实数完备性基本定理之间的等价性.doc

学号:20105031106

学年论文（本科）

学 院 数学与信息科学学院
专 业 数学与应用数学
年 级 2010
姓 名 陈方华
论文题目 实数完备性基本定理之间的等价性
指导教师 陶有德 职称 副教授
成 绩

2012 年 5 月18日

目 录

摘要 2
关键词 2
Abstract. 2
Key words. 2
1. 引言 2
2. 实数基本定理的陈述 2
3. 定理1到定理6的循环证明 3
4.举例分析 5
参考文献 6

实数完备性定理之间的等价性
学生姓名:陈方华 学号:20105031106
数学与信息科学学院 数学与应用数学专业
指导教师:陶有德 职称:副教授
摘要:本文给出了实数理论的六个基本定理的循环证明
关键词:实数基本定理;等价性;数列;极限;收敛

Abstract:in this paper, a cycle of six fundamental theorem of the theory of real numbers prove.
Key words:Real number of the fundamental theorem; equivalence; series; limits; convergence.
1. 引言
实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性,实数基本定理是建立与发展微积分学的基础.因此掌握这部分内容是十分必要的,本文主要给出实数理论的6个基本定理的循环证明.
2. 实数基本定理的陈述
定理1(确界原理) 非空有上(下)界数集,必有上(下)确界.
定理2(单调有界原理) 任何单调有界数列必有极限.
定理3(区间套定理) 若是一个区间套, 则存在唯一一点,使得
.
定理4(有限覆盖定理) 设是一个闭区间,为上的一个开覆盖,则在 中存在有限个开区间,它构成上的一个覆盖.
定理5（聚点原理） 实轴上的有界无限点集至少有一个聚点.
定理6(柯西收敛准则) 数列收敛对任给的正数,总存在某一个自然数,使得时,都有.
3. 定理1到定理6的循环证明
(1) 定理1定理2(确界原理单调有界原理)
证 不妨设为单增有上界数列,即,,有.
记,则由确界原理知U有上确界,不妨记为,则 ,从而,使得成立.因为是单调递增数列,所以,有 .故 .
(2) 定理2定理3(单调有界定理区间套定理)
证 因为,所以有
从而可见数列单增有上界,数列单减有下界故由单调有界定理可知
使得,使得.
且有有,所以,于是成立
.
又因为,所以.记,从而存在性得证.
(3) 定理3定理4(区间套定理有限覆盖定理)
证(反证法) 假设闭区间有一个开覆盖不能用它的任有限个开区间覆盖.
定义性质P:不能用中有限个开区间覆盖.
Step(1) 将等分为两个子区间,则至少有一个具有性质,不妨记该区间为,则; ;
Step(2) 将等分为两个子区间,则至少有一个具有性质,不妨记该区间为,则;

Step(n) 将等分为两个子区间,则至少有一个具有性质,不妨记该区间为,则;
由此可得一个区间套且满足

利用二等分法容易构造出满足性质的区间套.故由区间套定理可知,存在唯一的,从而,,有,这与具有性质矛盾.这就证明了有限复盖定理.

(4) 定理4定理5(有限覆盖定理聚点原理)
证(反证法) 假设原命题不成立,则由于是直线上的有界无限点集,即存在闭区间,使得, 所以只含中的有限多项.从而得的一个开覆盖记为.由有限覆盖定理可知存在的一个有限子覆盖记为.所以只含有中的有限多个点,这显然与是矛盾的,故可知假设错误,原命题成立.
(5) 定理5定理6(聚点原理柯西收敛准则)
证 不妨设是无穷基本列,即有,使得有.易证有界.由聚点原理可知至少有一个聚点必含有的无限多项.从而, 任取中满足的某项,即可得到 .故
(6) 定理6定理1(柯西收敛准则确界原理)
证 设是一个有上界非空数集,则使得有,取构造区间.定义性质,区间中至少有一个数属于,且区间的右端点为的一个上界.仿(9)的证明,利用二等分法容易构造出满足性质的区间套则由 时,有.由于单调递增,中的每一个元素都为的上界.故,则有.故由柯西收敛准则可知收敛,记其极限为.由(3.1) 易证.因此, 有 .由于都为的上界,所以也为的上界.从而可知, .即,故为的上确界.
4.举例分析
用数列的柯西收敛准则证明确界原理
证:设为非空有上界数集,由实数的阿基米德性,对任何正数,存在整数,使得为的上界,而不是的上界,故存在不是的上界,即存在
分别取,则对每一个正数n,存在相应的,使得为的上界,而不是的上界,故存在,使得
（6）
又对正整数m,是的上界,故有,结合（6）式得;同理有
,从而得

于是,对任意的,存在,使得当时有

由柯西收敛准则,数列收敛,记
（7）
现证明就是的上确界,首先,对任何和正整数n有,由（7）式得,即
的一个上界,其次.对任何,由及（7）式,对充分大的n同时有
.
又因不是的一个上界,故存在,使得.结合上式得
.
这说明为的上确界,同理可证:若为非空有下界数集,则必存在下确界.

参考文献
[1] 华东师范大学数学系.高等教育出版社, 数学分析教材第一册[M].
[2] 钱吉林 等主编 〖数学分析题解精粹〗[M].
[3] 张筑生.数学分析新讲[M] .北京:北京大学出版社,1990.
[4] 刘玉莲,傅沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京:高等教育出版社,1996.
[5]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].高等教育出版社,2001.
[6]同济大学数学教研室编.高等数学[M].2000.

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