直线与圆MicrosoftWord文档.doc

直线与圆直线：一、 基础知识：1、斜率倾斜角：2直线的位置关系：平行、相交，：3、距离：；二、典型题型：例1、斜率倾斜角问题：设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是_变：已知过原点且与线段AB（AC）有交点的直线的斜率倾斜角的范围巩固练习：1、 直线y=xcos+1(R)的倾斜角的取值范围是_2、 直线的倾斜角的取值范围是_例2、求直线方程：1、（注意解题中的漏洞）（1）过P（1,2）点的直线与原点的距离为1的直线方程；（2）过P（1,2）点且在坐标轴上的截距相等的直线方程；2、（设而不求、先设后求）（1）经过原点O的直线与直线分别相交于A,B，且O为线段AB的中点，求直线的方程（2）已知直线都经过P(2，3)点，且,求经过AB点的直线方程巩固练习：1、（2012江苏高考）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程： 。来源:Zxxk.Com【解析】本小题考查直线方程的求法。画草图，由对称性可猜想。事实上，由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程。答案:.3、 将直线绕其与的交点旋转所得的直线方程。例3、位置关系问题：1、 利用位置关系求参数：已直线与直线垂直，则的值为_直线与直线平行，则_2、 利用关系求方程已知正方形的一条边所在的直线方程为，其中心的坐标为，求其余三边所在的直线方程。巩固练习：例4、对称问题1、 求对称已知直线，求（1） 直线关于点(3，2)对称的直线方程；（2）直线关于直线对称的直线方程。2、对称的运用：1、（光路）自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所在的直线与圆相切（1）求光线和反射光线所在的直线方程（2）光线自到切点所经过的路程2、（最值）1、已知A(8, 6), B(2, 2)，在直线3xy+2=0上有点P，可使|PA|+|PB|最小，则点P坐标为变：已知点A(1, 3), B(5, 2)，在x轴上取点P，使|PA|PB|最大，则点P坐标为 .变：函数y=的最小值为 巩固练习：1、如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是_答案2解析点P关于直线AB的对称点是(4,2)，关于直线OB的对称点是(2,0)，从而所求路程为2.2、三条直线构成一个三角形，则的范围是_3、已知圆,M,N分别为上的动点，P为轴上的动点，则的最小值为_例5、定点定值已知直线（1）当直线在坐标坐标轴上的截距相等时，求的值（2）当直线不过第一象限时，求的取值范围巩固练习：已知直线和直线与两坐标轴围成四边形，则使得四边形面积最小的的值为_圆：一、 基础知识：1、圆的定义、方程三种圆、三种方程2、位置关系：点、直线、圆3、定点定值、最值范围二、典型例题：（一）定义：三种圆例1、已知直线，且对于上任意一点，恒为锐角，则实数的范围为_例2、（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）本小题满分14分.如图,在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为,圆心在上.来源:数理化网(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;来源:(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.xyAlO【答案】解:(1)由得圆心C为(3,2),圆的半径为 圆的方程为: 显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为,即 或者 所求圆C的切线方程为:或者即或者 (2)解:圆的圆心在在直线上,所以,设圆心C为(a,2a-4) 则圆的方程为: 又设M为(x,y)则整理得:设为圆D 点M应该既在圆C上又在圆D上 即:圆C和圆D有交点 来源: 由得 由得 来源:终上所述,的取值范围为: 巩固练习：1、若，则的最大值 2、已知圆，点，直线.求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.解：设所求直线方程为，即，直线与圆相切，得，所求直线方程为 -5分方法1：假设存在这样的点，当为圆与轴左交点时，；当为圆与轴右交点时，依题意，解得，（舍去），或。 -8分下面证明 点对于圆上任一点，都有为一常数。设，则， ，从而为常数。 -15分方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，将代入得，即对恒成立， -8分，解得或（舍去），所以存在点对于圆上任一点，都有为常数。 -15分（二）圆的方程：基础知识：标准方程、一般方程、参数方程、圆系方程典型例题：例1、待定系数法法求圆的方程（已知点、弦、切线、弧、圆心角、两圆相切等如何翻译成方程）已知圆满足下列条件截y轴所得的弦长为2，被x轴分成两段弧的弧长的比为3：1，圆心到直线的距离为，求这个圆的方程变题：1、求与x轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为的圆的方程。2、 圆经过两点，且在坐标轴上的四个截距之和为2，求圆的方程3、求经过三点的圆的方程。（能覆盖三角形OAB的面积最小圆的方程）例2、几何法求圆的方程求经过点，且和圆相切于点的圆的方程变：经过两点，圆心在直线上的圆的方程例3、运用圆系求圆的方程求经过直线：24与圆：241的交点且面积最小的圆的方程变：求经过圆与圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程例4、利用轨求方程已知P为圆上的任意一点O为坐标原点，且，求Q点的轨迹方程巩固练习：1、 过点可以向圆引两条切线，则的范围为_2、直线截圆得的劣弧所对的圆心角为 3、已知P向圆引的切线的夹角为，求P点的轨迹方程4、已知圆与直线相交于、两点，为原点，且，求实数的值分析：设、两点的坐标为、，则由，可得，再利用一元二次方程根与系数的关系求解或因为通过原点的直线的斜率为，由直线与圆的方程构造以为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出的值，从而使问题得以解决解法一：设点、的坐标为、一方面，由，得，即，也即：另一方面，、是方程组的实数解，即、是方程的两个根，又、在直线上，将代入，得将、代入，解得，代入方程，检验成立，解法二：由直线方程可得，代入圆的方程，有，整理，得由于，故可得，是上述方程两根故得，解得经检验可知为所求（三）位置关系：基础知识：1、 点与圆、2、直线与圆：三种关系、弦长公式、切线长公式3、圆与圆五种关系典型例题：例1、 点与圆：1、直线与圆恒有公共点，则的范围为_2、已知圆O的半径为1，PA,PB为该圆的两条切线，则的最小值为_3、（本小题满分12分）已知圆M：2x2+2y28x8y10和直线l：x+y90过直线 上一点A作ABC，使BAC=45，AB过圆心M，且B，C在圆M上。当A的横坐标为4时，求直线AC的方程；求点A的横坐标的取值范围。巩固练习：1、已知,直线存在点P使得为钝角，则的范围为_2、已知圆，过x轴上的点存在一直线与圆M相交于A,B，且满足PA=AB，则点P的横坐标的范围为_变：已知过总存在直线与圆依次相交于A,B两点，使得对于平面中的任意一点Q,满足，则的取值范围为_例2、 直线与圆：1、（切线问题）已知圆，过点向圆作切线，切点为A,B，（1）求直线PA,PB的方程（2）求过P点切线的长（3）求直线AB的方程，AB的长2、（利用位置关系求值求范围问题）直线经过点，其斜率为k，直线与圆相交于A，B，（1） 若，求的值（2） 若，求的范围（3） 若，求k的值巩固练习：1、【2012高考江苏12】（5分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 【答案】。2、若圆上有且仅有两个点到直线4x3y2=0的距离为1，则半径r的取值范围是（ ）A.（，6）.，）.（， .，答案 A3、若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是：A B C D 解：圆整理为，圆心坐标为(2，2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于， ， ， ， ，直线的倾斜角的取值范围是，选B.4、在平面直角坐标系中，圆C的方程为若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是 【答案】5、若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是_例3、圆与圆：典型例题：例1、（已知圆判断关系）已知圆与圆相交于A,B（1）求直线AB的方程（2）求（3）判断公切线的条数例2、（圆系的运用）已知圆与直线相交于、两点，为原点，且，求实数的值例3、（利用位置关系求参数的范围）（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）本小题满分14分.如图,在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为,圆心在上.来源:数理化网(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;来源:(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.xyAlO巩固练习：1、(09四川)若圆与圆相交于A,B，且两圆在A点处的的切线互相垂直，则AB的长度为_2、（四）最值范围问题：典型例题：例1、圆为约束条件的问题已知为圆上任意一点，则的最大值_，的最大值_，的最大值_，到直线的最大距离_的范围_变：已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数的取值范围变：已知，点在圆上运动，则的最小值是 例2、设P为直线上的点，过点P作圆的切线PA,PB（1）求PA的最小值；（2）求四边形PAOB面积的最小值。变：（2009临沂一模）已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k0)上一动点，PA、PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为_例3、已知圆C：， 过点做两条互相垂直的直线，交圆C与E、F两点，交圆C与G、H两点，CAEFGHxyOMN（1）EF+GH的最大值(2) 求四边形EGFH面积的最大值【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用将EF+GH转化，难点是转化后要利用基本不等式的相关知识点解：（1）令圆心C到弦EF的距离为，到弦GH的距离为，则EF+GH，又，由：（当且仅当取等号）故EF+GH（2），（当且仅当取等号）巩固练习：1、 过点向圆作切线，则的最小值为_2、 已知圆与分别交于，为圆在第一象限的弧上的点，则四边形面积的最大值为_3、 过点的直线与圆相交于两点，则三角形面积的最大值为_4、 若，且，则的最小值为_-5、 在平面直角坐标系中，已知圆，点在圆上，且，则的范围为_（五）、定点定值问题：典型例题：例1、定点问题： 已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为（1）若，试求点的坐标；（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；（3）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.解：（1）设，由题可知，所以，解之得：故所求点的坐标为或4分（2）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以，6分解得，或，故所求直线的方程为：或8分（3）设，的中点，因为是圆的切线所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，故其方程为：10分化简得：，此式是关于的恒等式，故解得或变：已知圆，点，直线.求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.解：设所求直线方程为，即，直线与圆相切，得，所求直线方程为 -5分方法1：假设存在这样的点，当为圆与轴左交点时，；当为圆与轴右交点时，依题意，解得，（舍去），或。 -8分下面证明 点对于圆上任一点，都有为一常数。设，则， ，从而为常数。 -15分方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，将代入得，即对恒成立， -8分，解得或（舍去），所以存在点对于圆上任一点，都有为常数。 -15分变2：已知圆O的方程为且与圆O相切。（1） 求直线的方程；（2） 设圆O与x轴交与P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为，直线PM交直线于点，直线QM交直线于点。求证：以为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标。解析：（1）直线过点，且与圆：相切，设直线的方程为，即，2分则圆心到直线的距离为，解得，直线的方程为，即 4分（2）对于圆方程,令，得,即又直线过点且与轴垂直，直线方程为，设，则直线方程为解方程组,得同理可得, 10分以为直径的圆的方程为， 又，整理得， 12分若圆经过定点，只需令，从而有，解得，圆总经过定点坐标为 14分例2、定值问题：已知过点A（0，1），且方向向量为，相交于M、N两点.（1）求实数的取值范围；（2）求证：；（3）若O为坐标原点，且.解 （1）由.变：已知过点,且与:关于直线对称.()求的方程；()设为上的一个动点,求的最小值；()过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由. 解:()设圆心,则,解得(3分)则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为(5分)()设,则,且=,(7分)所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)(10分)()由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设, 由,得 (11分) 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 同理,所以= 所以,直线和一定平行(15分)（六）运用题：典型例题：1、有一种大型商品， 、 两地都有出售，且价格相同某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离 地的运费是 地的运费的3倍已知 、 两地距离为10公里，顾客选择 地或 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低求 、 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点2、