高中数学 第一章 统计案例 回归分析注意问题两例素材 北师大版选修1-2 课件.doc

回归分析注意问题两例
一、相关性判断问题
例1 炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系。如果已测得炉料融化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y（从炉料融化完毕到出钢的时间）的一列数据，如下表所示：
x（0.01%）
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
Y／min
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
（1）y与x是否具有线性相关关系？
（2）如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）预测当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？
分析：判断两变量之间是否具有线性相关关系，要计算出相关系数r，比较r与临界值的大小，依据线性回归直线方程，对冶炼时间进行预报。
解析：（1）由已知数据列成下表：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

104
180
190
177
147
134
150
191
204
121

100
200
210
185
155
135
170
205
235
125

10400
36000
39900
32745
22785
18090
25500
39155
47940
15125

于是，
又，知y与x具有线性相关关系。
（2）设所求的回归直线方程，则
，即所求的回归直线方程为

（3）当时，，即大约冶炼。
导评：已知x与y呈线性相关关系，就无需进行相关性检验，否则要进行相关性检验。如果两个变量不具备相关关系，或者相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，用其估计和预测也是不可信的。
二、非线性问题
例2 在试验中得到变量y与x的数据如下：
x
0.0667
0.0338
0.0333
0.0273
0.0225
y
39.4
42.9
41.0
43.1
49.2
由经验知，y与之间具有线性相关关系，试求y与x之间的回归曲线方程；当时，预测的值。
分析：通过换元转化为线性回归问题。
解析：令，由题目所给数据可得下表所示的数据‘
序号

1
15．0
39．4
225
1552．36
591
2
25．8
42．9
665．64
1840．41
1106．82
3
30．0
41．0
900
1681
1230
4
36．6
43．1
1339．56
1857．61
1577．46
5
44．4
49．2
1971．36
2420．64
2184．48
合计
151．8
215．6
5101．56
9352．02
6689．76
计算得，∴
故所求回归曲线方程为，当时，。
导评：非线性问题有时并不给出经验公式，此时我们可以由已知的数据画出散点图，并把散点图与已经学习过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑选出跟这些散点拟合最好的函数，然后再采用变量的置换，把问题转化为线性回归分析问题，使问题得以解决。