资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，点、、在上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3
C．y＝2(x+3)2 D．y＝2(x﹣3)2
3．已知是一元二次方程的一个解，则m的值是
A．1 B． C．2 D．
4．如图，四边形内接于，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠AOB＝100°，则∠C＝（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
6．已知二次函数的解析式为（、、为常数，），且，下列说法：①；②；③方程有两个不同根、，且；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
8．如图，直线a∥b∥c，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，BC＝5，DF＝12，则DE的值为（ ）
A． B．4 C． D．
9．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )
A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0
C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0
10．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路.永州市2016年底大约有贫困人口13万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，已知函数y=ax2+bx+c（a1）的图象的对称轴经过点（2，1），且与x轴的一个交点坐标为（4，1）．下列结论：①b2﹣4ac1； ②当x2时，y随x增大而增大； ③a﹣b+c1；④抛物线过原点；⑤当1x4时，y1．其中结论正确的是_____．（填序号）
12．如图所示，矩形的边在的边上，顶点，分别在边，上.已知，，，设，矩形的面积为，则关于的函数关系式为______.（不必写出定义域）
13．如图，利用我们现在已经学过的圆和锐角三角函数的知识可知，半径 r 和圆心角θ及其所对的弦长 l之间的关系为，从而，综合上述材料当时，______．
14．化简：-（sin60°﹣1）0﹣2cos30°=________________．
15．如图，矩形纸片中，，，将纸片沿折叠，使点落在边上的处，折痕分别交边、于点、，且.再将纸片沿折叠，使点落在线段上的处，折痕交边于点.连接，则的长是______.
16．在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则sinB的值为 ______________
17．观察下列运算：81=8，82=64，83=512，84=4096，85=32768，86=262144，…，则：81+82+83+84+…+82014的和的个位数字是 .
18．如图，，如果，那么_________________．
三、解答题(共66分)
19．（10分） (1)解方程：x（x+3）=–2；
(2)计算：sin45°+3cos60°–4tan45°．
20．（6分）如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽．
21．（6分）永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省会太原现存古建筑中最高的建筑. 位于太原市城区东南向山脚畔.数学活动小组的同学对其中一塔进行了测量.测量方 法如下：如图所示，间接测得该塔底部点到地面上一点的距离为，塔的顶端 为点，且，在点处竖直放一根标杆，其顶端为，在的延长 线上找一点，使三点在同一直线上，测得．
（1）方法 1，已知标杆，求该塔的高度；
（2）方法 2，测得，已知，求该塔的高度.
22．（8分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB=，tanA=，AC=，
（1）求∠B 的度数和 AB 的长．
（2）求 tan∠CDB 的值．
23．（8分）数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上.
(1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由.
(2)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长.
24．（8分）垃圾分类是必须要落实的国家政策，环卫部门要求垃圾要按可回收物，有害垃圾，餐厨垃圾，其它垃圾四类分别装袋，投放.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾（两袋垃圾不同类）.
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是类垃圾的概率；
（2）用树状图求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
25．（10分）如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；
⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．
26．（10分）解方程：．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据平行线的性质及圆周角定理即可求解.
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理及平行线的性质，熟练运用相关知识点是解决本题的关键.
2、C
【解析】按照“左加右减，上加下减”的规律，从而选出答案.
【详解】y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是y＝2（x＋3）2，故答案选C.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变换规律，解本题的要点在于熟知“左加右减，上加下减”的变化规律.
3、A
【解析】把x=1代入方程x2+mx﹣2=0得到关于m的一元一次方程，解之即可．
【详解】把x=1代入方程x2+mx﹣2=0得：1+m﹣2=0，解得：m=1．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，正确掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．
4、C
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠C＝180°×＝105°．
【详解】∵∠A＋∠C＝180°，∠A：∠C＝5：7，
∴∠C＝180°×＝105°．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形对角互补．
5、B
【分析】利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得圆周角的度数即可；
【详解】解：∵，
∴∠C＝∠AOB，
∵∠AOB＝100°，
∴∠C＝50°；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键.
6、B
【分析】根据a的符号分类讨论，分别画出对应的图象，根据二次函数的图象逐一分析，找出所有情况下都正确的结论即可．
【详解】解：当a＞0时，即抛物线的开口向上
∵
∴，
即当x=1时，y=
∴此时抛物线与x轴有两个交点，如图所示
∴，故①错误；
∵
∴，故此时②正确；
由图象可知：x1＜1，x2＞1
∴
∴，故此时③正确；
当c=0时，二次函数的图象与坐标轴有两个不同交点，故④错误；
当a＜0时，即抛物线的开口向下
∵
∴，
即当x=1时，y=
∴此时抛物线与x轴有两个交点，如图所示
∴，故①错误；
∵
∴，故此时②正确；
由图象可知：x1＜1，x2＞1
∴
∴，故此时③正确；
当c=0时，二次函数的图象与坐标轴有两个不同交点，故④错误；
综上所述：①错误；②正确；③正确；④错误，正确的有2个
故选B．
【点睛】
此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
7、D
【解析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．
【详解】∵点A（-4，2），B（-6，-4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标是：（-2，1）或（2，-1）．
故选D．
【点睛】
此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．
8、C
【分析】由，利用平行线分线段成比例可得DE与EF之比，再根据DF＝12，可得答案．
【详解】，
，
，
，
，
，
故选C.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，牢记平行线分线段成比例定理及推论是解题的关键．
9、C
【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x）=61，
化简整理得，x2﹣9x+8=1．
故选C．
10、B
【分析】根据等量关系：2016年贫困人口×(1-下降率=2018年贫困人口，把相关数值代入即可．
【详解】设这两年全省贫困人口的年平均下降率为，
根据题意得：，
故选：B．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、①④⑤
【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中的各个小题是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由函数图象可知，
抛物线与轴两个交点，则，故①正确，
当时，随的增大而减小，故②错误，
当时，，故③错误，
由函数的图象的对称轴经过点，且与轴的一个交点坐标为，则另一个交点为，故④正确，
当时，，故⑤正确，
故答案为：①④⑤．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
12、
【分析】易证得△ADG∽△ABC，那么它们的对应边和对应高的比相等，可据此求出AP的表达式，进而可求出PH即DE、GF的长，已知矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到y、x的函数关系式；
【详解】如图，作AH为BC边上的高，AH交DG于点P，
∵AC=6，AB=8，BC=10，
∴三角形ABC是直角三角形，
∴△ABC的高==4.8，
∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG
∴，
∴，
∴
∴PH=，
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出矩形的边长.
13、
【分析】如图所示，∠AOB=θ，OA=r，AB=l，∠AOC=∠BOC=，根据，设AB=l=2a，OA =r=3a，根据等量代换得出∠BOC=∠BAE=，求出BE，利用勾股定理求出AE，即可表达出，代入计算即可．
【详解】解：如图所示，∠AOB=θ，OA=r，AB=l，∠AOC=∠BOC=，
∵AO=BO，
∴OC⊥AB，
∴，
∴设AB=l=2a，OA =r=3a，
过点A作AE⊥OB于点E，
∵∠B+∠BOC=90°，∠B+∠BAE=90°，
∴∠BOC=∠BAE=，
∴，即，解得：，
由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，作出辅助线，求出AE的值．
14、-1
【分析】根据实数的性质即可化简求解．
【详解】-（sin60°﹣1）0﹣2cos30°=-1-2×=-1-=-1
故答案为：-1．
【点睛】
此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊三角函数值的求解．
15、
【分析】过点E作EG⊥BC于G，根据矩形的性质可得：EG=AB=8cm，∠A=90°，，然后根据折叠的性质可得：cm，，，，根据勾股定理和锐角三角函数即可求出cos∠，再根据同角的余角相等可得，再根据锐角三角函数即可求出，从而求出，最后根据勾股定理即可求出.
【详解】过点E作EG⊥BC于G
∵矩形纸片中，，，
∴EG=AB=8cm，∠A=90°，
根据折叠的性质cm，，，
∴BF=AB－AF=3cm
根据勾股定理可得：cm
∴cos∠
∵，
∴
∴
解得：cm
∴AE=10cm，
∴ED=AD－AE=2cm
∴
∴
根据勾股定理可得：
故答案为：.
【点睛】
此题考查的是矩形的性质、折叠的性质、勾股定理和锐角三角函数，掌握矩形的性质、折叠的性质、用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.
16、
【分析】延长BC至D，使BD=4个小正方形的边长，连接AD，先证出△ADB是等腰直角三角形，从而求出∠B=45°，即可求出sinB的值.
【详解】解：延长BC至D，使BD=4个小正方形的边长，连接AD
由图可知：AD=4个小正方形的边长，且∠ADB=90°
∴△ADB是等腰直角三角形
∴∠B=45°
∴sinB=
故答案为：.
【点睛】
此题考查的是求格点中角的正弦值，掌握等腰直角三角形的定义和45°的正弦值是解决此题的关键.
17、1．
【解析】试题分析：易得底数为8的幂的个位数字依次为8，2，1，6，以2个为周期，个位数字相加为0，呈周期性循环．那么让1012除以2看余数是几，得到相和的个位数字即可：
∵1012÷2=503…1，
∴循环了503次，还有两个个位数字为8，2．
∴81+81+83+82+…+81012的和的个位数字是503×0+8+2=11的个位数字.
∴81+81+83+82+…+81012的和的个位数字是1．
考点：探索规律题（数字的变化类——循环问题）.
18、
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可.
【详解】解：∵，∴，即，解得：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，属于基本题型，熟练掌握该定理是解题关键.
三、解答题(共66分)
19、 (1) x1=﹣2，x2=﹣1；(2)-1.1.
【分析】（1）根据因式分解法，可得答案；
（2）根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】（1）方程整理，得x2+3x+2=0，
因式分解，得
（x+2）（x+1）=0，
于是，得
x+2=0，x+1=0，
解得x1=﹣2，x2=﹣1；
（2）原式=
=1+1.1﹣4
=﹣1.1．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程以及含有特殊三角函数值的计算，掌握因式分解和特殊角三角函数值是解题关键．
20、小路的宽为2m．
【解析】如果设小路的宽度为xm，那么整个草坪的长为（2﹣2x）m，宽为（9﹣x）m，根据题意即可得出方程．
【详解】设小路的宽度为xm，那么整个草坪的长为（2﹣2x）m，宽为（9﹣x）m．根据题意得：
（2﹣2x）（9﹣x）=222
解得：x2=2，x2=2．
∵2＞9，∴x=2不符合题意，舍去，∴x=2．
答：小路的宽为2m．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，弄清“整个草坪的长和宽”是解决本题的关键．
21、（1）55m；（2）54.5m
【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出答案；（2）根据锐角三角函数的定义列出，然后代入求值即可.
【详解】解：
则
即
解得：
答：该塔的高度为 55 m.
在中
答：该塔的高度为
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质及解直角三角形的应用，熟练掌握相似三角形对应边的比相等和角的正切值的求法是本题的解题关键.
22、（1）∠B的度数为45°，AB的值为3；（1）tan∠CDB的值为1．
【分析】（1）作CE⊥AB于E，设CE=x，利用∠A的正切可得到AE=1x，则根据勾股定理得到AC=x，所以x=，解得x=1，于是得到CE=1，AE=1，接着利用sinB=得到∠B=45°，则BE=CE=1，最后计算AE+BE得到AB的长；
（1）利用CD为中线得到BD=AB=1.5，则DE=BD-BE=0.5，然后根据正切的定义求解．
【详解】（1）作 CE⊥AB 于 E，设 CE＝x，
在Rt△ACE中，∵tanA＝＝，
∴AE＝1x，
∴AC＝＝x，
∴x＝，解得x＝1，
∴CE＝1，AE＝1，
在Rt△BCE中，∵sinB＝，
∴∠B＝45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝1，
∴AB＝AE+BE＝3，
答：∠B的度数为45°，AB的值为3；
（1）∵CD为中线，
∴BD＝AB＝1.5，
∴DE＝BD﹣BE＝1.5﹣1＝0.5，
∴tan∠CDE=＝＝1，即tan∠CDB的值为1．
【点睛】
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决此类题目的关键是熟练应用勾股定理和锐角三角函数的定义．
23、（1）详见解析；（2）3.
【解析】（1）根据正方形的性质，得△ADG≌△ABE，所以∠AGD＝∠AEB. 延长EB交DG于点H.由图形及题意，得到∠DHE ＝90°，所以，.（2）根据正方形的性质等，先证明△ADG≌△ABE(SAS) ，得到DG＝BE. 过点A作AM⊥DG交DG于点M.由题意，得AM＝BD＝1，再由勾股定理，得到GM＝2，所以DG＝DM＋GM＝1＋2＝3，最后得到BE＝DG＝3.
【详解】(1)四边形ABCD与四边形AEFG是正方形
∴AD＝AB,∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE
∴△ADG≌△ABE
∴∠AGD＝∠AEB
如图1，延长EB交DG于点H
△ADG中 ∠AGD＋∠ADG＝90°
∴∠AEB＋∠ADG＝90°
△DEH中, ∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°
∴∠DHE ＝90°
∴
(2)四边形ABCD与四边形AEFG是正方形
∴AD＝AB, ∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE
∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG
∴∠DAG＝∠BAE
AD＝AB, ∠DAG＝∠BAE,AG＝AE
∴△ADG≌△ABE(SAS)
∴DG＝BE
如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M,
∠AMD＝∠AMG＝90°
BD是正方形ABCD的对角线
∴∠MDA＝∠MDA＝∠MAB＝45°, BD＝2
∴AM＝BD＝1
在Rt△AMG中，
∵
∴GM＝2
∵DG＝DM＋GM＝1＋2＝3
∴BE＝DG＝3
【点睛】
本题考查了三角形全等判定定理及勾股定理在图形证明中的综合运用，熟练掌握三角形全等判定定理及勾股定理在图形证明中的综合运用.
24、 (1) ； (2)乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是.
【分析】（1）甲投放的垃圾可能出现的情况为4种，以此得出甲投放的垃圾恰好是类垃圾的概率；
（2）根据题意作出树状图，依据树状图找出所有符合的情况，求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
【详解】(1) 甲投放的垃圾共有A、B、C、D四种可能，所以甲投放的垃圾恰好是类垃圾的概率为；
(2)
∴ 乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是.
【点睛】
本题考查了概率事件以及树状图，掌握概率的公式以及树状图的作法是解题的关键.
25、（1）抛物线的解析式为y=x1-x-1
顶点D的坐标为 (, -).
（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；
（3）.
【解析】（1）把点A坐标代入抛物线即可得解析式，从而求得顶点坐标；
（1）分别计算出三条边的长度，符合勾股定理可知其是直角三角形；
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，1），OC′=1，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小．
【详解】解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x1 +bx-1上
∴× (-1 )1 +b× (-1) –1 = 0
解得b =
∴抛物线的解析式为y=x1-x-1.
y=x1-x-1 =(x1 -3x- 4 ) =(x-)1-,
∴顶点D的坐标为 (, -).
（1）当x = 0时y = -1,
∴C（0，-1），OC = 1．
当y = 0时，x1-x-1 = 0， ∴x1 = -1, x1 = 4
∴B (4,0)
∴OA =1, OB = 4, AB = 5.
∵AB1 = 15, AC1 =OA1 +OC1 = 5, BC1 =OC1 +OB1 = 10,
∴AC1 +BC1 =AB1.
∴△ABC是直角三角形.
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，1），OC′=1，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC +MD的值最小．
解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.
∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
∴
∴，∴m=．
解法二：设直线C′D的解析式为y =kx +n ,
则，解得n = 1，.
∴.
∴当y = 0时，，
∴.
26、，
【分析】通过观察方程形式，利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单．
【详解】解：原方程变形为
∴，．
【点睛】
此题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则．
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