同济高数第七版上册考研数学考纲.doc

同济高数第七版上册考研数学考纲
第一章 函数与极限(没有第三章）

章节
教材内容
考纲要求
必做例题
必做习题
1.1映射与函数
映射
不作要求

P16 习题1—1：
1（3)（5)（7)，
2（3），3,4(2），6（2），12,13
函数、复合函数及分段函数的概念
理解
例 5～10
函数的表示法
掌握
函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性，反函数、初等函数的概念
了解
基本初等函数的性质及其图形
掌握

建立应用问题的函数关系
会
1。2数列的极限
数列极限的定义
理解（数一数二)
了解(数三）【难点】

P26习题1-2：
1（2）（6)(8）
收敛数列的性质
了解
1.3函数的极限
单侧极限以及左、右极限与极限存在的关系
理解（数一数二）
了解（数三）【难点】
例6
P33习题1—3：
1（2），2，3（1），4
函数极限的性质
掌握(数一数二）
了解（数三)

1.4无穷小与无穷大
无穷小的概念
理解

P37习题1-4:
4，6
无穷大的概念
理解(数一数二)
了解（数三）
1。5极限的预算法则
无穷小的基本性质
理解
例1-8
P45习题1-5：
1(3）（5)（11）(13），
2（1），3，4,5
极限的性质
掌握（数一数二）
了解（数三）
极限的四则运算法则
掌握
章节
教材内容
考纲要求
必做例题
必做习题
1。6极限存在准则，两个重要极限
极限存在的两个准则（夹逼准则、单调有界数列必有极限)
掌握（数一数二）
了解（数三)

P52 习题1-6：
1(4）（6），2,4
利用两个重要极限求极限的方法
掌握【重点】
例1～4
柯西审敛原理
不作要求

1。7无穷小的比较
无穷小阶的定义及无穷小量的比较方法
掌握【重点】
例1～5
（熟记例1，2的结论）
P55 习题1-7：
1,3，4（1），5
一些重要的等价无穷小及其性质
1。8函数的连续性与间断点
函数连续性的概念
（含左连续与右连续）
理解【重点】

P61 习题1-8：
3（1)，4，5
函数间断点的分类与判别
（第一类间断点与第二类间断点）
会【重点】
例1~5
1。9连续函数的运算与初等函数的连续性
函数间断点的和、差、积、商的连续性
了解（会利用连续性求极限)
例1
P65 习题1—9：
3（3)（5）(7）（8）
4（4)（5）（6)(7）（8）
5
6
反函数与复合函数的连续性
例2~4
初等函数的连续性
例5～8
1。10闭区间上连续函数的性质
有界性与最大值最小值定理，
零点定理与介值定理
理解【重点】（会灵活应用这些性质）
例1
P70 习题1—10：
1,2,3，4,5
一致连续性
不作要求

总复习一
总结归纳本章的基本概念、
基本定理、基本公式、基本方法

P70 总习题一：
3，5,9（2)（4)(6）
（7） （8），10，11,
12，13,14

第二章 导数与微分
章节
教材内容
考纲要求
必做例题
必做习题
2。1导数
概念
导数的定义
理解【重点】
例1～6
P83 习题2-1:
6,7，13，16（2),
17，18，19
导数的物理意义
了解（仅数学一数学二要求）（会用
导数描述物理量）
引例1
导数的几何意义
理解（数一数二)
了解（数三)（会求
平面曲线的切线
方程和法线方程）
例8，9，
引例2
导数的经济意义
了解（仅数三要求）

单侧导数以及单侧可导
与可导的关系
理解
例7
函数的可导性与连续性的关系
理解【重点】
例10,11
2.2函数的求导法则
函数的和、差、积、商
的求导法则
掌握
例1～15
P94习题2—2：
2（9），3（3)，
6（9）（10），7（8），
8(4），9,10(2），
11（4）(9）
反函数的求导法则
掌握
复合函数的求导法则
掌握【重点】(基本
求导法则与导数公式要非常熟悉）
基本求导法则与导数公式
分段函数的求导
会【重点】
2.3高阶导数
高阶导数的概念
了解【重点】
例1～8（记住例4，5的结论)
P100习题2—3：
1（3）,3（2），4（2)
8，9,10（2），12

简单函数的高阶导数
会（归纳法，
莱布尼茨公式）
2。4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数，相关变化率
隐函数的导数(对数求导法则）
会【重点】
数一、二
做例1～9
数三做
例1~5
P108习题2—4：
1（3），2，3（4)
4（1）(3），5（2），
8（3）数三不用做5,8
由参数方程所确定的
函数的导数
会【重点】（仅数一数二要求）
相关变换率
不作要求

章节
教材内容
考纲要求
必做例题
必做习题
2。5函数的
微分
微分的定义、几何意义
掌握（数一数二）
了解（数三）
例1～6
P120习题2—5：
1,3（3）（6）,
4（4）（6)（7）
基本初等函数的微分方程
掌握
微分运算的法则
（微分形式不变性)
了解(会求
函数的微分）
微分在近似计算中的应用
不作要求

总习题二
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

P122中习题二：
2,3，6（1），7,11
12（1），13,14
数三不做12,13
第四章 不定积分
4.1不定积分的概念与性质
原函数与不定积分的概念
理解
例1～3
5~15
P192习题4—1:
1（1），2（5）(8）（13）
（17）（19）(21）（25），
5,7
基本积分表
掌握【重点】（熟记）
不定积分的性质
掌握
4.2换元积分法
第一类换元法（凑微分法）
掌握【重点】（熟记P205公式，双曲代换不作要求）
例1～20
P207习题4—2:
2（4）(6)（11）（15）
（16） (17）（19)(21)
(30)（32)(34）(36）（37）
第二类换元法
例21~24
4.3分部积分法
分部积分法适用场合及形式
掌握【重点】
例1~9
习题4—3: 2,5，6，9,
12，17,18，21，22，24
4.4有理函数的积分
有理函数的积分
会（仅数一数二要求)
例1~5，
5~8
习题4—4:
4,6,8，12，20,23
可化为有理函数的积分
（三角函数有理式和简单无理函数)
章节
教材内容
考纲要求
必做例题
必做习题
4。5积分表的使用

不作要求

总习题四
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总习题四：1,2，3
4(1）（5）（9)（10）
（12） （14）（16）（19）
(21）（25）（33）（35)
第五章 定积分
5.1定积分的概念与性质
定积分的定义与性质
掌握（数一数二）
了解(数三）（性质6会证明）
例1
习题5-1：
4（4）,5，7（4），11
函数可积的两个充分条件
理解【难点】

定积分的近似计算
不作要求
5。2微积分基本公式
积分上限函数及其导数
理解【重点】（定理会证明、会求导）

习题5-2：
3,5(2），6，7，8（3）
（8） (11)（12)，
11（2）,12，13,14，15,16
牛顿-莱布尼茨共识
掌握【重点】
（定理会证明）
例1～4，例6
（记住结论），例7,8
5。3定积分的换元法和分部积分法
定积分的换元法与分部积分法
掌握【重点】
例1～4
例5～7（记住结论），例8~11,
例12(记住结论)
习题5—3:
1(4）（7）（10)（18）
（19） （21）（25)（26)
2，5，6，7（10）(11）（13)
5.4反常积分
无穷限的反常积分
了解概念，会计算反常积分
例1~7
习题5—4：
1（4）（8）（10)
2，3(记住结论），4
无界函数的反常积分
5.5反常积分的审敛法

不作要求

总习题五
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总习题五：
1（1）(2）（4)（5）, 2 ， 4(2）
5(2）,6(1),
11（7）（9）（10）， 12, 13,14
15,18
第六章 定积分的应用
章节
教材内容
考纲要求
必做例题
必做习题
6。1定积分的元素法
元素法
理解

6。2定积分在几何学上的应用
平面图形的面积(直角坐标情形、极坐标情形)
会
体积：数学三只要求旋转体的体积
例1～5
习题6—2：
1（1)(4）， 2(1), 4， 5（1)
7， 9， 11， 12, 15（1）（3）
16， 19， 21， 22， 28
数三不做22,28
体积（旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积）
例6～10
平面曲线的弧长
会(数一数二）
例11～15
6.3定积分在物理学上的应用
用定积分求变力做功、
水压力、引力
会（数一数二）
例1~5
习题6-3:
5, 11
总习题六
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总习题六:
1, 2 , 4， 5， 6， 7， 9
第七章 微分方程
7.1微分方程的基本概念
微分方程的阶、解、通解、
初始条件和特解
了解
例1，2
习题7-1： 1(3）（4)
2(2）（4）, 3(2）, 4（3）,5（1)， 7
7.2可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程的
概念及其解法
掌握
例1~4
习题7-2： 1（3)(4)（5）(7）
（9)， 2(3）(4）
7.3齐次方程
一阶齐次微分方程的形式及其解法
掌握【重点】
例1,2
习题7-3:
1(1）(5）， 2（2）
可化为一阶齐次微分方程的
形式及其解法
不作要求
7.4一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的
形式及其解法
掌握（熟记公式）
例1,3
习题7—4：
1（3）（5）(8)(10)，
2（1）（3）, 3 ,7(3)
伯努利方程的形式及其解法
会(仅数一）
例4
8(5）
7.5可降阶的高阶微分方程
用降阶法解下列形式的微分方程：

会（仅数一数二）
例1,3，5,6
习题7—5:
1(3）(4)（7）， 2（2)
章节
教材内容
考纲要求
必做例题
必做习题
7。6高阶线性微分方程
线性微分方程的解的结构:齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程的解的性质
理解（数一数二）
了解（数三)
【难点】

习题7—6:
1(3)(6), 3， 4(2）, 5
7。7常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程
会解【重点】（特征方程、求通解的步骤)
例1~3
习题7—7：
1（1）（4）（9）,
2(2)（4)
数三不做1（9)
n阶常系数齐次线性微分方程
会（数一数二）
例6~7
7.8常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程中自由项为：多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积
会解【重点】(数三不要求和与积）
例1~4
习题7-8：
1（2)（4）(7)（9）
2（2）（4）
6
*7。9欧拉方程
欧拉方程的形式和通解
会（数一数二）

习题7—9：
5， 8
*7。10常系数线性微分方程组解法举例

不作要求

总习题七
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法

总习题七:
1(1)(2）（4）, 2
3(2）, 4(1)（2）(7)
5(3)(4), 6， 8

第 7 页