《2.5-离散型随机变量》-同步练习-2.doc

《2.5 离散型随机变量》 同步练习 2
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2011·杭州高二检测)已知随机变量ξ～B(6，)，则Eξ，Dξ分别为( )
(A) (B) 2，4 (C) (D)
2.(2011·福州高二检测)设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为( )
(A)n=4，p=0.6 (B)n=6，p=0.4
(C)n=8，p=0.3 (D)n=24，p=0.1
3.已知随机变量ξ的分布列为

若Eξ=，则Dξ等于( )
(A) (B) (C) (D)
4.设X是离散型随机变量，P(X=x1)=，P(X=x2)=，且x1<x2，现已知：EX=，DX=，则x1+x2的值为( )
(A) (B) (C)3 (D)
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知离散型随机变量X的分布列如表.若EX=0，DX=1，则a=______，b=______.
6.变量ξ的分布列如下：

其中a，b，c成等差数列，若Eξ=，则Dξ的值为_______.
三、解答题(每小题8分，共16分)
7.海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位:s)，其分布列如下:

根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.
8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且这5位乘客在这三层中的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：
(1)离散型随机变量ξ的分布列；
(2)离散型随机变量ξ的方差.

【挑战能力】
(10分)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1，2，3，4).现从袋中任取一球.X表示所取球的标号.
(1)求X的分布列、期望和方差；
(2)若Y=aX+b，EY=1，DY=11，试求a，b的值.

答案解析
1.【解析】选C.Eξ=6×=2，
Dξ=6××(1-)=.
2.【解析】选B.由题意得，np=2.4，np(1-p)=1.44
∴1-p=0.6
∴p=0.4，n=6.
3.【解析】选B.由分布列的性质得x+y=0.5，又Eξ=
∴2x+3y=
∴Dξ=(1-)2×+(2-)2×+(3-)2×.
4.独具【解题提示】由已知条件先求出x1、x2即可求出x1+x2.
【解析】选C.由题意可知X的分布列为

∴EX=，
∴x2=4-2x1，，

若(舍去)，
若x1=1，则x2=2，
∴x1+x2=3.
5.【解析】由题意得

答案：
6.【解析】由a，b，c成等差数列可知2b=a+c，
又∵a+b+c=3b=1，
∴b=，a+c=.
又∵Eξ=-a+c=，∴a=，c=.
∴Dξ=.
答案：
7.【解析】因为EX1=0，EX2=0，
所以EX1=EX2.
因为DX1=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.05+ (2-0)2×0.05=0.5；
DX2=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-0)2×0.1=1.2，
所以DX1＜DX2.
由上可知，A面大钟的质量较好.
8.独具【解题提示】先确定ξ的取值然后求对应的概率及均值与方差.
【解析】(1)ξ的所有可能取值为0，1， 2，3，4，5，由等可能性事件的概率公式可得

从而，离散型随机变量ξ的分布列为

(2)由(1)得离散型随机变量ξ的数学期望为

所以Dξ=

【挑战能力】
【解析】(1)X的分布列为：

∴EX=.
DX=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75.
(2)由DY=a2DX，得a2×2.75=11，即a=±2.
又EY=aEX+b，所以
当a=2时，由1=2×1.5+b，得b=-2；
当a=-2时，由1=-2×1.5+b，得b=4.
∴
独具【方法技巧】期望与方差的综合问题的求法
(1)求随机变量方差的一般步骤：
第一步：求分布列；第二步：求均值EX；第三步：根据方差的定义求方差；第四步：下结论，即作答.
(2)已知随机变量的分布列，求它的期望、方差(或标准差)，可直接由定义 (公式)求解.
(3)已知随机变量X的期望、方差，求X的线性函数Y=aX+b的期望和方差，可直接用X的期望、方差的性质求解，即E(aX+b)=aEX+b，D(aX+b)=a2DX.
(4)如果能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，可直接用它们的期望、方差公式计算.
(5)对于应用题，必须对实际问题进行具体分析，先求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的期望、方差.