导学案：圆的基本元素.doc

第1课时 圆的基本元素
杨佳容
【学习目标】1.了解圆的概念、圆的读法、写法，根据已知条件会作圆；
2. 理解并掌握弦、弧、圆心角、圆周角等概念.
【学习重点】正确理解圆的弦、弧、圆心角和圆周角的概念.
【学习过程】
一、学习准备
回顾已经学习的圆的相关概念及公式：
同学们都会在纸上作圆，想一想作一个圆的过程，我们就可以给圆下一个定义：
·
O
P
A
B
在同一平面内，将一条线段（圆规两脚之间的距离）的一端固定（圆规尖脚），另一端（圆规铅笔端）在平面内旋转一周，所形成的封闭曲线叫做圆.
简单地说：圆心和半径确定一个圆——圆心定位置，半径定大小.
（1）圆心：常用大写字母O表示；
（2）半径：指圆上任一点与圆心的连线段.
在圆的计算公式中，半径常用小写字母r表示.
如：圆的周长公式 ，面积公式 .
在不混淆的情况下，半径有时候也用大写字母R表示. 如：圆的体积公式：.
半径还可以用两个大写字母表示，如右图中的半径OA、OB、OP.
（3）直径：过圆心的直线与圆相交，两个交点之间的长度称为直径. 如右图中的直径AB.
在圆的计算公式中，直径常用小写字母d表示. 故圆的周长公式还可表示为： .
一个圆，圆心只有一个，半径和直径却有无数条.
半径和直径之间的关系：同一个圆中，半径都 ，直径都 ，直径等于半径的
，用公式表示为 .
（4）圆的表示：用符号⊙表示，后面加上圆心字母即可表示一个圆，如⊙O.
如有几个圆，我们可以分别用⊙O1、⊙O2、⊙O3…表示，也可以用不同的字母表示，如⊙O、
⊙M、⊙N.
注意：圆是指“圆周”，而非“圆面”. 故圆也可以看成是“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形”.
（5）等圆：半径相等的两个圆叫等圆.
同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
·
O1
·
O2
等圆
·
O
同心圆
二、教材解读
·
O
C
A
B
1、圆的基本元素
（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径是圆中最长的弦.
如右图中AB、BC、AC都是⊙O的弦.
⌒
⌒
⌒
（2）弧：圆上任意两点间的曲线部分叫做圆弧，简称“弧”.
弧用符号“⌒”表示，如右图中AC、BC、AB.
①半圆：直径所对的弧叫做半圆.
不是直径的弦总是把一个圆周分成大小不同的两部分，如上图中弦AC把⊙O分成上下两部分，为了方便我们使用和区分，对这两段弧我们用一组相对的概念来命名.
②劣弧：小于半圆周的弧叫做劣弧.
⌒
③优弧：大于半圆周的弧叫做优弧. 优弧要用三个字母表示. 注意端点字母必须在两边.
⌒
如上图中，AC表示圆中的上半段小圆弧，而ABC表示圆中的下半段大圆弧.
BC表示圆中的右半段小圆弧，而BAC表示圆中的左半部段大圆弧.
④等弧：能够完全重合的弧叫做等弧.
·
O
C
A
B
M
注意：“等弧”和“弧长相等”是两个不同的概念.“等弧”要两条弧完全重合，故只可能是同圆或等圆中的两段弧. 而“弧长相等”可能是两个不同圆中的两段弧，它们的长度相等的.
（3）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
如右图中锐角∠AOC，∠BOC，称为弦AC和弦BC所对的圆心角，
也可称为弧AC和弧BC所对的圆心角. 平角∠AOB是半径AB所对的圆心角.
注意：那个大于180°的∠AOC也是圆心角. 为了区别，我们称为优弧
ABC 所对的圆心角∠AOC. 请你在图中用角的弧线画出优弧BAC 所对的圆心角.
我们很容易从图中看出，一个圆的圆心角度数的总和为 ，所以圆心角的取值范围应该是0°～360°，而半圆所对的圆心角为 .
说明：一般情况下，我们所用的圆心角都小于180°，即指劣弧所对的圆心角. 如果要用优弧所对的圆心角，需特别注明.
（4）圆周角：角的顶点在圆上，角的两边都和圆相交，这样的角叫圆周角.
如右上图中∠BAC、∠ACB都是圆周角，称为弦BC、弦AB所对的圆周角，也称为弧BC、弧AB所对的圆周角. 再看图中弦AC所对的圆周角，实际上有两个，即∠ABC 和∠AMC，它们分别指劣弧AC和优弧AC所对的圆周角. 所以，圆周角的度数应在0°～180°之间.
小组讨论：∠ACO、∠BCO 是否为圆周角？
即时练习：判断下列图中的角是否为圆周角，说说理由.
·
（1）
·
（2）
·
（3）
·
（4）

本课时达标检测
一、基础巩固
1．请你按以下要求画圆：
（1）圆O经过A、B两点； （2）圆O经过△ABC的三个顶点；
A
B
C
┐
A
·

·
·
A
B

C
B
·
·

思考：满足以上条件的圆各有多少个？作图的依据是什么，有什么规律？
2．下列语句中不正确的有 .（填序号）
①直径是弦； ②弧是半圆； ③经过圆内一定点可以作无数条弦； ④长度相等的弧是等弧.
3．过圆上一点可以作出圆的最长弦有（ ）.
A．1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
4. 等于圆周的弧是（ ）.
A
B
C
O
5题图
A. 劣弧 B. 半圆 C. 优弧 D.圆
二、知识拓展
5.如图，点C在以AB为直径的半圆上，O为圆心，
∠BAC = 20°，则∠BOC等于（ ）.
Q
P
M
R
6题图
A
B
C
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
6．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，
那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）.
A．点P B．点Q C．点R D．点M
（提示：可以用两种方法. 方法一，计算法；方法二，作图法.）
·
A
B
C
D
O
7题图
7.如图，A、B、C、D在⊙O上，按要求写出角的名称：
（1）以B为顶点的圆周角有 ；
（2）以C为顶点的圆周角有 ；
（3）圆心角有 .
三、能力提升
8.比较下图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大
小8题图
关系，再用圆规作出各圆的圆心，画出半径，验证你的结
论是否正确.