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第八章 圆锥曲线方程

●考点阐释
圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是：
（1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用.
（2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求．
（3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力．
●试题类编
一、选择题
1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（ ）

2.（2003京春理，7）椭圆（为参数）的焦点坐标为（ ）
A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0）
C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0）
3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点．如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆
C.双曲线的一支 D.抛物线
4.（2002全国文，7）椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是（0，2），那么k等于（ ）
A.－1 B.1 C. D. －
5.（2002全国文，11）设θ∈（0，），则二次曲线x2cotθ－y2tanθ＝1的离心率的取值范围为（ ）
A.（0，） B.（）
C.（） D.（，＋∞）
6.（2002北京文，10）已知椭圆和双曲线＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）
A.x＝± B.y＝±
C.x＝± D.y＝±
7.（2002天津理，1）曲线（θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）
A. B. C.1 D.
8.（2002全国理，6）点P（1，0）到曲线（其中参数t∈R）上的点的最短距离为（ ）
A.0 B.1 C. D.2
9.（2001全国，7）若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（３，0），则其离心率为（ ）
A. B. C. D.
10.（2001广东、河南，10）对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（ ）
A.（－∞，0） B.（－∞，2
C.［0，2］ D.（0，2）
11.（2000京皖春，9）椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（ ）
A. B. C. D.
12.（2000全国，11）过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）
A.2a B. C.4a D.
13.（2000京皖春，3）双曲线＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）
A.2 B. C. D.
14.（2000上海春，13）抛物线y=－x2的焦点坐标为（ ）
A.（0，） B.（0，－）
C.（，0） D.（－，0）
15.（2000上海春，14）x=表示的曲线是（ ）
A.双曲线 B.椭圆
C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分
16.（1999上海理，14）下列以t为参数的参数方程所表示的曲线中，与xy=1所表示的曲线完全一致的是（ ）
A. B.
C. D.
17.（1998全国理，2）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（ ）
A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍
18.（1998全国文，12）椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（ ）
A.± B.± C.± D.±
19.（1997全国，11）椭圆C与椭圆，关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（ ）
A. B.
C. D.
20.（1997全国理，9）曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（ ）
A.（x－1）2（y－1）＝1 B.y＝
C.y＝ D.y＝＋1
21.（1997上海）设θ∈（π，π），则关于x、y的方程x2cscθ－y2secθ=1所表示的曲线是（ ）
A.实轴在y轴上的双曲线 B.实轴在x轴上的双曲线
C.长轴在y轴上的椭圆 D.长轴在x轴上的椭圆
22.（1997上海）设k＞1，则关于x、y的方程（1－k）x2+y2=k2－1所表示的曲线是（ ）
A.长轴在y轴上的椭圆 B.长轴在x轴上的椭圆
C.实轴在y轴上的双曲线 D.实轴在x轴上的双曲线
23.（1996全国文，9）中心在原点，准线方程为x=±4，离心率为的椭圆方程是（ ）
A.＝1 B.＝1
C.＋y2＝1 D.x2＋＝1
24.（1996上海，5）将椭圆＝1绕其左焦点按逆时针方向旋转90°，所得椭圆方程是（ ）
A. B.
C. D.
25.（1996上海理，6）若函数f（x）、g（x）的定义域和值域都为R，则f（x）>g（x）（x∈R）成立的充要条件是（ ）
A.有一个x∈R，使f（x）>g（x）
B.有无穷多个x∈R，使得f（x）>g（x）
C.对R中任意的x，都有f（x）>g（x）+1
D.R中不存在x，使得f（x）≤g（x）
26.（1996全国理，7）椭圆的两个焦点坐标是（ ）
A.（－3，5），（－3，－3） B.（3，3），（3，－5）
C.（1，1），（－7，1） D.（7，－1），（－1，－1）
27.（1996全国文，11）椭圆25x2－150x+9y2+18y+9=0的两个焦点坐标是（ ）
A.（－3，5），（－3，3） B.（3，3），（3，－5）
C.（1，1），（－7，1） D.（7，－1），（－1，－1）
28.（1996全国）设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点.已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.
29.（1996上海理，7）若θ∈［0，］，则椭圆x2+2y2－2xcosθ+4ysinθ=0的中心的轨迹是（ ）

30.（1995全国文6，理8）双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是（ ）
A.y=±3x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±
31.（1994全国，2）如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）
A.（0，＋∞） B.（0，2）
C.（1，＋∞） D.（0，1）
32.（1994全国，8）设F1和F2为双曲线y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是（ ）
A.1 B. C.2 D.
33.（1994上海，17）设a、b是平面α外任意两条线段，则“a、b的长相等”是a、b
在平面α内的射影长相等的（ ）
A.非充分也非必要条件 B.充要条件
C.必要非充分条件 D.充分非必要条件
34.（1994上海，19）在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是y=cosx，现在平移坐标系，把原点移到O′（，－），则在坐标系x′O′y′中，曲线C的方程是（ ）
A.y′=sinx′+ B.y′=－sinx′+
C.y′=sinx′－ D.y′=－sinx′－
二、填空题
图8—1
35.（2003京春，16）如图8—1，F1、F2分别为椭圆=1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是_____.
36.（2003上海春，4）直线y=x－1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是_____.
37.（2002上海春，2）若椭圆的两个焦点坐标为F1（－1，0），F2（5，0），长轴的长为10，则椭圆的方程为 ．
38.（2002京皖春，13）若双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是 ．
39.（2002全国文，16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．
能使这抛物线方程为y2＝10x的条件是 ．（要求填写合适条件的序号）
40.（2002上海文，8）抛物线（y－1）2＝4（x－1）的焦点坐标是 ．
41.（2002天津理，14）椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是（0，2），那么k＝ ．
42.（2002上海理，8）曲线（t为参数）的焦点坐标是_____.
43.（2001京皖春，14）椭圆x2＋4y2＝4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是 ．
44.（2001上海，3）设P为双曲线y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 ．
45.（2001上海，5）抛物线x2－4y－3＝0的焦点坐标为 ．
46.（2001全国，14）双曲线＝1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为 .
47.（2001上海春，5）若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为_____.
48.（2001上海理，10）直线y=2x－与曲线（为参数）的交点坐标是_____.
49.（2000全国，14）椭圆＝1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是_____.
50.（2000上海文，3）圆锥曲线＝1的焦点坐标是_____.
51.（2000上海理，3）圆锥曲线的焦点坐标是_____.
52.（1999全国，15）设椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是 .
53.（1999上海5）若平移坐标系，将曲线方程y2+4x－4y－4=0化为标准方程，则坐标原点应移到点O′ ( ) .
54.（1998全国，16）设圆过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 .
55.（1997全国文，17）已知直线x－y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是_____.
56.（1997上海）二次曲线（θ为参数）的左焦点坐标是_____.
57.（1996上海，16）平移坐标轴将抛物线4x2－8x＋y＋5＝0化为标准方程x′2＝ay′（a≠0），则新坐标系的原点在原坐标系中的坐标是 ．
58.（1996全国文，16）已知点（－2，3）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离是5，则p=_____.
59.（1996全国理，16）已知圆x2+y2－6x－7=0与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则p=_____.
60.（1995全国理，19）直线L过抛物线y2＝a（x+1）（a>0）的焦点，并且与x轴垂直，若L被抛物线截得的线段长为4，则a= .
61.（1995全国文，19）若直线L过抛物线y2＝4（x+1）的焦点，并且与x轴垂直，则L被抛物线截得的线段长为 .
62.（1995上海，15）把参数方程（α是参数）化为普通方程，结果是 ．
63.（1995上海，10）双曲线=8的渐近线方程是 .
64.（1995上海，14）到点A（－1，0）和直线x=3距离相等的点的轨迹方程是 .
65.（1994全国，17）抛物线y2＝8－4x的准线方程是 ，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是 ．
66.（1994上海，7）双曲线－x2=1的两个焦点的坐标是 .
三、解答题
67.（2003上海春，21）设F1、F2分别为椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.
（1）若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
图8—2
（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明.
68.（2002上海春，18）如图8—2，已知F1、F2为双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°．求双曲线的渐近线方程．
69.（2002京皖文，理，22）已知某椭圆的焦点是F1（－4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|＋|F2B|＝10．椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标；
（Ⅲ）设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围．
70.（2002全国理，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2．求m的取值范围．
图8—3
71.（2002北京，21）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点．如图8—3.
（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G、F、H三点共线；
（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．
72.（2002江苏，20）设A、B是双曲线x2＝1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点．
（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么?
73.（2002上海，18）已知点A（，0）和B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x－2交于D、E两点，求线段DE的长．
74.（2001京皖春，22）已知抛物线y2＝2px（p＞0）.过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.
75.（2001上海文，理，18）设F1、F2为椭圆＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点．已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求的值．
76.（2001全国文20，理19）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
77.（2001上海春，21）已知椭圆C的方程为x2+=1，点P（a，b）的坐标满足a2+≤1，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：
（1）点Q的轨迹方程；
（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.
78.（2001广东河南21）已知椭圆+y2=1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC∥x轴.
求证：直线AC经过线段EF的中点.
图8—4
79.（2000上海春，22）如图8—4所示，A、F分别是椭圆＝1的一个顶点与一个焦点，位于x轴的正半轴上的动点T（t，0）与F的连线交射影OA于Q．求：
（1）点A、F的坐标及直线TQ的方程；
（2）△OTQ的面积S与t的函数关系式S=f（t）及其函数的最小值；
（3）写出S=f（t）的单调递增区间，并证明之．
80.（2000京皖春，23）如图8—5，设点A和B为抛物线y2＝4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
81.（2000全国理，22）如图8—6，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CＤ|，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．

图8—5 图8—6 图8—7
82.（2000全国文，22）如图8—7，已知梯形ABCD中|AB|＝2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．求双曲线离心率．
图8—8
83.（2000上海，17）已知椭圆C的焦点分别为F1（，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．
84.（1999全国，24）如图8—8，给出定点A（a，0）（a＞0）和直线l：x=－1.B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.
注：文科题设还有条件a≠1
85.（1999上海，22）设椭圆C1的方程为=1（a＞b＞0），曲线C2的方程为y=，且C1与C2在第一象限内只有一个公共点P.
（Ⅰ）试用a表示点P的坐标.
（Ⅱ）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S（a）的值域；
（Ⅲ）设min｛y1，y2，…，yn｝为y1，y2，…，yn中最小的一个.设g（a）是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，求函数f（a）=min｛g（a），S（a）｝的表达式.
86.（1998全国理，24）设曲线C的方程是y=x3－x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1.
（Ⅰ）写出曲线C1的方程；
（Ⅱ）证明曲线C与C1关于点A（）对称；
图8—9
（Ⅲ）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=－t且t≠0.
87.（1998全国文22，理21）如图8—9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.
88.（1998上海理，20）（1）动直线y=a与抛物线y2=（x－2）相交于A点，动点B的坐标是（0，3a），求线段AB中点M的轨迹C的方程；
（2）过点D（2，0）的直线l交上述轨迹C于P、Q两点，E点坐标是（1，0），若△EPQ的面积为4，求直线l的倾斜角α的值.
89.（1997上海）抛物线方程为y2=p（x+1）（p＞0），直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边.
（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；
（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求p关于m的函数f（m）的表达式；
（3）（文）在（2）的条件下，若抛物线焦点F到直线x+y=m的距离为，求此直线的方程；
（理）在（2）的条件下，若m变化，使得原点O到直线QR的距离不大于，求p的值的范围.
90.（1996全国理，24）已知l1、l2是过点P（－，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2－x2＝1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.
（Ⅰ）求l1的斜率k1的取值范围；
（Ⅱ）（理）若|A1B1|＝|A2B2|，求l1、l2的方程.
图8—10
（文）若A1恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值.
91.（1996上海，23）已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A（，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称.设直线l过点A，斜率为k.
（1）求双曲线S的方程；
（2）当k=1时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l的距离为；
（3）当0≤k＜1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为，求斜率k的值及相应的点B的坐标，如图8—10.
图8—11
92.（1995全国理，26）已知椭圆如图8—11，＝1，直线L：＝1，P是L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2.当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
93.（1995上海，24）设椭圆的方程为＝1（m，n>0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜＝的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点，
（Ⅰ）用θ、m、n表示四边形ABCD的面积S；
（Ⅱ）若m、n为定值，当θ在（0，］上变化时，求S的最小值u；
（Ⅲ）如果μ>mn，求的取值范围.
94.（1995全国文，26）已知椭圆=1，直线l：x=12.P是直线l上一点，射线OP交椭圆于点R.又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
95.（1994全国理，24）已知直线L过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（－1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程.
96.（1994上海，24）设椭圆的中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q、点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
●答案解析
1.答案：D
解析一：将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为标准方程：.因为a＞b＞0，因此，＞0，所以有：椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左，得D选项.
解析二：将方程ax+by2=0中的y换成－y，其结果不变，即说明：ax+by2=0的图形关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴.故选D.
评述：本题考查椭圆与抛物线的基础知识，即标准方程与图形的基本关系.同时，考查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力.
2.答案：D
解析：利用三角函数中的平方和关系消参，得=1，∴c2=16，x－4=±4，而焦点在x轴上，所以焦点坐标为：（8，0），（0，0），选D.如果画出=1的图形，则可以直接“找”出正确选项.
评述：本题考查将参数方程化为普通方程的思想和方法，以及利用平移变换公式进行逻辑推理，同时也考查了数形结合的思想方法.
3.答案：A
解析：由第一定义得，|PF1|+|PF2|为定值
∵|PQ|=|PF2|，
∴|PF1|+|PQ|为定值，即|F1Q|为定值.
4.答案：B
解析：椭圆方程可化为：x2+=1
∵焦点（0，2）在y轴上，∴a2=，b2=1，
又∵c2=a2－b2=4，∴k=1
5.答案：D
解析：∵θ∈（0，），∴sinθ∈（0，），
∴a2=tanθ，b2=cotθ
∴c2=a2+b2=tanθ+cotθ，
∴e2=，∴e=，
∴e∈（，+∞）
6.答案：D
解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上
∴椭圆焦点（，0），双曲线焦点（，0）
∴3m2－5n2=2m2+3n2
∴m2=8n2
又∵双曲线渐近线为y=±·x
∴代入m2=8n2，|m|=2|n|，得y=±x
7.答案：D
解析：设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d
∴d=|x|+|y|=|cosθ|+|sinθ|
设θ∈［0，］
∴d=sinθ+cosθ=sin（θ+）
∴dmax=.
图8—12
8.答案：B
解法一：将曲线方程化为一般式：y2=4x
∴点P（1，0）为该抛物线的焦点
由定义，得：曲线上到P点，距离最小的点为抛物线的顶点.
解法二：设点P到曲线上的点的距离为d
∴由两点间距离公式，得
d2=（x－1）2+y2=（t2－1）2+4t2=（t2+1）2
∵t∈R ∴dmin2=1 ∴dmin=1
9.答案：C
解析：由F1、F2的坐标得2c＝3－1，c＝1，
又∵椭圆过原点a－c＝1，a＝1＋c＝2，
又∵e＝，∴选C.
10.答案：B
解析：设点Q的坐标为（，y0），
由 |PQ|≥|a|，得y02+（－a）2≥a2.
整理，得：y02（y02+16－8a）≥0，
∵y02≥0，∴y02+16－8a≥0.
即a≤2+恒成立.而2+的最小值为2.
∴a≤2.选B.
11.答案：D
解析：由题意知a=2，b=1，c=，准线方程为x=±，
∴椭圆中心到准线距离为．
12.答案：C
图8—13
解析：抛物线y=ax2的标准式为x2＝y，
∴焦点F（0，）.
取特殊情况，即直线PQ平行x轴，则p=q.
如图8—13，∵PF＝PM，∴p＝，
故．
13.答案：C
解析：渐近线方程为y=±x，由·（－）＝－1，得a2＝b2，
∴c＝a，e＝．
14.答案：B
解析：y=－x2的标准式为x2＝－y，∴p＝，焦点坐标F（0，－）．
15.答案：D
解析：x=化为x2＋3y2＝1（x＞0）．
16.答案：D
解析：由已知xy=1可知x、y同号且不为零，而A、B、C选项中尽管都满足xy=1，但x、y的取值范围与已知不同.
17.答案：A
解析：不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|，故选A.
评述：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向.
18.答案：A
解析：由条件可得F1（－3，0），PF1的中点在y轴上，∴P坐标（3，y0），又P在=1的椭圆上得y0=±，
∴M的坐标（0，±），故选A.
评述：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，中点坐标公式以及运算能力.
19.答案：A
解析：将已知椭圆中的x换成－y，y换成－x便得椭圆C的方程为＝1，所以选A.
评述：本题考查了椭圆的方程及点关于直线的对称问题.
20.答案：B
解法一：由已知得t＝，代入y＝1－t2中消去t，得y＝1，故选B.
解法二：令t＝1，得曲线过（0，0），分别代入验证，只有B适合，故选B.
评述：本题重点考查参数方程与普通方程的互化，考查等价转化的能力．
21.答案：C
解析：由已知得方程为=1
由于θ∈（，π），因此sinθ＞0，cosθ＜0，且|sinθ|＜|cosθ|
∴原方程表示长轴在y轴上的椭圆.
22.答案：C
解析：原方程化为=1
由于k＞1，因此它表示实轴在y轴上的双曲线.
23.答案：A
解析：由已知有a＝2，c＝1，b2＝3,于是椭圆方程为＝1,故选A.
图8—14
评述：本题考查了椭圆的方程及其几何性质，以及待定系数法和运算能力.
24.答案：C
解析：如图8—14，原点O逆时针方向旋转90°到O′，则O′（－4，4）为旋转后椭圆的中心，故旋转后所得椭圆方程为＝1．所以选C.
25.答案：D
解析：R中不存在x，使得f（x）≤g（x），即是R中的任意x都有f（x）>g（x），
故选D.
26.答案：B
解析：可得a＝3，b＝5，c＝4，椭圆在新坐标系中的焦点坐标为（0，±4），在原坐标系中的焦点坐标为（3，3），（3，－5），故选B.
评述：本题重点考查椭圆的参数方程、坐标轴的平移等基本知识点，考查数形结合的能力．
27.答案：B
解析：把已知方程化为=1，∴a=5，b=3，c=4
∵椭圆的中心是（3，－1），
∴焦点坐标是（3，3）和（3，－5）.
28.答案：A
解析：由已知，直线l的方程为ay+bx－ab=0，原点到直线l的距离为c，则有，
又c2=a2+b2，∴4ab=c2，两边平方，得16a2（c2－a2）=3c4，两边同除以a4，并整理，得3e4－16e2+16=0
∴e2=4或e2=.
而0＜a＜b，得e2=＞2，∴e2=4.故e=2.
评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大，特别是求出e后还须根据b＞a进行检验.
29.答案：D
解析：把已知方程化为标准方程，得+（y+sinθ）2=1.
∴椭圆中心的坐标是（cosθ，－sinθ）.
其轨迹方程是θ∈［0，］.
即+y2=1（0≤x≤，－1≤y≤0）.
30.答案：C
解法一：将双曲线方程化为标准形式为x2－＝1，其焦点在x轴上，且a=1，b=，故其渐近线方程为y＝±x＝±x，所以应选C.
解法二：由3x2－y2＝0分解因式得y＝±x，此方程即为3x2－y2＝3的渐近线方程，故应选C.
评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质.
31.答案：D
解析：原方程可变为＝1，因为是焦点在y轴的椭圆，所以，解此不等式组得0<k<1，因而选D.
评述：本题考查了椭圆的方程及其几何意义以及解不等式的方法，从而考查了逻辑思维能力和运算能力.
32.答案：A
解法一：由双曲线方程知|F1F2|＝2，且双曲线是对称图形，假设P（x，），由已知F1P⊥F2 P，有，即，因此选A.
解法二：S△=b2cot=1×cot45°=1.
评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式以及运算能力.
33.答案：A
解析：a、b长相等a、b在平面α内的射影长相等，因此选A.
34.答案：B
解析：由已知得平移公式代入曲线C的方程，得y′－=cos（x′+）.即y′=－sinx′+.
35.答案：2
解析：因为F1、F2为椭圆的焦点，点P在椭圆上，且正△POF2的面积为，所以S=|OF2|·|PO|sin60°=c2，所以c2=4.
∴点P的横、纵坐标分别为c，即P（1，）在椭圆上，所以有=1，又b2+c2=a2，
解得b2=2.
评述：本题主要考查椭圆的基本知识以及基本计算技能，体现出方程的思想方法.
36.答案：（3，2）
解法一：设直线y=x－1与抛物线y2=4x交于A(x1，y1),B（x2，y2）,其中点为P（x0，y0）.
由题意得，（x－1）2=4x，x2－6x+1=0.
∴x0==3.y0=x0－1=2.∴P（3，2）.
解法二：y22=4x2，y12=4x1，y22－y12=4x2－4x1
=4.∴y1+y2=4，即y0=2，x0=y0+1=3.
故中点为P（3，2）.
评述：本题考查曲线的交点与方程的根的关系.同时应注意解法一中的纵坐标与解法二中的横坐标的求法.
37.答案： =1
解析：由两焦点坐标得出椭圆中心为点（2，0），焦半径c=3
∵长轴长为10，∴2a=10，
∴a=5，∴b==4
∴椭圆方程为=1
38.答案：（±，0）
解析：由双曲线方程得出其渐近线方程为y=±x
∴m=3，求得双曲线方程为=1，从而得到焦点坐标.
39.答案：②，⑤
解析：从抛物线方程易得②，分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程，从而确定⑤.
40.答案：（2，1）
解析：抛物线（y－1）2=4（x－1）的图象为抛物线y2=4x的图象沿坐标轴分别向右、向上平移1个单位得来的.
∵抛物线y2=4x的焦点为（1，0）
∴抛物线（y－1）2=4（x－1）的焦点为（2，1）
41.答案：－1
解析：椭圆方程化为x2+=1
∵焦点（0，2）在y轴上，
∴a2=，b2=1
又∵c2=a2－b2=4，∴k=－1
42.答案：（0，1）
解析：将参数方程化为普通方程：（y－1）2=4（x+1）
该曲线为抛物线y2=4x分别向左，向上平移一个单位得来.
43.答案：
解析：原方程可化为＋y2＝1，a2＝4，b2＝1
∴a＝2，b＝1，c＝
当等腰直角三角形，设交点（x，y）（y＞0）可得2－x＝y，
代入曲线方程得：y＝ ∴S＝×2y2＝
44.答案：x2－4y2＝1
解析：设P（x0，y0） ∴M（x，y）
∴ ∴2x＝x0，2y＝y0
∴－4y2＝1x2－4y2＝1
45.答案：（0，）
解析：x2＝4y＋3x2＝4（y＋）
∴y＋＝1，y＝，∴坐标（0，）
46.答案：
解析：设|PF1|＝M，|PF2|＝n（m＞n）
a＝3 b＝4 c＝5
∴m－n＝６ m2＋n2＝4c2
m2＋n2－（m－n）2＝m2＋n2－（m2＋n2－2mn）＝2mn＝4×25－36＝64
mn＝32.
又利用等面积法可得：2c·y＝mn，∴y＝
47.答案： =1
解析：由已知a=3，c=5，∴b2=c2－a2=16
又顶点在x轴，所以标准方程为=1.
48.答案：（）
①②
解析：
①代入②得y＝1－2x22x2＋y＝1
解方程得：
∴交点坐标为（）
49.答案：
解析：已知a2＝9，b2＝4，∴c＝，
∵
由余弦定理，，
∵∠F1PF2是钝角，∴－1＜cosF1PF2＜0，
即，解得．
评述：本题也可以通过PF1⊥PF2时，找到P点的横坐标的值.类似问题，在高考命题中反复出现，本题只是改变了叙述方式.
50.答案：（6，0），（－4，0）
解析：令原方程化为标准形式．
∵a2＝16，b2＝9，∴c2＝25，c＝5，在新坐标系下焦点坐标为（±5，0）．
又由解得和
所以焦点坐标为（6，0），（－4，0）．
51.答案：（－4，0），（6，0）
②
①
解析：由
④
③
得
由③2－④2，得＝1．
令
把上式化为标准方程为＝1．
在新坐标系下易知焦点坐标为（±5，0），
又由
解得 和，
所以焦点坐标为（6，0），（－4，0）.
52.答案：
解析：由题意知过F1且垂直于x轴的弦长为
∴ ∴
∴，即e=
评述：本题重点考查了椭圆的基本性质.
53.答案：（2，2）
解析：将曲线方程化为（y－2）2=－4（x－2）.
令x′=x－2，y′=y－2，则y′2=－4x′，∴h=2，k=2
∴坐标原点应移到（2，2）.
图8—15
54.答案：
解析：如图8—15所示，设圆心P（x0，y0）
则|x0|＝＝4，代入＝1，得y02＝
∴|OP|＝．
评述：本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思想.
55.答案：（4，2）
解析：将x－y=2代入y2＝4x得y2－4y－8＝0，由韦达定理y1＋y2＝4，AB中点纵坐标
y＝＝2，横坐标x＝y＋2＝4．故AB中点坐标为（4，2）．
评述：本题考查了直线与曲线相交不解方程而利用韦达定理、中点坐标公式以及代入法等数学方法.
56.答案：（－