单调性与最大(最小)值.docx

§1.3.2 单调性与最大（最小）值

【教材分析】
最值问题是生产、科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题，是高中数学的一个重点，它涉及到高中数学知识的各个方面，解决这类问题往往需要综合运用各种技能，灵活选择合理的解题途径.本节课利用单调性求函数的最值，目的是让学生知道学习函数的单调性是为了更好地研究函数.利用单调性不仅仅确定函数的值域、最值，更重要的是在实际应用中求解利润、费用的最大与最小，用料、用时的最少，流量、销量的最大，选取的方法最多、最少等问题.
【教学目标】
1.理解并掌握函数最大(最小)值的概念及其几何意义，并能利用函数图象及函数单调性求函数的最大(最小)值.
2.在求函数最大(最小)值中，提高分析问题、创造地解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想.
【教学重难点】
教学重点:理解函数最大(最小)值.
教学难点:利用函数的单调性求函数最大(最小)值.
【教学设计建议】
一、导入新课
1、生活中，有很多的函数变化的模型.比如某段时间的股市变化图和某市一天24小时内的气温变化图等，分别说出股票综合指数和气温随时间变化的特点，如相应图象在什么时候递增或递减，有没有最大(最小)值等.

2、前面我们学习了函数的单调性，知道了在函数定义域的某个区间上函数值的变化与自变量增大之间的关系.从函数图象的角度很容易直观的知道函数图象的最高点（或最低点），如何从解析式（函数值）的角度认识函数的最大(最小)值呢？
【设计意图：根据生活中的实际例子认识函数图象的变化特征，复习函数的单调性，引出函数的最大(最小)值，并使学生分别从函数图象的角度和从解析式的角度刻画函数的最大(最小)值,激发学生探究函数最大(最小)值的概念及其几何意义的兴趣.】
二、探索新知
（一）画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
① ② ③

（二）观察上述三个函数的图象，如何用数学符号解释：相应函数的图象有最高点或者最低点？
函数图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.
函数图象最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值,即函数的最小值.
函数图象可能只有最高点，函数有最大值，不存在最低点，函数无最小值；函数图象也可能只有最低点，函数有最小值，不存在最高点，函数无最大值；也可能函数最大(最小)值都有，或者都无等等.
【设计意图：通过画函数的图象，特别是区间内函数的图象，先具体感知函数图象的最高点与最低点的情况，再思考用数学符号来解释或表达函数图象的最高点与最低点，形成思维冲突，最后师生一起交流解决.】
（三）归纳新知
1、函数最大值的定义：
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；
（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，我们称M是函数y=f（x）的最大值，
记为ymax＝f（x0）.
2、思考并类比函数的最大值的定义，给出函数最小值的定义
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；
（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，我们称M是函数y=f（x）的最小值，
记为ymin＝f（x0）.
【设计意图：在画和观查函数图象、用数学符号来解释或表达函数图象的最高点与最低点的基础上，归纳出函数最大值的定义及其数学符号的表达.继续引导学生思考、类比，自己归纳出函数的最小值的定义及其数学符号的表达.】
三、反思提升
（一）函数最大(最小)值的定义及其几何意义
（二）函数最大(最小)值与函数定义域及值域的关系.
（1）函数的定义域为开区间或闭区间对函数最大(最小)值的影响
（2）函数不一定有最大(最小)值
（3）函数的最大(最小)值是唯一的，但其对应的自变量的值不一定是唯一的.
（三）数学方法与思想
函数最大(最小)值与函数图象及其单调性的关系中充分体现数形结合的思想，函数最大(最小)值的定义中体现类比的方法，分类讨论的方法.
【设计意图：经历问题引入和新知探究后,师生对函数的最大(最小)值的定义及其几何意义有了初步认识，在此基础上进行探究过程和运用到的数学思想方法进行反思提升,强调函数最大(最小)值与函数图象、函数单调性、函数定义域和函数值域的内在关系.】
四、反馈例练
（一）基础例练
例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花在距地面高度h m与时间t s的之间的关系为h（t）=－4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1 m）？
解：作出函数h（t）=－4.9t2+14.7t+18的图象.
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识，对于函数h（t）=－4.9t2+14.7t+18，我们有：
当t=－=1.5时，函数有最大值，
h=≈29.
于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.
【例2】 求函数y=在区间［2，6］上的最大值和最小值.
分析：由函数y=（x∈［2，6］）的图象可知，函数y=在区间［2，6］上递减.所以，函数y=在区间［2，6］的两个端点上分别取得最大值和最小值.

解：设x1、x2是区间［2，6］上的任意两个实数，
且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=－==.
由2≤x1＜x2≤6，得x2－x1＞0，（x1－1）（x2－1）＞0，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.
所以，函数y=是区间［2，6］上的减函数.
因此，函数y=在区间［2，6］的两个端点上分别取得最大(最小)值，即在x=2时取得最大值，最大值是2，在x=6时取得最小值，最小值是0.4.
（二）巩固例练
例1：求下列函数的最值
（1）；
（2）.
例2：已知函数,
（1）证明当0<x<1时，函数f（x）是减函数；当x≥1时，函数f（x）是增函数.
（2）求函数的最小值.
分析：（1）利用定义法证明函数的单调性；（2）应用函数的单调性得函数的最小值.
（1）解：任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=（）-(）=（x1-x2）+=，
∵x1＜x2，∴x1－x2<0，x1x2>0.
当0＜x1＜x2＜1时，x1x2-1<0，∴f（x1）-f（x2）＞0.
∴f（x1）＞f（x2），即当0<x<1时，函数f（x）是减函数.
当1≤x1＜x2时，x1x2-1>0， ∴f（x1）-f（x2）＜0.
∴f（x1）＞f（x2），即当x≥1时， 函数f（x）是增函数.
（2）由（1）得当x=1时，函数取最小值.
又f(1)=2，则函数取最小值是2.
点评：本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤：作差、判号、结论；三个步骤缺一不可.
利用函数的单调性求函数的最值的步骤：①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；当然对于简单的函数，也可以画出其函数图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.
【设计意图：先安排教材上的两个例题，师生一起例练，可以先让学生思考练习，老师适当点拨讲评，然后安排两个巩固例练，以二次函数的背景，简单的含参数的二次函数动区间和动轴的最大最小值问题，以及再一次巩固“双钩”函数的单调性证明，然后利用单调性求函数的最大最小值.】

五、课后作业
1、教科书P32 5、P39 A 5、B 1、2
2、校本教辅资料相应练习

【教学设计感悟】
本节课看似简单，但为了达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点.在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的知过程，完成对函数最大（最小）值定义的认识,使得学生对概念的认识不断深入.在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用函数图象和函数单调性求函数最值的方法和步骤，并进行适当巩固与拓。这样的教学设计基于新课程理念，学生在深刻体验的基础上，有独立的思考和师生的思维碰撞，然后归纳新知新法。这种教学不是传统教学中教师一味的演绎传授知识，学生被动接受性学习，而是体现数学知识与方法学习的归纳思想，学生更多的是体验性学习。
6 / 6