重心位置不变性的数学证明.docx

重心相对位置不变性的数学证明
百度ID：知不道42
<1>平行力系中心

<2>.重心

<3>.自由度
刚体自由度：

由于空间刚体在空间的任意运动可以分为平动和转动，分别为沿x，y ，z轴的平动和绕x，y ，z轴的转动
证明:
由于刚体任意运动可能既包含转动和平动，先考虑刚体作转动或者平动，然后在考虑同时包含平动和转动
设有一任意形状的物体在空间中，建立如图所示坐标系，且此物体在此坐标系初始时刻中的重心为(Xc ，Yc ，Zc)
1> 当物体在空间中仅做平动时
将物体空间运动分为沿x，y，z轴的平动，设物体沿x，y，z轴的位移分别为X1,Y1,Z1，即物体上各点的位移皆为X1,Y1,Z1。
可知此时物体原重心点（Xc， Yc， Zc）移动后坐标为（Xc+X1，Yc+Y1，Zc+Z1）
由重心公式得：
初始重心：
Xc=∑GiXi∑Gi ,Yc=∑GiYi∑Gi ,Zc=∑GiXi∑Gi
刚体运动后重心位置：
Xc’=∑Gi(Xi+X1)∑Gi ,Yc’=∑Gi（Yi+Y1)∑Gi ,Zc’=∑Gi(Zi+Z1)∑Gi
且
Xc’=∑Gi(Xi+X1)∑Gi= ∑GiXi∑Gi+∑GiX1∑Gi=Xc+X1
Yc’=∑Gi（Yi+Y1)∑Gi=∑GiYi∑Gi+∑GiY1∑Gi=Yc+Y1
Zc’=∑Gi(Zi+Z1)∑Gi=∑GiZi∑Gi+∑GiZ1∑Gi=Yc+Z1
结论：
当刚体在空间坐标系中任意移动(不包含转动)时，刚体重心(Xc,Yc,Zc)在物体中相对位置未发生改变。
2> 当物体在空间中仅做转动时
例：设此刚体绕Z轴转动，初始重心为(Xc ，Yc ，Zc)
由刚体绕Z轴转动任意角度α ，刚体各位置Z方向坐标不发生变化即Zc’=Zc重心在XoY平面的投影如图所示，
由几何关系得：Xc=rcosθ，Yc= rcosθ.

刚体转动后原重心位置坐标:
Xc’=rcos(θ+α)=rcosθcosα-rsinθsinα=Xc*cosα-Yc*sinα
Yc’= rsin(θ+α)=rsinθcosα+rcosθsinα=Yc*cosα+Xc*sinα
Zc’=Zc
而由重心位置公式计算转动一定角度后重心坐标
Xi:刚体第i部分X轴坐标，Yi:刚体第i部分Y轴坐标
θi:刚体第i部分与y轴正方向夹角
且Xi=cosθi ,Yi=sinθi
原Xc=∑GiXi∑Gi=∑Gi*ri*cosθi∑Gi , Yc=∑GiYi∑Gi=∑Gi*ri*sinθi∑Gi
转动α角度后，各部分参数分别表示为Xi’，Yi’
由重心坐标公式
Xc’’=∑Gi*ri*cos⁡(θ+α)∑Gi=∑Gi*ri*(cosθ*cosα-sinθ*sinα)∑Gi
=∑Gi*ri*cosθ*cosα∑Gi - ∑Gi*ri*sinθ*sinα∑Gi
=∑Gi*Xi*cosα∑Gi - ∑Gi*Yisinα∑Gi = Xc*cosα-Yc*sinα
由Z坐标不变
Z’’=Z:
同理可求Yc’’=Xc*sinα + Yc*cosα
由Xc’=Xc’’ ,Yc’=Yc’’,Zc’=Zc=Zc’’
故刚体绕Z轴旋转任意角度后，重心相对位置不变。
同理可证：刚体绕X轴，Y轴转动后重心相对位置不变化

结论：当刚体在空间坐标系中做任意运动时，可看做平动和转动的叠加，又由刚体做平动或转动时重心相对位置不发生变化，故叠加后重心相对位置仍不变。

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