力学参考问题初探及弹簧类专题.doc

力学参考系问题初探
戴功仪 吴来初
(湖南省娄底市涟源立珊中学 417124)
为了描述物体的机械运动，我们需要选取参考系，在不同的参考系中，对物体运动的描述也是不同的。
参考系有两种，惯性参考系和非惯性参考系．惯性参考系是牛顿运动定律成立的参考系，非惯性参考系是牛顿运动定律不成立的参考系．在一切彼此做匀速直线运动的惯性系中，描述运动的力学规律完全是等价的．这就是力学的相对性原理．而在非惯性参考系中的描述却是截然不同!
相对论中，参考系的改变会导致一系列有趣的时空效应，如长度的收缩，时间的延缓，同时的相对性等。
同一物体系统经过同一过程，相对于不同的参考系，特别是相对于不同的非惯性系，会产生不同的观测效应．如果参考系选取得当，系统可能会呈现出比较简单的形态，易于分析和处理；如果参考系选取不当，物理问题将变得很复杂，难于分析和处理，所以参考系的选择显得尤为重要．下面举例说明参考系的选择在力学问题中的作用。
一、选择适当的惯性系简化运动学问题
例l 某人划船逆流而上，从某桥下经过时，船上一木箱掉入河中，随水漂流．船仍然前进，半小时后此人才发现，他马上掉转船头顺流而下，结果在桥下游1 km处追上木箱．假设人划船时相对于水的速度不变，不计船掉头的时间，求河水的速度。
解法一 以河水为参考系，则人划船顺流而下的时间也是半小时，木箱漂流的时间是一个小时，所以，水流速度是

本题若以地面为参考系同样能得到相同的结果：
解法二 以地面为参考系，设船速为υ1，水速为υ2，船上行时间为t1，下行时间为t2，则有

解得

教学中发现用解法一时部分学生不理解划船返回时间与上行时间相等，笔者用下列类似例子帮助理
解：火车在乎直轨道上匀速行驶，行驶的火车相当于流水，在车上行走的乘客相当于船，乘客从车头走向车尾相当于船逆流行走，乘客从车尾走向车头相当于
船顺流行走，乘客从车头走到车尾的时间和从车尾走到车头的时间是相等的，类似于划船返回时间与上行时间相等。
二、选择适当的惯性系简化碰撞问题
例2 球A以初速度υ0正面撞击静止的球B，已知球A的质量远大于球B的质量，问：碰撞后球B可能获得的最大速度是多少?
解法一 选A为参考系，从球A看，球B以速度υ0迎面而来，当发生弹性碰撞，且球A质量比球B大得多时，球B反弹的速度最大为υ0，从地面观测球月的最大速度为2υ0．
解法二 显然，碰撞为弹性正碰时，球B获得的速度最大，根据动量守恒定律和机械能守恒定律，得解得
解 得
显然，第一种方法比第二种方法简单得多!

三、非惯性参考系中简化动力学问题
在非惯性参考系中，加一个惯性力f=-ma（其中d为非惯性系相对于惯性系的加速度），可直接应用牛顿运动定律，使动力学问题简化，甚至可转化为静力学问题．值得注意的是，惯性力不是一种真实的力，只是一种非惯性参考系中的观测效应，是为了将牛顿运动定律推广到非惯性参考系而引入的一种假想力。
例3 如图1所示，一个质量为M、倾角为θ的斜面A放在水平地面上，斜面上放一块质量为m的滑力B.问：释放后斜面A和滑块B相对地面的加速度各是多少？（不计一切磨擦）

力F的位移为零，所以力F做的功为零，可使问题简化．
原参考系记为S，在物体B上固定参考系S，（因S′系相对于S系做匀速直线运动，S′系也是惯性参考系），在S′中A开始以υ0的速度背离B运动，最后在万有引力的作用下减速到零，此时A、B的距离最大，为lmax，在S′系中应用机械能守恒定律，有

解得

此时A、B间的万有引力为

因B平衡，所以

回到S系，当A、B间距离为lmax时，A、B都以υ0的速度运动，根据功能关系，F做的功为
而

所以

五、质心参考系
对物体系统而言，质心是一个有特殊意义的点，物体系内各物体间存在相互作用时，这些单个物体一般不构成惯性系，但若整个系统所受的合外力为零，则系统动量守恒，系统质心保持静止或匀速直线运动，因而质心参考系为惯性系。
例5(第21届全国中学生物理竞赛复赛题) 如图4所示，有二平行金属导轨，相距l，位于同一水平面内(图4中纸面)，处在磁感应强度为月的匀强磁场中，磁场方向竖直向下(垂直纸面向里)．质量均为m的两金属杆ab和cd放在导轨上，与导轨垂直．初始时刻，金属杆ab和cd分别位于x=x0和x＝0处．假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L．今对金属杆ab施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速，设导轨足够长，x0也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距x。，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L是恒定不变的．杆与导轨之间摩擦可不计．求：任意时刻两杆的位置Xab和Xcd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i三者各自随时间的变化关系．
解析 金属杆ab、cd在磁场中所受的安培力等大反向，系统所受的合外力为零，质心做匀速直线运动．设速度为uc，由动量守恒定律，得

取质心参考系S′，在S′系中，ab、cd以相同的初速度 分别向右、向左离开各自的平衡位置运动，后又返回，向相反方向运动，即在各自的平衡位置附近振动，其运动是关于质心对称的．
设某时刻ab相对于质心的速度为，cd相对于质心的速度为一认则回路动生电动势为自感电动势为-
则由回路无电阻和欧姆定律，得

所以

在S′系中以ab的初始位置为坐标原点，向右为正方向，建立坐标O′x′，则
所以

由上式知 是常量，所以i与z，是一次函数关系，设 根据初始条件所以因此 (负号表示F方向与方向相反)．此式表明金属杆。凸的运动是简谐运动， 在S，系中的振动方程为
将初始条件所以
回到地面参考系S中，注意质心以速度 向右运 动，cd与06的运动关于质心对称，有回路中的电流为
六、自由落体参考系
这是一个常见的直线加速参考系，相对于地面以重力加速度g自由下落，在此参考系中，抛体运动简化为直线运动使问题的求解显得非常简单．
例6 一人用玩具枪瞄准树上一只猴子，猴子发现了，从树上自由下落，在猴子自由下落的瞬时，子弹射出．请问：子弹能否击中猴子?(忽略空气阻力)
解析 以猴子为参考系，在此参考系中，猴子静止，子弹正对猴子做匀速直线运动，只要子弹速度足够大，在猴子落地前能到达树，就一定能击中猴子．
七、旋转参考系
一个物体绕某点以角速度ω做匀速圆周运动，从地面观测，这个物体受到一个指向圆心的向心力作用，由牛顿第二定律有 ，d是向心加速度．若以旋转的物体为参考系，这个物体是静止的，处于平衡状态．由力学平衡原理，物体还应受到一个与F等大反向的力．我们把它叫惯性离心力，即 离心力是从旋转参考系中观测物体时假想物体所受的附加力，也不是真实的力，而是旋转参考系中的观测效应．注意：虽然离心力与向心力大小相等、方向相反，但不是一对作用力与反作用力，不能相互平衡，它们是不同参考系中的概念．在地面参考系中，不能认为旋转的物体受到了惯性离心力的作用．
例7 质量为m的汽车以速度υ在半径为R的水平弯道上做匀速圆周运动．汽车左、右轮相距为d，重心离地高度为九，车轮与地面之间的静摩擦因数为μ.求：
(1)汽车内、外轮各承受多少支持力；(2)汽车能安全行驶的最大速度为多少?
解析 汽车向左转弯时受力情况如图5所示，
f1、f2分别是汽车内、外轮受的摩擦力，N1、N2是内、外轮受的支持力．选一个与汽车一起做圆周运动的参考系S，在此参考系中汽车是静止的．在旋转参考系S中分析汽车的受力情况时，必须在汽车的质心处加一个惯性离心力，其大小为 ，方向沿半径向外． 在参考系S中，列力的平衡方程和力矩平衡方程
又

解得

汽车安全行驶，要求不打滑，又不会倾倒．汽车不打滑时，应有

汽车的最大速度为

汽车不倾倒时，应有

汽车的最大速度为

所以，汽车最大速度应为 中的最小者．

在匀速转动的参考系中，运动的物体所受的惯性力比较复杂．除受到惯性离心力外，还受到一个叫做科里奥利力的惯性力．此处不再赘述．
高中物理第一册第二章讲了参考系的知识，但仅限于最基本的理解．教学中发现，许多问题在巧选参考系后会变得非常简单，学生也容易理解，补充参考系选择方法的教学很有必要，这种方法的教学并不加重学生负担，相反还会减轻学生负担．当然参考系的选择有一定的难度，也很有技巧，要慢慢渗透．教学实践证明，只要引导得法，循序渐进，大部分学生是能够学会的．且这种方法解决问题又如此的简单方便，很有成就感，学习物理的兴趣浓，热情高．在物理竞赛辅导中效果则更加明显．

弹簧类六大问题的求解应用
朱金军
(浙江省温州中学 325014)
有关弹簧的题目在高考中几乎年年出现，由于弹簧弹力是变力，学生往往对弹力大小和方向的变化过程缺乏清晰的认识，不能建立与之相关的物理模型并进行分类，导致解题思路不清、效率低下、错误率较高．下面我们将之归纳为六类问题探求解法．
一、“轻弹簧”类问题
在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为“轻弹簧”，是一种常见的理想化物理模型。由于“轻弹簧”质量不计，选取任意小段弹簧，其两端所受张力一定平衡，否则，这小段弹簧的加速度会无限大．故轻弹簧中各部分间的张力处处相等，均等于弹簧两端的受力．弹簧一端受力为F，另一端受力一定也为F．若是弹簧秤，则弹簧秤示数为F．
例1 如图1所示，一个弹簧秤放在光滑的水平面上，外壳质量m不能忽略，弹簧及挂钩质量不计，施加水平方向的力芦l、几，且歹l >F。则弹簧秤沿水平方向的加速度为 ，弹簧秤的读数为 。
解析 以整个弹簧秤为研究对象，利用牛顿运动定律得

仅以轻质弹簧为研究对象，则弹簧两端的受力都是F1，所以弹簧秤的读数为F1．
说明 F2作用在弹簧秤外壳上，并没有作用在弹簧左端，弹簧左端的受力是由外壳内侧提供的。
二、弹簧弹力瞬时问题
因弹簧(尤其是软质弹簧)形变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变．因此，分析瞬时变化时，可以认为弹力大小和方向不变，即弹簧的弹力 瞬间不突变．
例2 如图2所示，木块A与B用一轻弹簧相连，竖直放在木块C上，三者静置于地面，A、B、C的质量之比是1：2：3．设所有接触面都光滑，当沿水 平方向迅速抽出木块C的瞬时，木块A和B的加速度分别是aA＝ ，aB＝ ．
解析 由题意可设A、B、C的质量分别为m、 以木块A为研究对象，抽出木块C前，木块A受到的重力和弹力的大小和方向均不变，故木块A的瞬时加速度为0。
以木块A、B为研究对象，由平衡条件可知，木块C对木块B的作用力
以木块B为研究对象，木块B受到重力、弹力和FCB三力平衡，抽出木块C的瞬时，木块B受到重力和弹力的大小和方向均不变， FCB瞬时变为0，故木块C的瞬时合外力为3mg，竖直向下，瞬时加速度为1.5g．
说明 区别于不可伸长的轻质绳中张力瞬间可以突变．
三、弹簧长度的变化问题
设劲度系数为k的弹簧受到的压力为-F1时压缩量为-x1，，弹簧受到的拉力为F2时伸长量为J2，此时的“一”号表示弹簧被压缩。若弹簧受力由压力-F1变为拉力F2，弹簧长度将由压缩量- x1变为伸长量x2，长度增加量为x1+ x2，由胡克定律有

则

说明 弹簧受力的变化与弹簧长度的变化也同样遵循胡克定律，此时△x表示的物理意义是弹簧长度的改变量，并不是形变量。
例3．如图3所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2 拴接，劲度系数为是k2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上 (不拴接)，整个系统处于平衡状态．
现将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面．在此过程中，物块2的重力势能增加了 物块1的重力势能增加了
解析 由题意可知，弹簧k2长度的增加量就是物块2的高度增加量，弹簧k2长度的增加量与弹簧kl长度的增加量之和就是物块1的高度增加量。
由物体的受力平衡可知，弹簧k2的弹力将由原来的压力 变为0；弹簧k1的弹力将由原来的压力mlg变为拉力m2g，弹力的改变量也为
所以k1 、k2弹簧的伸长量分别为
故物块2的重力势能增加物块1的重力势能增加了

四、弹力变化的运动过程分析
弹簧的弹力是一种由形变决定大小和方向的力，注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应．一般应从弹簧的形变分析人手，先确定弹簧原长位置、现长位置及临界位置，找出形变量工与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，弹性势能也是与原长位置对应的形变量相关．以此来分析计算物体运动状态的可能变化．
结合弹簧振子的简谐运动，分析涉及弹簧物体的变加速度运动，往往能达到事半功倍的效果．此时要先确定物体运动的平衡位置，区别物体的原长位置，进一步确定物体运动为简谐运动．结合与平衡位置对应的回复力、加速度、速度的变化规律，很容易分析物体的运动过程．
例4 如图4所示，质量为m的物体A用一轻弹簧与下方地面上质量也为m的物体B相连，开始时A和B均处于静止状态，此时弹簧压缩量为x。，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连接物体A、另一端C握在手中，各段绳均刚好处于伸直状态，物体A上方的一段绳子沿竖直方向且足够长．现在C端施加水平恒力F使物体A从静止开始向上运动．(整个过程弹簧始终处在弹性限度以内)．
(1)如果在C端所施加的恒力大小为3mg，则在物体月刚要离开地面时物体A的速度为多大?
(2)若将物体B的质量增加到2m，为了保证运动中物体B始终不离开地面，则F最大不超过多少?
解析 由题意可知，弹簧开始的压缩量 物体B刚要离开地面时弹簧的伸长量也是

(1)若 在弹簧伸长到x0时，物体B离开地面，此时弹簧弹性势能与施力前相等，F所做的功等于物体A增加的动能及重力势能的和．即

得

(2)所施加的力为恒力F0时，物体B不离开地面，类比竖直弹簧振子，物体A在竖直方向上除了受变化的弹力外，再受到恒定的重力和拉力．故物体A
做简谐运动．
在最低点 式中k为弹簧劲度系数，a1为在最低点物体A的加速度．
在最高点，物体B恰好不离开地面，此时弹簧被拉伸，伸长量为2x0，
则

而 简谐运动在上、下振幅处

解得

也可以利用简谐运动的平衡位置求恒定拉力F0物体A做简谐运动的最低点压缩量为x0，最高点伸长量为2x0。，则上下运动中点为平衡位置，即伸长

量为所在处．

由 ，解得

说明 区别原长位置与平衡位置．和原长位置对应的形变量与弹力大小、方向、弹性势能相关；和平衡位置对应的位移量与回复大小、方向、速度、加速度相关．
五、与弹簧相关的临界问题
通过弹簧相联系的物体，在运动过程中经常涉及临界极值问题：如物体速度达到最大；弹簧形变量达到最大时两物体速度相同；使物体恰好要离开地面；
相互接触的物体恰好要脱离等．此类题的解题关键是利用好临界条件，得到解题有用的物理量和结论．
例5 如图5所示，A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，已知木块A、B质量分别为0.42 kg和0.40kg，弹簧的劲度系数 若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以的加速度竖直向上做匀加速运动 求
(1)使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；
(2)若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了o.248 J，求这一过程中F对木块做的功．
解析 此题难点在于能否确定两物体分离的临界点．

当F＝0(即不加竖直向上F力)时，设木块A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为J，有 即

对木块A施加力F，A、B受力如图6所示对木块A有
对木块B有
可知，当 时，木块A、月加速度相同，由②
式知欲使木块A匀加速运动，随N减小F增大．当N＝0时，F取得了最大值Fm
即又当N＝0时，A、B开始分离，由③式知，弹簧压缩量
则
木块A、B的共同速度
由题知，此过程弹性势能减少了 ，
设F力所做的功为WF对这一过程应用功能原理，得
联立①④⑤⑥式，且 ，

得

六、弹力做功与弹性势能的变化问题
弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量．
弹簧的弹力做功是变力做功，一般可以用以下四种方法求解：(1)因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算；(2)利用F-x图线所包围的面积大小求解；(3)用微元法计算每一小段位移做功，再累加求和；(4)根据动能定理、能量转化和守恒定律求解．
由于弹性势能仅与弹性形变量有关，弹性势能的公式高考中不作定量要求，因此，在求弹力做功或弹性势能的改变时，一般从能量的转化与守恒的角度来

求解．特别是涉及两个物理过程中的弹簧形变量相等时，往往弹性势能的改变可以抵消或替代求解．
例6 如图7所示，挡板P固定在足够高的水平桌面上，物块A和B大小可忽略，它们分别带有+QA和+QB的电荷量，质量分别为mA和mB两物块由绝缘的轻弹簧相连，一个不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B连接，另一端连接轻质小钩．整个装置处于场强为E、方向水平向左的匀强电场中，A、B开始时静止，已知弹簧的劲度系数为k，不计一切摩擦及A、B间的库仑力，A、B所带电荷量保持不变，B不会碰到滑轮．
(1)若在小钩上挂质量为M的物块C并由静止释放，可使物块A对挡板P的压力恰为不0，但不会离开P，求物块C下降的最大距离H；
(2)若C的质量为2M，则当A刚离开挡板户时，B的速度多大?
解析 通过物理过程的分析可知，当物块A刚离开挡板P时，弹力恰好与A所受电场力平衡，弹簧伸长量一定，前后两次改变物块C质量，在第(2)问对应的物理过程中，弹簧长度的变化及弹性势能的改变相同，可以替代求解．

设开始时弹簧压缩量为x1 ,由平衡条件，可得

设当A刚离开挡板时弹簧的伸长量为x2由 ，可得
故C下降的最大距离为
由①②③三式可得

(2)由能量守恒定律可知，物块C下落过程中，C重力势能的减少量等于物块B电势能的增量和弹簧弹性势能的增量以及系统动能的增量之和．
当C的质量为M时，

当C的质量为2M时，设A刚离开挡板时B的速度为υ．则

由④⑤⑥三式可得A刚离开P时，B的速度为

说明 研究对象的选择、物理过程的分析、临界条件的应用、能量转化守恒的结合往往在一些题目中需要综合使用．
有关弹簧的串、并联和弹性势能的公式，高考中不作定量要求，这里不再说明．