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数学试题
时量：120分钟 满分：100分
命题：宁乡一中 吴敏
一．单一选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分 。
1. “成等差数列”是“”成立的 （ ）
A．充分非必要条件； B.必要非充分条件；
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
2. 为得到函数y=cos(x+)的图象，只需将函数y＝sinx的图象 （ ）
A.向左平移个长度单位　　 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位　　D.向右平移个长度单位
3. 若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是 （ ）
A．（0，1） B． C． D．
4. 已知函数，则不等式组表示的平面区域为 （ ）

5. 记点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是 （ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.直线
6.设正实数满足.则当取得最大值时， 的最大值为 ( )
A．0 B．1 C． D．3

二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
7. 有一段长为10米的木棒,现要截成两段,每段不小于3米的概率是 .
8. 已知向量与的夹角1200，且||=3，||=2，若，且，则实数的值为__ __.
9. 设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为_______ _。
10. 关于函数，有下列命题中正确命题的序号个数是 .
①此函数可以化为
②函数的最小正周期是，其图像的一个对称中心是；
③函数的最小值是其图像的一条对称轴是
④函数的图象按向量平移后所得的函数是偶函数；
⑤函数在区间上是减函数.
11. 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .
12. 如图2, , 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动, 且,
（1）的取值范围是__________；
（2）当时, 的取值范围是_____ _____．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（共6个小题，52分）
13. （本小题满分7分）
如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P点位置，且PC=PB.
（Ⅰ）求证：PO⊥面ABCE；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

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14. （本小题满分7分）
某工厂生产某产品，按《行业生产标准》共分成8个等级，等级系数依次为1、2、3、4、5、6、7、8，产品的等级系数越大，表明产品的质量越好，从该厂生产的产品中随机抽取20件，其相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 4 8 5 5 6 3 4 6 3 5 7 5 2 8 4 6 7
（1）求上面数据的平均数和众数；
（2）行业规定：产品的等级系数为一等品，等级系数为二等品，等级系数为次品，请根据以上数据估计该厂生产的产品的一等品率和二等品率。
（3）已知该厂生产一件产品的利润（单位：元）与产品的等级系数的关系式为，从该厂生产的产品中任意抽两件，记两件产品的利润和为，用这个样本的频率分布估计总体的频率分布，将频率视为概率，求的分布列和数学期望。

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15. （本小题满分9分）
如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。
现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，。
（1）求索道的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

16. （本小题满分9分）
为综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了 “机动车摇号上牌”的新规。某大城市2012年初机动车的保有量为300万辆，预计此后每年将报废上一年末机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用，同时每年投放相同数量的机动车牌号，只有摇号获得指标的机动车才能上牌。经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌。按该城市交通建设规划，要求该城市从2012年初开始的20年内,机动车的保有量不超过600万辆，那么每年新增摇号上牌的机动车数量不应超过多少万辆？(计算结果精确到0.1万辆，参考数据:)

17. （本小题满分10分）
(1)若,求证:;
(2)设,若,判断在上的单调性;
(3)求证:.

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18. （本小题满分10分）
已知椭圆 .与有相同的离心率,过点的直线与,依次交于A,C,D,B四点(如图).当直线过的上顶点时, 直线的倾斜角为.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 求证:;
(3) 若,求直线的方程.

数学试题答案
1---6 A CCCDB
7. 0.4 8. 9. 10. 4 11.10 12. (1), (2)
13. （本小题满分7分）
解：（I），取BC的中点F，连OF，PF，∴OF∥AB，∴OF⊥BC
因为PB=PC ∴BC⊥PF，所以BC⊥面POF ，从而BC⊥PO
又BC与PO相交，可得PO⊥面ABCE …………………………………… 3分
（Ⅱ）作OG∥BC交AB于G，∴OG⊥OF如图，建立直角坐标系，
A（1，-1，0），B（1，3，0），C（-1，3，0），P（0，0，），

设平面PAB的法向量为，
，
同理平面PAE的法向量为，
二面角E-AP-B的余弦值为………………7分
14. （本小题满分7分）
解：（1）平均数是，众数是5； -------------------1分
（2）∵根据所给数据，所抽20件产品中，一等品4件、二等品15件、次品1件，
∴估计该厂生产的产品中一等品率为、二等品率为。 ---------------4分
（3）可能的取值为， 2，5， 6，9，12. （元）

记“取到次品、二等品、一等品”分别为事件A、B、C.则； ；； ；； ；

∴分布列为

2
5
6
9
12

∴ 。 ------------------8分
15. （本小题满分9分）
解：（1）在中，，，，
，
由正弦定理
索道的长为1040m. ……………………3分
（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d,此时，甲行走了（100+50t）m.乙距离A处130tm.所以由余弦定理得
故当时，甲、乙两游客距离最短。 ………………6分
（3）由正弦定理，
乙从B出发时，甲已走了还需走710m才能到达C。
设乙步行的速度为， 由题意得
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，
乙步行的速度应控制在 范围内。 ……………………9分
16. （本小题满分9分）
解法一：设2012年年初机动车保有量为万辆，以后各年年初机动车保有量依次为万辆，万辆，…，每年新增机动车万辆，则， …………………2分
又 ，且
当时，
当时，令，则数列是以为首项，0.95为公比的等比数列，，即 ………………………5分
若要使，则得
，又是关于单调递减的，
当时，
 综上，每年机动车新增数量不超过39.2万辆。 …………………………………9分
解法二:设2012年年初机动车保有量为万辆，以后各年年初机动车保有量依次为万辆，万辆，…，每年新增机动车万辆，则， ①……………2分
所以，当时， ②
两式相减得：
（1）显然，若，则，即
此时
（2）若，则数列为以为首项，以0.95为公比的等比数列，所以 …………………………………4分
①若，则对于任意正整数，均有，所以
此时，
②当时，，则对任意正整数，均有，所以
，由
得
…………………………………6分
要使对任意正整数恒成立，均有恒成立，即
对于任意正整数恒成立，解这个关于的一元一次不等式，得
又是关于单调递减的，当时，
 综上，每年机动车新增数量不超过39.2万辆。 ………………………………9分
17. （本小题满分10分）
(1)证明;设,则在上是增函数,
又则上连续, , ……………………2分
(2)解: ,
在上是增函数. …………………………………4分
（3）由(2)可知, 在上是增函数, ,
即 ,
令,可得, ………7分
令,可得:,
以上个不等式相乘可得:,
又,……………10分
18. （本小题满分10分）
解:(1),因此椭圆的方程为.……………………………2分
(2)当直线垂直轴时,易求得，因此,
当直线不垂直轴时,设
由 ①,
由 ②,
设,则是方程①的解, 是方程②的解.
,线段AB,CD的中点重合, ……………………………6分
(3).由(2)知,,当直线垂直轴时,不合要求;
当直线不垂直轴时,设,由(2)知,
,,

,化简可得:
, ……………………………10分

（本试卷共8页）第13页