时），利用二次函数的性质解答．
当MN在矩形区域滑动时，S=x，可直接由图得出取值范围
当MN在三角形区域滑动时，由二次函数性质可知，在对称轴时取得最大值
解答：
解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米．
∴S△EMN=×2×0.5=0.5（平方米）．
即△EMN的面积为0.5平方米．（2分）

（2）①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，
即0＜x≤1时，
△EMN的面积S=×2×x=x；（3分）
②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜1+时，
如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，
∵E为AB中点，
∴F为CD中点，GF⊥CD，且FG=．
又∵MN∥CD，
∴△MNG∽△DCG．
∴，即．（4分）
故△EMN的面积S=××x
=；（5分）
综合可得：S=（6分）

（3）①当MN在矩形区域滑动时，S=x，所以有0＜S≤1；（7分）
②当MN在三角形区域滑动时，S=﹣x2+（1+）x，
因而，当（米）时，S得到最大值，
最大值S===+（平方米）．（9分）
∵+＞1，
∴S有最大值，最大值为+平方米．（10分）

点评：
本题考查的是二次函数的相关知识．考生要学会利用图形，数形结合解答函数问题．难度较大．

12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴正半轴上，边CO在y轴的正半轴上，且AB=2，OB=2，矩形ABOC绕点O逆时针旋转后得到矩形EFOD，且点A落在Y轴上的E点，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D．
（1）求F，E，D三点的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx+c经过点F，E，D，求此抛物线的解析式；
（3）在X轴上方的抛物线上求点Q的坐标，使得△QOB的面积等于矩形ABOC的面积．

考点：
二次函数综合题。747015
专题：
综合题。
分析：
（1）连接AO，过D点作DH⊥x轴于H，过F作FG⊥x轴于G，由AB=2，OB=2，利用勾股定理可求出OA的长，根据旋转的性质可求出E点的坐标；由锐角三角函数的定义可知∠AOB=30°，根据旋转的性质可判断出△AOB≌△EOF，进而求出F的坐标，同理可求出D点坐标．
（2）根据抛物线y=ax2+bx+c经过点F，E，D，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（3）根据点Q在x轴的上方，可设三角形QOB的OB边上的高为h，根据三角形及矩形的面积公式可求出h的值，代入抛物线的解析式即可求出Q点的坐标．
解答：
解：（1）连接AO
∵矩形ABOC，AB=2，OB=2，
∴AO=4，
∵矩形ABOC绕点O逆时针旋转后得到矩形EFOD，
A落在y轴上的点E，
∴AO=EO=4∴E（0，4），
过D点作DH⊥x轴于H，
∵∠DHO=∠ABO=90°，
∵∠AOB=∠EOF，∠EOF+∠DOE=90°，
∴∠AOB+∠DOE=90°，
∵∠DOH+∠DOE=90°，
∴∠DOH=∠AOB，
∴△DHO∽△ABO，
∴==
∵AB=2，OB=2，DO=2，AO=4，
∴DH=1，OH=
∴D（﹣，1），
同理得∴F（，3）．

（2）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点F，E，D，
∴C=4，
∴，
求得：a=﹣，b=，c=4，
所求抛物线为：y=﹣x2+x+4．

（3）因为在x轴上方的抛物线上有点Q，使得三角形QOB的面积等于矩形BAOC的面积，
设三角形QOB的OB边上的高为h，则×2×h=2×2，
所以h=4，
因为点Q在x轴上方的抛物线上，
所以Q（x，4），
∴4=﹣x2+x+4，x1=0，x2=，
所以Q的坐标是（0，4）或（，4）．

点评：
本题考查的是图形旋转的性质及二次函数图象上点的坐标特点，有一定的综合性，但难度适中．

13．观察下列各式：，，…
（1）找出规律，再继续写出下面的两个等式．
（2）用含字母n的式子表示以上各式的特点．

考点：
二次根式的性质与化简。747015
专题：
规律型。
分析：
（1）仔细观察可看出原式等于根号内的整数部分加上原根号内的分数部分，仿照给出的变化过程写出过程即可；
（2）由===2，===，===，故根据上述规律可知n．
解答：
解：（1）总结规律可知=5，=6．
（2）===n．
点评：
本题主要考查二次根式的化简的知识点，找出等式规律很重要．

14．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2=a且，则将将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2开方，从而使得化简．
例如，5+==，
∴．
请仿照上例解下列问题：
（1）；
（2）．

考点：
二次根式的性质与化简。747015
专题：
阅读型。
分析：
观察所给示例的结构特点，根据所给示例解答即可．
解答：
解：5﹣2=3+2﹣2=，
∴==；
∵==，
∴==+1．
点评：
本题是一个示例探究题．解题时不仅要注意探索得到的结论，更要注意探索的过程，培养逻辑思维能力和探究能力．

15．如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，且OP=2．以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M，N两点，且∠MPN=∠AOB=60°．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M，N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．
（1）判断：△OPN与△PMN是否相似，并说明理由；
（2）写出y与x之间的关系式；
（3）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．

考点：
相似三角形的判定与性质。747015
分析：
（1）已知两三角形两角对应相等，可利用AAA证相似
（2）可由（1）问的三角形相似得到y与x之间的函数关系式．
（3）根据图形得出S的关系式，然后在图形内根据x的取值范围确定S的取值范围．
解答：
解：（1）△OPN∽△PMN．
证明：在△OPN和△PMN中，
∠PON=∠MPN=60°，∠ONP=∠PNM，
∴△OPN∽△PMN；

（2）∵MN=ON﹣OM=y﹣x，
∵△OPN∽△PMN，
∴，
∴PN2=ON•MN=y（y﹣x）=y2﹣xy．
过P点作PD⊥OB，垂足为D．
在Rt△OPD中，
OD=OP•cos60°=2×=1，PD=POsin60°=，
∴DN=ON﹣OD=y﹣1．
在Rt△PND中，
PN2=PD2+DN2=（）2+（y﹣1）2=y2﹣2y+4，
∴y2﹣xy=y2﹣2y+4，
即y=；

（3）在△OPM中，OM边上的高PD为，
∴S=•OM•PD=•x•=x，
∵y＞0，
∴2﹣x＞0，即x＜2．
又∵x＞0，
∴x的取值范围是0＜x＜2．
∵S是x的正比例函数，且比例系数 ＞0，
∴0＜S＜×2，
即0＜S＜．

点评：
此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、旋转的特征、解直角三角形、函数等知识，难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．

16．（2011•六盘水）如图所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA=3，OB=4．将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为D点，AE为折痕，E在y轴上．
（1）在如图所示的直角坐标系中，求E点的坐标及AE的长．
（2）线段AD上有一动点P（不与A、D重合）自A点沿AD方向以每秒1个单位长度向D点作匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜3），过P点作PM∥DE交AE于M点，过点M作MN∥AD交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）当t（0＜t＜3）为何值时，A、D、M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标．

考点：
相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理。747015
专题：
综合题。
分析：
（1）由折叠可知△AOE≌△ADE，根据全等三角形的对应边相等，以及对应角相等得到OE=ED，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，根据勾股定理求出AB的长，设出ED=OE=x，在直角三角形BED中，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而写出点E的坐标，再在直角三角形AOE中，根据勾股定理求出AE的长即可；
（2）根据两组对边互相平行得到四边形MNDP为平行四边形，又∠ADE为直角，所以MNDP为矩形，根据题意表示出AP的长，进而得到PD的