广东省肇庆市高要二中2013届高三数学上学期10月月考试题-理-新人教A版.doc

2012-2013学年广东省肇庆市高要二中高三（上）10月月考数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）（2011•北京）已知集合P={x|x2≤1}，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是（　　）

A．
（﹣∞，﹣1]
B．
[1，+∞）
C．
[﹣1，1]
D．
（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
考点：
集合关系中的参数取值问题．
专题：
计算题．
分析：
通过解不等式化简集合P；利用P∪M=P⇔M⊆P；求出a的范围．
解答：
解：∵P={x|x2≤1}，
∴P={x|﹣1≤x≤1}
∵P∪M=P
∴M⊆P
∴a∈P
﹣1≤a≤1
故选C
点评：
本题考查不等式的解法、考查集合的包含关系、考查P∪M=P⇔M⊆P
2．（5分）下列选项叙述错误的是（　　）

A．
命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”

B．
若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0

C．
若p∨q为真命题，则p、q至少有一个为真命题

D．
设x，y∈R，则“x≥2，且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断；四种命题．
专题：
计算题．
分析：
利用命题与逆否命题的关系，判断A的正误；
利用全称命题与特称命题否定关系，判断B的正误；
通过p∨q命题是真命题的条件，判断C的正误；
利用充要条件判断方法判断D的正误；
解答：
解：对于A，命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”满足逆否命题，正确；
对于B，命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0，满足题意正确的判断．
对于C，若p∨q为真命题，则p、q至少有一个为真命题，正确；
对于D，设x，y∈R，则“x≥2，且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件，不正确，应该是充分不必要条件．
故选D．
点评：
本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，四种命题等知识，考查基本知识的应用．

3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（　　）

A．
y=x3
B．
y=
C．
y=2|x|
D．
y=cosx

考点：
奇偶性与单调性的综合．
专题：
综合题；函数的性质及应用．
分析：
对于A，函数是奇函数；
对于B，函数是偶函数，在区间（0，+∞）上函数单调递减；
对于C，函数是偶函数，在区间（0，+∞）上函数单调递增；
对于D，函数是偶函数，在区间（0，+∞）上，不是单调函数．
解答：
解：对于A，函数是奇函数，不满足题意；
对于B，∵，∴函数是偶函数，在区间（0，+∞）上，y=﹣lnx，y′=﹣＜0，∴函数单调递减，故满足题意；
对于C，∵2|﹣x|=2x，∴函数是偶函数，在区间（0，+∞）上，y=2x，y′=2xln2＞0，∴函数单调递增，故不满足题意；
对于D，函数是偶函数，在区间（0，+∞）上，不是单调函数，故不满足题意
故选B．
点评：
本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

4．（5分）函数的值域为（　　）

A．

B．

C．
（0，]
D．
（0，2]

考点：
指数型复合函数的性质及应用；二次函数的性质．
专题：
计算题．
分析：
令t（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1≤1，结合指数函数y=的单调性可求函数的值域
解答：
解：令t（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1≤1
∵单调递减
∴即y≥
故选A
点评：
本题主要考查了指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性，属于基础试题

5．（5分）函数的图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
函数的图象．
专题：
计算题．
分析：
已知函数的解析式，可以令x=代入验证，然后根据x＞1求出其解析式，做出判断；
解答：
解：∵函数，
令x=，得=3＞1，排除选项B，D，
当x＞1时，log3x＞0，∴==x，
故选A．
点评：
此题主要考查对数函数的运算，即函数的图象，利用了特殊值法进行判断，比较简便．

6．（5分）设a=log32，b=ln2，c=，则（　　）

A．
a＜b＜c
B．
b＜c＜a
C．
c＜a＜b
D．
c＜b＜a

考点：
对数值大小的比较；换底公式的应用．
专题：
计算题；转化思想．
分析：
根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底化相同，找中间量1与之比较大小，便值a、b、c的大小关系．
解答：
解：a=log32=，b=ln2=，
而log23＞log2e＞1，所以a＜b，
c==，而，
所以c＜a，综上c＜a＜b，
故选C．
点评：
本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用．

7．（5分）（2011•山东）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（　　）

A．
6
B．
7
C．
8
D．
9

考点：
根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．
专题：
计算题．
分析：
当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，由周期性可求得区间[0，6）上解的个数，再考虑x=6时的函数值即可．
解答：
解：当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，
因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，
故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，
又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，
即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7
故选B
点评：
本题考查函数的零点个数问题、函数的周期性的应用，考查利用所学知识解决问题的能力．

8．（5分）（2011•福建）对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c的一组值计算f（1）和f（﹣1），所得出的正确结果一定不可能是（　　）

A．
4和6
B．
3和1
C．
2和4
D．
1和2

考点：
函数的值．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
求出f（1）和f（﹣1），求出它们的和；由于c∈Z，判断出f（1）+f（﹣1）为偶数．
解答：
解：f（1）=asin1+b+c ①
f（﹣1）=﹣asin1﹣b+c ②
①+②得
f（1）+f（﹣1）=2c
∵c∈Z
f（1）+f（﹣1）是偶数
故选D
点评：
本题考查知函数的解析式求函数值、考查偶数的特点．

二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分）（一）必做题（9～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
9．（5分）函数f（x）与g（x）=互为反函数，则f（4x﹣1）的定义域为　　．

考点：
反函数．
专题：
计算题．
分析：
利用原函数的定义域与反函数的值域相同的关系，推出f（x）的定义域，然后求出f（4x﹣1）的定义域．
解答：
解：因为原函数的定义域与反函数的值域相同，g（x）=的值域为（0，+∞），
所以f（x）的定义域为（0，+∞），所以4x﹣1＞0，解得x，
所以函数f（4x﹣1）的定义域．
故答案为：
点评：
本题考查函数的反函数的值域与原函数的定义域的对应关系，考查计算能力．

10．（5分）（2011•温州一模）根据表格中的数据，可以判定函数f（x）=lnx﹣x+2有一个零点所在的区间为（k，k+1）（k∈N*），则k的值为　3　．

1
2
3
4
5
lnx
0
0.69
1.10
1.39
1.61

考点：
函数零点的判定定理．
专题：
常规题型．
分析：
计算每个区间端点处的函数值，当区间端点处的函数值异号时，即可判定这个区间内有零点
解答：
解：由题意知：f（1）=0﹣1+2=1＞0；f（2）=ln2﹣2+2=0.69＞0；f（3）=ln3﹣3+2=1.10﹣1=0.10＞0；f（4）=ln4﹣4+2=1.39﹣2＜0
∴f（3）•f（4）＜0
∴由勘根定理知，在（3，4）内有零点
故答案为：3
点评：
本题考察用勘根定理判断零点的位置，当在区间左右端点处点的函数值异号时，在这个区间内有零点．须掌握勘根定理．属简单题

11．（5分）函数则f（x）＞﹣1的解集为　{x|0＜x＜e或x＜﹣1 }，　．

考点：
其他不等式的解法；对数函数的单调性与特殊点．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
由f（x）＞﹣1可得①，②．分别求出①和②的解集，再取并集，即得所求．
解答：
解：由f（x）＞﹣1可得①，②．
解①得 0＜x＜e，解②得x＜﹣1，
故f（x）＞﹣1的解集为{x|0＜x＜e 或x＜﹣1 }，
故答案为 {x|0＜x＜e 或x＜﹣1 }．
点评：
本题主要考查分式不等式、对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

12．（5分）（2011•江苏）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是　4　．

考点：
两点间距离公式的应用．
专题：
计算题．
分析：
由题意和函数的图象关于原点对称知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，写出直线的方程，求出直线与函数的交点坐标，利用两点之间的距离公式得到结果．
解答：
解：由题意知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，
而y=x与y=的两个交点的坐标是（，）（﹣，﹣），
∴根据两点之间的距离公式得到|PQ|===4，
故答案为：4
点评：
本题考查反比例函数的图形的特点，考查直线与双曲线之间的交点坐标的求法，考查两点之间的距离公式，是一个综合题目．

13．（5分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数，例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；
②函数是单函数；
③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，，则f（x1）≠f（x2）；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
其中的真命题是　②③④　．（写出所有真命题的编号）

考点：
命题的真假判断与应用．
专题：
新定义．
分析：
由题意单函数的实质是一对一的映射，而单调的函数也是一对一的映射，据此可逐个判断．
解答：
解：①函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数，例如f（1）=f（﹣1），显然不会有1和﹣1相等，故为假命题；
②函数是单函数，因为若，可推出x1x2﹣x2=x1x2﹣x1，即x1=x2，故为真命题；
③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，，则f（x1）≠f（x2）为真，
可用反证法证明：假设f（x1）=f（x2），则按定义应有x1=x2，与已知中的x1≠x2矛盾；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数为真，因为单函数的实质是一对一的映射，而单调的函数也是，故为真．
故答案为②③④．
点评：
本题为新定义，准确理解单函数并把它跟已知函数的性质联系起来是解决问题的关键，属基础题．

14．（5分）（2010•闸北区二模）在极坐标系中，点到圆ρ=2cosθ的圆心的距离是　　．

考点：
参数方程化成普通方程；两点间的距离公式．
专题：
计算题．
分析：
先将极坐标方程化为一般方程，然后再计算点到圆ρ=2cosθ的圆心的距离．
解答：
解：∵在极坐标系中，ρ=2cosθ，∴x=pcosθ，y=psinθ，消去p和θ得，
∴（x﹣1）2+y2=1，
∴圆心的直角坐标是（1，0），半径长为1．
∴点在一般方程坐标为（1，），
∴点到圆ρ=2cosθ的圆心的距离是 d==，
故答案为．
点评：
此题考查极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．

15．（2011•韶关一模）如图，⊙O的半径R=5，P是弦BC延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为A，若PC=1，PA=3，则圆心O到弦BC的距离是　3　．

考点：
圆的切线的性质定理的证明．
专题：
计算题．
分析：
由已知中，⊙O的半径R=5，P是弦BC延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为A，若PC=1，PA=3，我们由切割线定理及求出PD的长，进而求出弦BC的长，然后根据半径弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，即可求出答案．
解答：
解：由切割线定理得PA2=PC•PB，
从而PB=9，BC=8
则圆心O到弦BC的距离是
故答案为：3
点评：
本题考查圆的切割线定理与垂径定理，属于中等题．其中根据切割线定理求出弦BC的长是解答本题的关键．

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（12分）已知α为锐角，且tanα=．求的值．

考点：
诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系．
专题：
计算题．
分析：
先利用诱导公式化简函数，再利用同角三角函数的平方与商数关系，即可求得结论．
解答：
解：原式===cosα．
又∵tanα=，α为锐角，
∴=，∴=．
∴cos2α=，
∵α为锐角，∴cosα=．
∴原式=．
点评：
本题重点考查诱导公式的运用，考查同角三角函数的平方与商数关系，熟练运用公式是关键．

17．（12分）设全集为R，集合，集合B={a∈R|关于x的方程x2+ax+1=0的根一个在（0，1）内，另一个在（1，2）内}．求（CRA）∩（CRB）．

考点：
一元二次方程的根的分布与系数的关系；交集及其运算；补集及其运算．
专题：
计算题．
分析：
首先对集合A进行化简，求出A，然后再求出CRA，然后根据关于x的方程x2+ax+1=0的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上设出函数f（x），化简出CRB，最后求出（CRA）∩（CRB）．
解答：
解：由，∴，
即
∴．
又关于x的方程x2+ax+1=0的根一个在（0，1）上，
另一个在（1，2）上，设函数f（x）=x2+ax+1，
则满足即，∴
∴
∴
点评：
本题考查交并补集的混合运算，以及一元二次方程的根的分布与系数的关系，需要对知识熟练运用，属于中档题．

18．（12分）（2012•道里区二模）设函数，g（x）=2x2+4x+c．
（1）试问函数f（x）能否在x=﹣1时取得极值？说明理由；
（2）若a=﹣1，当x∈[﹣3，4]时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．

考点：
利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数在某点取得极值的条件．
专题：
综合题；压轴题．
分析：
（1）利用反证法：根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，假设x=﹣1时f（x）取得极值，则把x=﹣1代入导函数，导函数值为0得到a的值，把a的值代入导函数中得到导函数在R上为增函数，没有极值与在x=﹣1时f（x）取得极值矛盾，所以得到f（x）在x=﹣1时无极值；
（2）把a=﹣1代入f（x）确定出f（x），然后令f（x）与g（x）相等，移项并合并得到c等于一个函数，设F（x）等于这个函数，G（x）等于c，求出F（x）的导函数，令导函数等于0求出x的值，利用x的值讨论导函数的正负得到F（x）的单调区间，进而得到F（x）的极大值和极小值，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，根据F（x）的极大值和极小值写出c的取值范围即可．
解答：
解：（1）由题意f′（x）=x2﹣2ax﹣a，
假设在x=﹣1时f（x）取得极值，则有f′（﹣1）=1+2a﹣a=0，∴a=﹣1，
而此时，f′（x）=x2+2x+1=（x+1）2≥0，函数f（x）在R上为增函数，无极值．
这与f（x）在x=﹣1有极值矛盾，所以f（x）在x=﹣1处无极值；
（2）令f（x）=g（x），则有x3﹣x2﹣3x﹣c=0，∴c=x3﹣x2﹣3x，
设F（x）=x3﹣x2﹣3x，G（x）=c，令F′（x）=x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1或x=3．
列表如下：

由此可知：F（x）在（﹣3，﹣1）、（3，4）上是增函数，在（﹣1，3）上是减函数．
当x=﹣1时，F（x）取得极大值；当x=3时，F（x）取得极小值
F（﹣3）=F（3）=﹣9，而．
如果函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，
所以或c=﹣9．
点评：
此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的极值，掌握函数的零点与方程根的关系，是一道中档题．

19．（14分）（2011•湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（I）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

考点：
函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．
专题：
应用题．
分析：
（I）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；
（II）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．
解答：
解：（I） 由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b
再由已知得，解得
故函数v（x）的表达式为
（II）依题并由（I）可得
当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200
当20≤x≤200时，
当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．
所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．
综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
答：（I） 函数v（x）的表达式
（II） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
点评：
本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．

20．（14分）已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，是否存在实数m使得f（cos2θ﹣3）+f（4m﹣2mcosθ）＞f（0），对一切都成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

考点：
复合三角函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．
专题：
计算题；综合题．
分析：
根据奇函数f（x）的定义域为R，可求得f（0）=0，再利用f（x）在[0，+∞）上是增函数，可将f（cos2θ﹣3）+f（4m﹣2mcosθ）＞f（0）化为cos2θ﹣mcosθ+2m﹣2＞0，令t=cosθ构造函数
f（t），f（t）=t2﹣mt+2m﹣2，（0≤t≤1）．根据其对称轴与区间[0，1]的关系可分类讨论求得m的取值范围．
解答：
解：设存在实数m使得f（cos2θ﹣3）+f（4m﹣2mcosθ）＞f（0）对一切都成立，
∵奇函数f（x）的定义域为R，
∴f（0）=0，
∴f（cos2θ﹣3）＞f（2mcosθ﹣4m）恒成立，
又∵f（x）在R上单调递增，
∴cos2θ﹣3＞2mcosθ﹣4m，
∴2cos2θ﹣4＞2mcosθ﹣4m，
∴cos2θ﹣mcosθ+2m﹣2＞0．
设t=cosθ，由θ∈[0，]可知t∈[0，1]，
∴f（t）=t2﹣mt+2m﹣2，（0≤t≤1）．
（1）当即m≤0时f（t）min=f（0）=2m﹣2＞0，
∴m＞1（舍）
（2）当≥1即m≥2时f（t）min=f（1）=m﹣1＞0，
∴m≥2；
（3）当0＜＜1，即0＜m＜2时，f（t）min=f（）=﹣m2+8m﹣8＞0，
∴4﹣2＜m＜4+2，
∴4﹣2＜m＜2．
综上所述，m＞4﹣2．
点评：
本题考查复合三角函数的单调性，考查转化思想与分类讨论思想的应用，考查解不等式组的能力与运算能力，属于中档题．

21．（16分）（2013•梅州二模）已知函数f（x）=的图象为曲线C，函数g（x）=ax+b的图象为直线l．
（1）当a=2，b=﹣3时，求F（x）=f（x）﹣g（x）的最大值；
（2）设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：（x1+x2）g（x1+x2）＞2．

考点：
导数在最大值、最小值问题中的应用；分析法和综合法．
专题：
综合题．
分析：
（1）由a=2，b=﹣3，知，x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，由此能求出F（x）=f（x）﹣g（x）的最大值．
（2）设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证，由此入手，能够证明（x1+x2）g（x1+x2）＞2．
解答：
解：（1）∵，
，
x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，
x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，
∴F（x）max=F（1）=2
（2）不妨设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证，
，，
∵，
∴，即 ，∴，
令，x∈（x1，+∞）．只需证，
，令 ，则 ，G（x）在x∈（x1，+∞）单调递增．
G（x）＞G（x1）=0，∴H′（x）＞0，∴H（x）在x∈（x1，+∞）单调递增．H（x）＞H（x1）=0，
H（x）=（x+x1）ln﹣2（x﹣x1）＞0，∴（x1+x2）g（x1+x2）＞2．
点评：
本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．

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