反比例函数图形与性质教学设计1.doc

反比例函数的图象和性质教案

教学目标
1．知识与技能
会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题．
2．过程与方法
通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．
3．情感、态度与价值观
由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣．
教学重点难点
重点：反比例函数图象的画法及探究，反比例函数的性质的运用．
难点：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析．
课时安排2课时

第1课时

（一）创设情境，导入新课
问题：1．若y=是反比例函数，则n必须满足条件n≠或n≠-1．
2．用描点法画图象的步骤简单地说是列表、描点、连线．
3．试用描点法画出下列函数的图象：（1）y=2x；（2）y=1-2x．
（二）合作交流，解读探究
问题：我们已知道，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，那么反比例函数y=（k为常数且k≠0）的图象是什么样呢？
尝试用描点法来画出反比例函数的图象．
画出反比例函数y=和y=-的图象．
解：列表
x
…
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
…
y=

-1

-1.5
-2

-6

3

1

y=-

1
1.2

3
6

-1.5

（请把表中空白处填好）
描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．
连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来．

探究反比例函数y=和y=-的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？
做一做把y=和y=-的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称．
归纳反比例函数y=和y=-的图象的共同特征：
（1）它们都由两条曲线组成．
（2）随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴）．
（3）反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola）．
此外，y=的图象和y=-的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．
做一做在平面直角坐标系中画出反比例函数y=和y=-的图象．
交流两个函数图象都用描点法画出？
【分析】由y=和y=-的图象及y=和y=-的图象知道，
（1）它们有什么共同特征和不同点？
（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？
（3）在每一个象限内，y随x的变化而如何变化？
猜想反比例函数y=（k≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？在每一个象限内，y随x的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？
【归纳】（1）反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线．
（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小．
（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大．
（三）应用迁移，巩固提高
例题指出当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y=（k≠0）在同一坐标系中的图象（）

【分析】对于y=kx来说，当k>0时，图象经过一、三象限，当k<0时，图象经过二、四象限；对于y=来说，当k>0时，图象在一、三象限，当k<0时，图象在二、四象限，所以应选B．

【答案】B
备选例题
1．（2005年中考·泉州）请你写出一个反比例函数的解析式，使它的图象在第一、三象限．
2．（2005年中考·宣昌）如图所示的函数图象的关系式可能是（ ）
A．y=x B．y= C．y=x2 D．y=
（四）总结反思，拓展升华
1．画反比例函数的图象．
2．反比例函数的性质．
3．反比例函数的图象在哪个象限由k决定，且y值随x值变化只能在“每一个象限内”研究．

4．在y=（k≠0）中，由于x≠0，同时y≠0，因此双曲线两个分支不可能到达坐标轴．
（五）课堂跟踪反馈
夯实基础
1．已知反比例函数y=的图象如图所示，则k>0，在图象的每一支上，y值随x的增大而减小．
2．下列图象中，是反比例函数的图象的是（D）

3．（2005年中考·东营）在反比例函数y=（k<0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1>x2>0，则y1-y2的值为（A）
（A）正数 （B）负数 （C）非正数 （D）非负数
提升能力
4．（2005年中考·苏州）已知反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则k的值可是________（写出满足条件的一个k值即可）．
【答案】略
5．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为倒数，则这点一定在函数图象上y=（填函数关系式）．
6．若一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y=的图象一定在二、四象限．
开放探究
7．两个不同的反比例函数的图象是否会相交？为什么？
【答案】不会相交，因为当k1≠k2时，方程＝无解．
8．点A（a，b）、B（a-1，c）均在反比例函数y=的图象上，若a<0，则b<c．

第2课时

（一）创设情境，导入新课
老师在黑板上写了这样一道题：“已知点（2，5）在反比例函数y=的图象上，试判断点（-5，-2）是否也在此图象上．”题中的“？”是被一个同学不小心擦掉的一个数字，请你分析一下“？”代表什么数，并解答此题目．
（二）合作交流，解读探究
探究点（2，5）在反比例函数图象上，其坐标当然满足函数解析式，因此，代入后易求得？=10，即反比例函数关系式为y=，再当x=-5时，代入易求得y=-2，说明点（-5，-2）适合此函数解析式，进而说明点（-5，-2）一定在其函数图象上．
交流与同学们分享成功的喜悦．
（三）应用迁移，巩固提高
例1已知反比例函数的图象经过点A（2，6）
（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大而如何变化？
（2）点B（3，4）、C（-2，-4）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？
解：（1）设这个反比例函数为y=，因为它过点A（2，6），所以把坐标代入得6=，解得k=12，此反比例函数式为y=，又因k=12>0，所以图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小．

（2）把点B、C、D的坐标分别代入y=，知点B、C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B、C在函数y=的图象上，点D不在这个函数的图象上．
例2（2005年中考·河南）三个反比例函数
（1） y=（2）y=（3）y=在x轴上方的图象如图所示，由此推出k1，k2，k3的大小关系

【分析】由图象所在的象限可知，k1<0，k2>0，k3>0；在（2）（3）中，为了比较k2与k3的大小，可取x=a>0，作直线x=a，与两图象相交，找到y=与y=的对应函数值b和c，由于k2=ab，k3=ac，而c>b>0，因而k3>k2>k1．
【答案】k3>k2>k1．
例3直线y=kx与反比例函数y=-的图象相交于点A、B，过点A作AC垂直于y轴于点C，求S△ABC．
解：反比例函数的图象关系原点对称，又y=kx过原点，故点A、B必关于原点对称，从而有OA=OB，所以S△AOC=S△BOC．
设点A坐标为（x1，y1），则xy=-6，且由题意AC=│x1│，OC=│y1│．
故S△AOC=AC·OC=│x1y1│=×6=3，
从而S△ABC=2S△AOC=6．
备选例题
1．（2005年中考·兰州）已知函数y=-kx（k≠0）和y=-的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，则S△BOC=_________．
2．（2005年中考·常德）已知正比例函数y=kx和反比例函数y=的图象都过点A（m，1），求此正比例函数解析式及另一交点的坐标．
【答案】1．2；2．y=x，（-3，-1）
（四）总结反思，拓展升华
反比例函数的性质及运用
（1）k的符号决定图象所在象限．
（2）在每一象限内，y随x的变化情况，在不同象限，不能运用此性质．
（3）从反比例函数y=的图象上任一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积S△=│k│．
（4）性质与图象在涉及点的坐标，确定解析式方面的运用．
（五）课堂跟踪反馈
夯实基础
1．判断下列说法是否正确
（1）反比例函数图象的每个分支只能无限接近x轴和y轴，但永远也不可能到达x轴或y轴．（∨）
（2）在y=中，由于3>0，所以y一定随x的增大而减小．（×）
（3）已知点A（-3，a）、B（-2，b）、C（4，c）均在y=-的图象上，则a<b<c．（×）
（4）反比例函数图象若过点（a，b），则它一定过点（-a，-b）．（∨）
2．设反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x1<0<x2时，有y1<y2，则m的取值范围是m<3．
3．点（1，3）在反比例函数y=的图象上，则k=3，在图象的每一支上，y随x的增大而减小．
4．正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象有一个交点的纵坐标是2，求（1）x=-3时反比例函数y的值；（2）当-3<x<-1时，反比例函数y的取值范围．
【答案】（1）-，（2）-4<9-
提升能力
5．（2005年中考·资阳）已知正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象有一个交点的坐标为（-2，-1），则它的另一个交点的坐标是（A）
A．（2，1） B．（-2，-1） C．（-2，1） D．（2，-1）
6．（2005年中考·沈阳）如图所示，已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y2=（k<0）分别交于点C、D，且C点坐标为（-1，2）．
（1）分别求直线AB与双曲线的解析式；
（2）求出点D的坐标；
（3）利用图象直接写出当x在什么范围内取何值时，y1>y2．

【答案】（1）直线：y=x+3，双曲线：y=-；（2）（-2，1）；（3）-2<x<-1
7．画出y=-与y=-的图象，并加以区别．
【答案】略
开放探究
8．（2005年中考·湖州）两个反比例函数y=，，在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2005在反比例函数y=图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2005，纵坐标分别1，3，5，…，共2005年连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2005分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2005（x2005，y2005），则y2005=2004.5．