2013届高三数学考前辅导2013.doc

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江苏省启东中学2013届高三数学考前辅导2013.6
《试题篇》
填空题
《统计问题》
1．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a= ，b= 。

2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间的人做问卷,编号落入区间的人做问卷,其余的人做问卷.则抽到的人中,做问卷的人数为____.

《概率问题》
1.在区间和分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为 ．
2．在圆=4所围成的区域内随机取一个整点P(x,y)（横，纵坐标都是整数点），则满足的整点的概率为 .
《三角问题》
1．在中，D为BC的中点，∠BAD=,∠CAD=AB=,则AD= 。
2。已知sin(=(则cos .
3.若 。
4.在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 = 。
5．若角 C是一三角形内角，关于x的不等式的解集为，则角C的最大角为 .

6．已知的内角的对边成等比数列，则的取值范围为 。
《立几问题》
1．已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，则三棱锥S-AED的体积 .
2.设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列的四个命题：
（1）若，则；
（2）若与相交且不垂直，则与不垂直
（3）若则
（4）若则其中，所有真命题的序号是 ．

《切线问题》
1.已知f(x)= 过A(1,m)可作曲线的三条切线，则m的取值范围是 .

2.已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0，并且与曲线y=f(x)相切，则直线l与圆截得的弦长为 .

3.从点（0，0）作轴的垂线交曲线y=于点(0,1)，曲线在点处的切线与轴交于点，现从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：则 .
《平面向量的数量积》
1.已知BC,DE是半径为1的圆O的两条直径，,则的值是 .
2．设O是外心，AB=1,AC=2且则面积为
3．已知中，，为的外心，若点在所在的平面上，
，且，则边上的高的最大值为 ．
4．在中，若，则面积的取值范围为 。
5.在等腰三角形ABC中，点D,E,F分别在AB,BC,CA上,且AD=DB=EF=1,AC=BC=则的取值范围为 。
《圆锥曲线离心率问题》
1.已知点P是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左右焦点，I为内心，若，则双曲线的离心率为 。
2.已知椭圆的两个焦点，P是以为直径的圆与椭圆的一个交点，且，则离心率为 .

3.已知双曲线的中心在坐标原点，A,C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2，则的余弦值 。
4. 已知椭圆的两个焦点，若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取直范围是 。

《直线与圆问题》
1．在
。
2．在平面直角坐标系中，曲线上到直线y=x+b距离等于的点共3个，则b的取直范围是 。
3．已知圆C：，点是直线l：上的动点，若在圆上总存在不同的两点A，B使得，则的取值范围是 。
4． 若不全为零的实数成等差数列，点在动直线上的射影为，点，则线段长度的最小值是________．
5．如果直线和函数+1(的图像恒过同一定点，且该定点始终落在圆=的内部或圆上，那么的取值范围是 .
6．在平面直角坐标系xOy中，对任意的实数m，集合A中的点(x，y)都不在直线2mx＋(1－m2)y－4m－2＝0上，则集合A所对应的平面图形面积的最大值为 ．
《数列问题》
1.已知数列的前项和分别为且记则数列的前100项和为 .
2．数列{an}满足=1， 记 若对任意恒成立，则正整数m的最小值是 .

3．设数列满足=2,若表示不超过x的最大整数，则= .
4.各项均为正数的等比数列{an}中，若 的取值范围是 。
5．已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值________0(填“>”、“<”之一)．

《函数，导数，不等式问题等杂题》
1．是函数的一个零点，则b＋c= ．
2．若方程没有实数根，那么实数的取值范围是_____．

3．已知满足若，则z的取值范围为 .
4．设f(x)是定义R在上且周期为2的函数，在区间[-1,1]上，其中若f(,则a+3b的值为 .
5．若实数a,b,c,d满足=1,则的最小值为 .
6．已知xy－z＝0，且0＜＜，则的最大值为__________．

7．若关于x的不等式ax2＋x－2a＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a的取值范围为 ．
8.已知函数在定义域上是单调函数,若对任意，都有,则不等式的解集为 .

9.已知集合，，若，则实数的取值范围是__________.

10.设其中，则的最小值为 。
11．设,是正实数，函数,．若存在，使
成立，则的取值范围为 ．

解答题
《三角向量与平面向量》
1．如图所示,已知的终边所在直线上的一点的坐标为,的终边在第一象限且与单位圆的交点的纵坐标为.
⑴求的值； ⑵若,,求.
2. 已知向量，，．
（1）若与向量共线，求的值；
（2）若实数a、b，角，使得对任意恒成立，求的值．

3．设△ABC中，＝c，＝a，＝b，且a×b＝b×c＝－2，b与c－b的夹角为150°．
A
C
B
E
D
G
(1)求∣b∣；
(2)求△ABC的面积．

《立体几何》
1.在四棱锥中,平面,是正三角形,与的交点恰好是中点,又,,点在线段上,且.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)设平面平面=,试问直线是否与直线平行,请说明理由.

2. 如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于直角三角形ABC所在平面，且PA=AB=AC=．
Q
P
A
B
C
（1）求证：PA∥平面QBC；
（2）若AQ⊥平面PBC，求多面体PQABC的体积．

《应用题》
A
O
L
B

1．如图,某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处，才能使|AB|最短？并求其最短距离．

2．某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC,BD是过抛物线焦点F且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为EF，通径长为4．记∠EFA ＝ α,α为锐角．
A
C
B
D
F
E
α

（1）用α表示AF的长；
（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积S
关于α的函数关系S(α)；
（3）为使“蝴蝶形图案”的面积最小，
应如何设计α的大小？

3．某电子器件厂兼营生产和销售某种电子器件，流水线启动后每天生产300个产品，可销售p＝200个产品，未售出的产品存入库房，每个产品在库房内每过一夜将支出存储费用r＝0．2元，该流水线在开机生产一段时间后停机销售，待所有库房产品售完后再开机生产，流水线启动的费用为c＝1200元(与产品数量无关)．这样开机生产－－停机销售－－产品售完构成了一个产销周期．为管理方便，流水线的生产和停机的时间均以天为单位安排．(1)若开机生产时间为m天，停机销售时间为n天，最后一天卖出a个产品，写出m，n，a的关系，并写出a的取值范围；(2)若停机销售的最后一天卖出100个产品，请你设计一个产销周期，即开机生产多少天，停机销售多少天，使得平均每个产品用于流水线启动和存储的费用最少？
4．在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.
(1)若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢?(2)若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且不少于七层，（Ⅰ）共有几种不同的方案?（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？

《解析几何》
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在轴x上方，直线AB与AC分别交直线x=a+1点E,F。（1）若点B(，求的面积。（2）若B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为①试探究：是否为定值？若为定值，请求出。若不为定值，说明理由；②求的面积的最小值。

2. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，点P为椭圆C上任意一点，且.以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）若点满足，试问椭圆上是否存在定点及以为圆心的一个圆，使得该圆与直线都相切，如存在，求出点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．

《函数与导数》
1．对于函数y＝f(x)，若存在x＝x0，使f(x0)＝x0，则称实数x0是函数y＝f(x)的一个不动点．
（1）设f(x)＝aln(1＋x)(aR)恰有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（2）g(x)＝x2＋x＋3，证明：函数y＝g(g(x))没有不动点；
*（3）若定义在R上的函数h(x)有且只有一个不动点x0，且满足：h(h(x)－x3－x)＝h(x)－x3－x，求函数h(x)的解析式．

2．已知函数
（I）已知
若求的取值范围；
（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；
（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：．

3.已知函数
（1） 若，且在上恒成立，求的取值范围；
（2） 若，关于的不等式有非零实数解，求的最大值；
（3） 记函数，且函数的定义域为（），若，求的最小值。

4．已知函数,其中．
(1)若,试判断函数的单调性,并证明你的结论;
(2)设函数 若对于任意大于等于2的实数,总存在唯一的小于2的实数,使得成立,试确定实数的取值范围．

《数列问题》
1.已知数列{an}满足，(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，为数列{an}的前项和． (1) 若，求的值；(2) 求数列{an}的通项公式；
(3) 当时，数列{an}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．

2．已知直角的三边长，满足
（1）在之间插入2011个数，使这2013个数构成以为首项的等差数列，且它们的和为，求c的最小值.
（2）已知均为正整数，且成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，求（）.
（3）已知成等比数列，若数列满足，证明：数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.

3.数列的首项为，前项和为，且，设，
(1) 求数列的通项公式；
(2) 当时若均有，求的取值范围；
(3) 当时，是否存在正数数组，同时满足：①成等差数列；②为等比数列，若存在，求出所有满足题设的数组，若不存在，说明理由。

4．数列{an}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，并且a2＋a4＝a1＋a5，a4＋a7＝a6＋a3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求使得am·am＋1·am＋2＝am＋am＋1＋am＋2成立的所有正整数m的值；
*（3）在数列{an}的奇数项中任取s项，偶数项中任取t项（s，t∈N*，s＞1，t＞1），按照某一顺序排列后成等差数列，求s＋t的最大值．

5．对于任意的n∈N*（n不超过数列的项数），若数列的前n项之和等于该数列的前n项之积，则称该数列为S型数列．
（1）若数列{an}是首项a1＝2的S型数列，求a3的值；
*（2）证明：任何项数不小于3的递增的正整数数列都不是S型数列；
*（3）若数列{}是S型数列，且0＜a1＜1，试求an＋1与an的递推关系，并证明0＜an＜1 对n∈N*恒成立．

理科加试
一、坐标系与参数方程
在极坐标系中，过曲线外的一点A,（其中为锐角）作平行于的直线l与曲线分别交于B,C.
（1） 写出曲线L和直线l的普通方程（以极点为原点，极轴为x轴的正半轴的正半轴建直角坐标系）；
（2） 若成等比数列，求的值。

二、矩阵与变换
已知实数a、b、c满足，且, 且方程轴的两交点为A、B,
(1) 求证：
(2) 求线段AB在矩阵

三．概率分布
从集合中，抽取三个不同元素构成子集
(1) 求对任意的
(2) 若成等差数列，设其公差为求随机变量的分布列与数学期望。

四．抛物线问题。
设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为kPA，kPB． （1）求抛物线的方程；
（2）若kPA+kPB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；
（3）若kPA·kPB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．

五．《空间立几》
A
M
B
C
O
D
E
如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，∥，，,分别为的中点．（1）求异面直线与所成角的大小．
（2）求直线和平面所成角的正弦值．

六．《数学归纳法，函数与导数》
某班级共派出个男生和个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队.入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有种选法.
（1）试求和；
（2）判断和的大小（），并用数学归纳法证明.

七《二项式定理》
已知，
（1）若，求的值；（3分）
（2）若，求中含项的系数；（3分）
（3）证明：．（4分）

八．《杂题》
1.已知性质：若是有理数，则是有理数。利用上述性质或其他方法证明：
⑴是无理数；⑵是无理数；⑶是无理数。

2．记集合，若满足①；②或者，则称。 ⑴若，求集合中有多少组满足？
⑵若，求集合中有多少组满足？

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