《2.1.2-椭圆的简单几何性质》教学案.doc

《2.1.2 椭圆的简单几何性质》导学案
【学习要求】
1．理解椭圆的简单几何性质.
2．利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.
【学法指导】
通过几何图形观察，代数方程验证的学习过程，体会数形结合的数学思想.通过几何性质的代数研究，养成辩证统一的世界观.
【知识要点】
1．椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形

标准方程

范围

顶点

轴长
短轴长＝  ，长轴长＝ 
焦点
(±，0)
(0，±)
焦距
|F1F2|＝2
对称性
对称轴：  　对称中心：
离心率
e＝∈ 
准线

2．离心率的作用
当椭圆的离心率越  ，则椭圆越扁；当椭圆离心率越  ，则椭圆越接近于圆.

【问题探究】
探究点一　椭圆的简单几何性质
问题1　观察椭圆＋＝1 (a>b>0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
问题2　如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的几何性质？

问题3　观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻画椭圆的扁平程度呢？

问题4　（1）或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？
（2）你能运用三角函数的知识解释：为什么e＝越大，椭圆越扁？e＝越小，椭圆越圆吗？

问题5　比较下列各组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？
（1）4x2＋9y2＝36与＋＝1； （2）9x2＋4y2＝36与＋＝1.

例1　求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
跟踪训练1　已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.

探究点二　由椭圆的几何性质求方程
例2　椭圆过点(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程.
跟踪训练2　求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1）长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于；
（2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4).

探究点三　求椭圆的离心率
例3　如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率.

跟踪训练3　如图，A、B、C分别为椭圆＋＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为 (　　)
　A． B．－1 C． D．＋1
【当堂检测】
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 (　　)
A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.6
2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是 (　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 (　　)
A． B． C． D．
4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为______.
【课堂小结】
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a、b.
2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.
3．求离心率e时，注意方程思想的运用.
【拓展提高】
1．已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝，则椭圆的方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
2．椭圆的焦点在轴上，则它离心率的取值范围是
3．椭圆M：=1 (a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且 的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中. 则椭圆M的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点是，过作直线与长轴垂直，与椭圆交于两点
（1）若，求椭圆的离心率
（2）求证：一定为钝角

5．在平面直角坐标系内，已知点，是平面内一动点，直线的斜率之积为
（1）求动点的轨迹的方程
（2）过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围