应力变换公式.doc

一点的应力不仅是坐标的函数，随着弹性体中点的位置改变而变化，而且即使同一点，由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不相同。一点的应力随着截面的法线方向的改变而变化称为应力状态。
应力状态分析就是讨论一点不同截面的应力变化规律。由于应力分量可以描述应力状态，因此讨论坐标系改变时，一点的各个应力分量的变化就可以确定应力状态。
当坐标系改变时，同一点的各个应力分量将作如何的改变。
容易证明，坐标系仅作平移变换时，同一点的应力分量是不会改变的，因此只须考虑坐标系旋转的情况。
假设在已知坐标系Oxyz中，弹性体中某点的应力分量为

如果让坐标系转过一个角度，得到一个新的坐标系Ox'y'z'。设新坐标系与原坐标系之间有如下关系:

其中，li，mi，ni表示新坐标轴Ox'y'z'与原坐标轴Oxyz之间的夹角方向余弦。

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如果用

表示同一点在新坐标系下的应力分量。
作斜截面ABC与 x' 轴垂直，其应力矢量为pn，则

根据应力矢量与应力分量的表达式

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设i'，j'，k' 为新坐标系Ox'y'z'的三个坐标轴方向的单位矢量，
如图所示。
将 pn ，即px'向x' 轴投影就得到s x'；
向y' 轴投影就得到t x'y'；
向z' 轴投影就得到t x'z'；
所以

将应力矢量分量表达式代入上述各式，并分别考虑 y，z方向，则可以得到转轴公式

注意到, tx'y' =ty'x' , ty'z' =tz'y' , tx'z' =tz'x' 。
用张量形式描述，则上述公式可以写作

应力变换公式表明：当坐标轴作转轴变换时，应力分量遵循张量的变换规律。坐标轴旋转后，应力分量的九个分量均有改变，但是作为一个整体所描述的应力状态是不会发生变化的。
应力张量为二阶对称张量，仅有六个独立分量。新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。因此，应力张量的六个应力分量就确定了一点的应力状态。
对于平面问题，如Ox 轴与Ox' 成 j 角。则新旧坐标系有如下关系：

根据转轴公式，可得
上述公式即材料力学中常用的应力变换公式。
应该注意的问题是：材料力学是根据变形效应定义应力分量的，而弹性力学是根据坐标轴定义应力分量的符号的。因此对于正应力二者符号定义结果没有差别，但是对于切应力符号定义是不同的。例如对于两个相互垂直的微分面上的切应力，根据弹性力学定义，符号是相同的，而根据材料力学定义，符号是相