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说题比赛设计稿
城厢镇中心学校 石海兰
题目：九年级下册课本第27页第10题
分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形面积大？为什么？
一、 审题分析
（一） 题目背景
1、 题材背景：此题出自人教版九年级下册27页的习题26.3第10题。
2、 知识背景：通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。
3、 方法背景：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，提高分析解决问题的能力，了解数形结合思想、函数思想。
4、 思想背景：数形结合思想、数学建模思想、函数思想。
（二） 学情分析
对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数的图像与性质后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图像的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练的应用知识解决问题。教材安排利用二次函数的最值求面积最大问题，正是为了弥补这一不足。
（三） 重、难点
重点：利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质，求面积最值问题
难点：1、正确构建数学模型
2、对函数图像顶点、端点与最值关系的理解与应用
（四）教材编写意图
二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考察。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作为专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其他和函数有关的应用题。
二、 解题过程
（一）知识回顾
1、 复习二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像、顶点坐标、对称轴和最值
2、 如何求二次函数的最值？有哪几种方法？（配方法、公式法）
（1）求函数y=x2+2x-3的最值
（2）求函数y=x2+2x-3的最值（0≤x≤3）
（二）问题设计
问题1（在情境中发现问题）请你画一个周长为40厘米的矩形，算一算它的面积是多少？再和同学比比，矩形的面积相同么？有没有最大面积？
问题2（在解决问题中找出方法）想一想：某工厂为了存放材料，需围一个周长40米的矩形场地，矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大？
（教师引导学生突破难点：由问题1可知，面积随长宽的变化而变化，把面积看做长宽的函数，先求出函数关系式；因为周长已知，设长为x，则宽用含x的代数式表示；也可设宽为x，则长用含x的代数式表示。因变量面积设为y，根据面积等于长乘宽列出y与x的关系式，再根据函数的性质求解。）
教师给出规范的解题过程：
设矩形场地长为x米，则宽为（20—x）米
面积y=x(20—x)=—x2+20x (0<x<20)
该函数图像为抛物线，开口向下，有最大值
故当x=时

Y有最大值

即长是10米宽也是10米时，面积最大。
问题3（在巩固与应用中提高技能）
上述问题中，若围成周长40米的圆形场地，最大面积是多少？哪种图形的场地面积大？
师生共解：c=2 r=40, 则r=

圆面积是 ，故圆形场地面积大。

解决例题后，让学生思考：通过上述问题，分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形面积大？
（多媒体展示解题过程：）
设围成的矩形长为x，则矩形面积S=x（，
由此求得矩形的最大面积是。围成的圆的面积是
因为所以圆的面积大。

及时总结方法：解这类题目的一般步骤：
（1） 列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。
（2） 在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
（三） 、题目变式延伸
设计三组练习题让学生选做，每组题做对都得一百分。学生自由选择完成，使不同层次的学生都能体会到成功的喜悦。
A层（你能行）：如图1，现要用40米长的篱笆围成一矩形场地（一边靠墙且墙足够长），设矩形与墙平行的一边长为x米，怎样围才能使矩形的面积S最大，并求出最大面积。
B层（你肯定行）：将上题中的条件改为（一边靠墙且墙长18米）
C层（你一定是最棒的）：如图2， 在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
（1） 求S与x的函数关系式及自变量的取值范围
（2） 当x取何值时，花圃面积S最大，最大值是多少？

（ 图1） （图2）

（四） 师生小结：让学生总结本节课的收获、利用函数知识解决实际问题的方法及要注意的问题。