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函数解题方法与技巧之四 函数中的数形结合思想
思想方法概述
1.数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
2.数形结合思想解决函数问题常有以下几种：
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；
(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；
(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
题型一 数形结合思想在解决函数的最值问题中的应用
例1设，是二次函数，若的值域是，则的值域是
分析：本题为复合函数，相当于中的的值，结合函数的图象，可以求得的值域。
-1 0 1 x
y

解析：作出函数的图象如图所示，由图知
当时，函数的值域[来源:学,科,网]
为，而为复合函数，相当
于中的的值，所以的值域是，故选B。
【点评】：本题中的复合函数要转化为原函数和的信息，结合函数的图象更为直观地找到它们之间的关系。而不必探究二次函数的解析式。
例2对a,bR,记max|a,b|=函数f（x）＝max||x+1|,|x－2||(xR)的最小值是　　 　。

解析：由，
故，其图象如右，则。
【点评】：数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养，考查新定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题，借形言数。
例3求函数的最小值。
解析：
   的值是动点到两个定点A(0,2)与B(-1,0)的距离之和。
由图知（图略），当且仅当P与B重合（即x=-1）时，

【点评】：仔细观察方程的结构联想几何公示的形式是实现数到形转化的基础。本题型根据结构联想到两点间的距离公式，从而实现数到距离的转化。
题型二 数形结合思想在解决方程的根的个数、不等式解集的问题中的应用
例4 (1)已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2.则方程f(x)＝lg x解的个数是 .
(2)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为 .
变式训练1 若定义在R上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是 4
变式训练2 已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，
当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式
f(x)cos x<0的解集是 .
变式训练3若满足，满足，则+=
探究提高 (1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．
(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．
(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．
例5已知函数f(x)= , 若0<x1<x2<1, 则 与 的大小关系是
分析：从解析式上看函数与圆的方程有联系，可以转化为圆，画出图形，由数形结合得出结论。

解：由函数得知的图象为圆的上半圆，如图，当0<x1<x2<1时，和分别
为的斜率，由图可知，∴ > ，
【点评】：对于函数的图象要熟悉，利用数形结合解答函数的选择题比较形象直观，容易找到关系。
已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
f(x)=m (m>0)
【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以
答案:-8

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,
对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,
运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.
题型三　数形结合思想在求参数、代数式的取值范围中的应用
例6若直线y=2a与函数y=|-1| (a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是______.
解析当a>1时，如图①,只有一个公共点，不符合题意. 当0<a<1时，如图②,由图象知0<2a<1,

【技巧点拨】在解题的过程中也常常需要结合指数函数的图象，数形结合.
例7已知a是实数，函数＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．
【命题立意】主要利用函数的思想，将方程的问题、不等式的问题与二次函数的问题相互转化，利用数形结合的思想，有效的解决问题。
【标准解析】研究二次函数在给定区间上的最值问题，要讨论对称轴与给定区间的关系.
【误区警示】在做题的过程中，一要注意计算的准确性，二要注意结合函数的图象，三要注意思维要全面，进行分析的时侯对条件要合理的使用。
【答案】(1)当a＝0时，＝2x－3.
令2x-3=0，得x=∉[-1,1]∴在[－1,1]上无零点，故a≠0.
(2)当a>0时，＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x＝－
①当－≤－1，即0<a≤时，须使即∴a的解集为∅.
②当－1<－<0，即a>时，须使　即
解得a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．
(3)当a<0时，
①当0<≤1，即a≤时，
须有，即
解得：a≤或≤a≤5，又a≤，∴a的取值范围是.
②当，即-<a<0时，须有即∴a的解集为∅.
综上所述，a的取值范围是∪[1，+∞)．
变式训练1已知a是实数，函数f(x)＝2a|x|＋2x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是__________________．

变式训练2 若不等式≤k(x＋2)－的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝____.
探究提高 解决函数的零点问题，通常是转化为方程的根，进而转化为函数的图象的交点问题．在解决函数图象的交点问题时，常用数形结合，以“形”助“数”，直观简洁．
1、已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时，f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是 ．
2、设有函数和 ,已知x∈[-4,0]时，恒有，则实数a的范围是 ．
思路精析：（1）画出f(x)的图象→画出y=lgx的图象→数出交点个数．
（2）f(x)≤g(x)变形为→画出的图象→画出的图象→寻找成立的位置
解析：（1）选C．由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数．又f(x) =lgx，则x∈（0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．

（2）f(x)≤g(x)，即，变形得，令…………①，………………②
①变形得，即表示以（-2，0）为圆心，2为半径的圆的上半圆；
②表示斜率为，纵截距为1-a的平行直线系．设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为，则有tan=,,

3、已知两条直线 ：y=m 和： y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为
【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像如下图，
由= m，得，= ，得.
依照题意得.
，.

【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像，结合图像可解得.
4、对于实数a和b，定义运算“﹡”：，
设，且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________.
【答案】．
【命题立意】本题属于新概念型题目，考查了根据条件确定分段函数解析式的能力，以及数形结合的思想和基本推理与计算能力，难度较大．
【解析】由新定义得，所以可以画出草图，若方程有三个根，则，且当时方程可化为，易知；当时方程可化为，可解得，所以，又易知当时有最小值，所以，即.
5、已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.
【答案】或
【解析】函数，当时，，当时，，综上函数，做出函数的图象(蓝线)，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在四边形区域ABCD内(和直线平行的直线除外，如图，则此时当直线经过，，综上实数的取值范围是且，即或。
6、设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是
【解析】Q中有12个点，表示在坐标系中；P中共有12个函数，逐个分析P中的每一个函数的图像，可知恰过两个点的函数有，，，，共6个。
7、已知函数,则满足不等式的x的取值范围是 。
【命题立意】本题考查分段函数的图像、单调性以及数形结合和化归转化的思想。
X
Y
1
【思路点拨】结合函数的图像以及的条件，可以得出与之间的大小关系，进而求解x的取值范围.
【规范解答】画出,的图象，
由图像可知，若，
则，即，得
【答案】
8、对实数a和b，定义运算“”：，设函数f(x)＝(x2－2)
(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值
范围是________．
9、、已知为常数，且，指数函数和对数函数的图象分别为与，点在曲线上，线段（为坐标原点）与曲线的另一个交点为，若曲线上存在一点，且点的横坐标与点的纵坐标相等，点的纵坐标是点的横坐标2倍，则点的坐标为 。
10、某同学对函数进行研究后，得出以下五个结论：①函数的图象是中心对称图形；②对任意实数，均成立；③函数的图象与轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④函数的图象与直线有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；⑤当常数满足时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点。
其中所有正确结论的序号是 ①②④⑤ 。
11、己知，当点在函数的图象上时，点在函数的图象上，则= ．
12、已知函数，正实数是公差为正数的等差数列，且满足。若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：
①;②③④中有可能成立的个数为 3
13、设f(x)是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝()x－1，若在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是
14、将函数的图像向左平移一个单位后，得到的图像，若曲线关于原点对称，那么实数的值为 ．
【命题立意】本题考查函数图像的平移变换．
【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：
（1） 如何实现函数图像的平移？
（2） 若函数图像关于原点对称，则函数具备什么性质？
【答案】【解析】由题意知，函数平移后的表达式，，它关于原点对称，所以为奇函数，故．而，所以，注意本题出现以下常见错解：直接利用得，解得．这是典型的不等价转化的结果，因为“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件．
15、 已知函数若互不相等，且则的取值范围是 ．
不妨设，则由，再根据图像易得
16、已知函数，若函数无零点，则实数的取值范围是 ．
【命题立意】本题考查用数形结合法求参数的取值范围．
【思路点拨】将函数无零点问题，转化成函数的图像与的图像无交点问题求解．
【答案】＜【解析】在同一坐标系内作出函数与的图象，如右图，若两函数图象无交点，则＜．
17、定义在R上的偶函数满足：，且在上是增函数，下面关于的判断：①是周期函数；②的图象关于直线对称；③在上是增函数；④在上是减函数；⑤
其中正确的判断的序号是 。
【答案】①②⑤
已知x是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若∈（1，），∈（，+），则f()＜0，f()＞0
用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值， 设f（x）=min{, x+2,10-x} (x 0),则f（x）的最大值为
解析：选C画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图象，如右图，观察图象可知，
当0≤x≤2时，f（x）＝2x，当2≤x≤3时，f（x）＝x＋2，当x＞4时，
f（x）＝10－x，f（x）的最大值在x＝4时取得为6，
若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
【解析】: 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是
答案:
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.
方程x2+x－1＝0的解可视为函数y＝x+的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk (k≤4)所对应的点(xi ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是
【解析】方程的根显然，原方程等价于，原方程的实根是曲线与曲线的交点的横坐标；而曲线是由曲线向上或向下平移个单位而得到的。若交点(xi ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，因直线y＝x与交点为：；所以结合图象可得：
　　；
已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则t=__1
【解析】：本小题主要考查二次函数问题。对称轴为下方图像翻到轴上方.由区间[0，3]上的最大值为2，知解得检验时, 不符,而时满足题意.
下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针），如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为，如图3.图3中直线与x轴交于点，则的象就是，记作.
图1
图2
图3

则下列说法中正确命题的是（ ）
A.； B.是奇函数；
C.在定义域上单调递增； D.的图象关于轴对称．
【答案】C
已知函数，，的零点分别为
，则的大小关系是
18、已知a是实数，函数，如果函数在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围。
【解析】当a=0时，函数为f (x)=2x -3，其零点x=不在区间[-1，1]上。
当a≠0时，函数f (x) 在区间[-1，1]分为两种情况：
①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时
或解得1≤a≤5或a=
②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时 或
解得a5或a<综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为
(-∞, ]∪[1, +∞)