数学学科杨小辉.doc

南通市第二中学助学案
高中数学 必修④ 编写： 杨小辉 审核：
2.4向量的数量积（1）
【学习目标】
1． 知道向量数量积的物理学原型；
2． 理解平面向量数量积的概念；找到平面向量数量积运算与前面所学的向量的三种线性运算的区别；
2．了解平面向量数量积的性质及其简单应用.

【自主梳理】
请阅读课本P83、84的内容，并思考下列问题：
1． 为什么要学向量的数量积运算？
2． 你对数量积三个字是如何理解的？它与与前面所学的向量的三种线性运算的结果有什么区别？
3． （1）由向量夹角的定义，作出下图中向量，的夹角，
体会作图的关键点： .

总结：两个非零向量，夹角的范围为 .
当时，则与
当时，则与
当时，则与 记作：

（2）在等边三角形ABC中，求下列向量的的夹角:

4．平面向量的数量积
已知两个非零向量和，它们的夹角为θ，则数量____________________叫做和的数量积(或内积)，记作__________________________．（数量积的记号“”中间的点乘符号不可少）
规定：零向量与任一向量的数量积为______．符号表达为_________________________
你是怎样理解规定这句话的？
说明：1) 两个向量和的数量积的结果是 ；
2) 当，同向时，则= ．
当，反向时， 则=
当时，则= ．
特别地，= = ； __ _（求模公式）．

思考：已知为两个非零向量，下列说法正确吗？
（1）当时，则=0，反之也成立。
（2）当，则两向量的夹角，反之也成立。
（3）当，则两向量的夹角，反之也成立。
（4），则
3．数量积的运算律：设向量，，和实数，则
（1）
（2）
（3）
关注运算律的符号书写。
由此可得： ；
；
= ．
思考：（1）成立吗？
（2）由能得到吗？

4．运用体会

例1 已知向量与向量的夹角为，，分别在下列条件下求．
（1）=135°； （2）； （3）

【自主训练】
1.已知向量、，实数λ，则下列各式中计算结果为向量的有 .
① ＋ ②－ ③λ ④· ⑤· ⑥(·)· ⑦·

2. 课本84业练习2

3. 在中，=, =，当·>0，则是 三角形；
当·=0，则是 三角形.

4. 在中，已知||=||=4，且·=8，则这个三角形的形状为_________.

5 判断下列各题正确与否，并说明理由.
（1）若，则对任意向量，有·； ______________________________.
（2）若，则对任意向量，有·0； ______________________________.
（3）若，·0，则； ______________________________.
（4）若·0，则，中至少有一个为零向量； ____________________________.
（5）若，··，则； ______________________________.
（6）对任意向量，有； ______________________________.
（7）对任意向量，，，有（·）··（·）；___________________.
（8）非零向量，，若|+|=|－|，则。________________________.

【学有所得】

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