南通二模数学答案及评讲建议.doc

南通市2012届高三第一次调研测试
数学Ⅰ参考答案及评分建议
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共70分．
a1
b2
c3
ca
ab
bc
Print a，b
（第3题）
1． 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为 ▲ .
答案：
2． 若复数z满足（是虚数单位），则z =  ▲ .
答案：1 + 2i
3． 在右图的算法中，最后输出的a，b的值依次是 ▲ .
答案：2，1
4． 一组数据9.8， 9.9， 10，a， 10.2的平均数为10，则该组数据的
方差为 ▲ .
答案：0.02
5． 设全集Z，集合，则 ▲ （用列举法表示）.
答案：{0，1}
6． 在平面直角坐标系中，已知向量a = (1，2)，(3，1)，则 ▲ .
答案：0
7． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2
号盒子中各有1个球的概率为 ▲ .
答案：
8.  设P是函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，则
的取值范围是 ▲ .
O
B
D
C
y
x
（第9题）
1
1
A
2
答案：
9． 如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数
，，的图象上，且矩形
的边分别平行于两坐标轴. 若点A的纵坐标为2，则
点D的坐标为 ▲ .
答案：
10．观察下列等式：
，
，
，
，
……
猜想： ▲ （）.
答案：
11．在棱长为4的正方体中，、分别为棱、上的动点，点为正方形
的中心. 则空间四边形在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最
大值为 ▲ .
答案：12
O
B
C
F1
F2
D
x
y
(第13题)
12．若对任意的都成立，则的最小值为 ▲ .
答案：
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆
()的左、右焦点，B，C分别为椭圆
的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为. 若
，则直线的斜率为 ▲ .
答案：
14．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成
公差为d（d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q的
等比数列. 若，则q的所有可能的值构成的集合为 ▲ .
答案：
二、解答题
15．本题主要考查正、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础知识，考查
运算求解能力．满分14分．
在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
解：（1）由正弦定理，得．
从而可化为． …………………………………………3分
由余弦定理，得．
整理得，即. …………………………………………………………………7分
（2）在斜三角形中，，
所以可化为，
即．…………………………………………………………10分
故．
整理，得， ………………………………………………12分
因为△ABC是斜三角形，所以sinAcosAcosC，
所以．………………………………………………………………………14分
A
（第16题）
B
C
D
D1
C1
B1
A1
M
16．本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分
14分．
如图，在六面体中，，，
.求证：（1）；（2）.
证明：（1）取线段的中点，连结、，
因为，，
所以，．…………3分
又，平面，
所以平面．
而平面，
所以.…………………………………………………………………………7分
（2）因为，
平面，平面，
所以平面．……………………………………………………………9分
又平面，平面平面，……………………11分
所以．同理得，
所以．………………………………………………………………………14分
17．本题主要考查函数的概念、最值等基础知识，考查数学建模、数学阅读、运算求解及解决实际问
题的能力．满分14分．
将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆
沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植．
（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆沙棘树苗用时小时.应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？
（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为小时，
而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继
续种植，求植树活动所持续的时间.
解：（1）设A组人数为，且，，
则A组活动所需时间；……………………………………………2分
B组活动所需时间．……………………………………………4分
令，即，解得．
所以两组同时开始的植树活动所需时间
………………………………………………………6分
而故．
所以当A、B两组人数分别为时，使植树活动持续时间最短．………………8分
（2）A组所需时间为1+（小时），……………………………………10分
B组所需时间为（小时）， …………………………………12分
所以植树活动所持续的时间为小时． ……………………………………………14分
18．本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考
查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分16分．
如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．
（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（第18题）

才

（2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长．
①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；
②动圆是否经过定点？若经过，求出定点的
坐标；若不经过，请说明理由．
解：（1）设直线的方程为，即．
因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1，
所以圆心到：的距离为．…………………………3分
化简，得，解得或．
所以直线的方程为或．…………………………………6分
（2）①证明：设圆心，由题意，得，
即．
化简得，
即动圆圆心C在定直线上运动．…………………………………………10分
②圆过定点，设，
则动圆C的半径为．
于是动圆C的方程为．
整理，得．…………………………………………14分
由得或
所以定点的坐标为，．………………………16分
19．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方
法进行探究、分析与解决问题的能力．满分16分．
已知函数．
（1）设P，Q是函数图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；
（2）求实数的取值范围，使不等式在上恒成立．
解：（1）由题意，得．
所以函数在R上单调递增．
设，，则有，即． ………………………………6分
（2）当时，恒成立．………………………………………8分
当时，令，

．
①当，即时，，
所以在上为单调增函数．
所以，符合题意． ……………………………10分
②当，即时，令，
于是．
因为，所以，从而．
所以在上为单调增函数．
所以，即，
亦即．……………………………………………………………12分
（i）当，即时，，
所以在上为单调增函数．于是，符合题意．…………14分
（ii）当，即时，存在，使得
当时，有，此时在上为单调减函数，
从而，不能使恒成立．
综上所述，实数的取值范围为．……………………………………………………16分
20．本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及推理论证
的能力．满分16分．
设数列{}的各项均为正数.若对任意的，存在，使得成立，则称
数列{}为“Jk型”数列．
（1）若数列{}是“J2型”数列，且，，求；
（2）若数列{}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{}是等比数列.
解：（1）由题意，得，，，，…成等比数列，且公比，
所以． ………………………………………………………………4分
（2）证明：由{}是“型”数列，得
，，，，，，…成等比数列，设公比为. …………………………6分
由{}是“型”数列，得
，，，，，…成等比数列，设公比为；
，，，，，…成等比数列，设公比为；
，，，，，…成等比数列，设公比为；
则，，．
所以，不妨记，且． ……………………………12分
于是，
，
，
所以，故{}为等比数列．……………………………………………16分
南通市2012届高三第一次调研测试
数学Ⅱ附加题参考答案及评分建议
21．【选做题】
A．选修4—1：几何证明选讲
本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
A
E
B
C
D
O
·
（第21－A题）
如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC，
CD切半圆O于点D， DE⊥AB，垂足为E．
若AE∶EB 3∶1，求DE的长．
解：连接AD、DO、DB．
由AE∶EB3∶1，得∶2∶1．
又DE⊥AB，所以．
故△为正三角形．……………………………5分
于是．
而，故．
所以．在△中，．…………………10分
B．选修4—2：矩阵与变换
本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
在平面直角坐标系xOy中，直线在矩阵对应的变换下得到的直线过点，求实数的值．
解：设变换T：，则，即…………………………5分
代入直线，得．将点代入上式，得k4．…………………10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
在极坐标系中，已知圆（）与直线相切，求实数a的值．
解：将圆化成普通方程为，整理，得．
将直线化成普通方程为． ……………………………………6分
由题意，得．解得．…………………………………………… 10分
D．选修4—5：不等式选讲
本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
已知正数，，满足，求证：．
证明： …………………………………………4分

（当且仅当时等号成立）． ……………………………………………10分
22．【必做题】本题主要考查数学归纳法等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满
分10分．
已知数列{}满足：，．
（1）求，的值；
（2）证明：不等式对于任意都成立．
（1）解：由题意，得． ……………………………………………………………2分
（2）证明：①当时，由（1），知，不等式成立．……………………………4分
②设当时，成立，………………………………………6分
则当时，由归纳假设，知．
而，
所以，
即当时，不等式成立．
由①②，得不等式对于任意成立．…………………………10分
23．【必做题】本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理
论证的能力．满分10分．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）．过抛物线在轴上
F
B
x
y
O
A
C
D
M
N

（第23题）
方的不同两点、作抛物线的切线、，与轴分别交于、两点，且与交
于点，直线与直线交于点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求证：轴；
（3）若直线与轴的交点恰为F（1，0），
求证：直线过定点．
解：（1）设抛物线的标准方程为，
由题意，得，即．
所以抛物线的标准方程为．………………3分
（2）设，，且，．
由（），得，所以．
所以切线的方程为，即．
整理，得， ①
且C点坐标为．
同理得切线的方程为，②
且D点坐标为．
由①②消去，得．……………………………………………………5分
又直线的方程为，③
直线的方程为． ④
由③④消去，得．
所以，即轴． …………………………………………………………7分
（3）由题意，设，代入（1）中的①②，得，．
所以都满足方程．
所以直线的方程为．
故直线过定点．………………………………………………………………10分

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