《2.3-双曲线-2.3.1-双曲线的标准方程》导学案.doc

《2.3.1 双曲线的标准方程》 导学案
教学过程
一、 问题情境
问题1　前面学习椭圆时研究了椭圆的哪些问题？
解　椭圆的标准方程及椭圆的标准方程的求法，并利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质.
问题2　下面我们来学习双曲线，应该先研究什么问题呢？
解　先研究双曲线的标准方程，如何求双曲线的标准方程呢？如何建立直角坐标系？
二、 数学建构
1.标准方程的推导
设双曲线的焦距为2c，双曲线上任意一点到焦点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(c>a>0).
类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系.
以直线F1F2为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系，则F1(-c，0)，F2(c，0).设P(x，y)为双曲线上任意一点，由双曲线定义知|PF1-PF2|=2a，
即|-|=2a.[1]
在化简到(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)时，结合双曲线定义中2a<2c，可知c2-a2是正数，与椭圆的标准方程的化简中令b2=a2-c2对比，可以令b2=c2-a2 ，使化简后的标准方程简洁美观，最后得到焦点在x轴上的双曲线标准方程是-=1(其中a>0，b>0，c2=a2+b2).
若焦点在y轴上，则焦点是F1(0，-c)，F2(0，c)，由双曲线定义得|-|=2a，
与焦点在x轴上的双曲线方程|-|=2a比较，它们的结构有什么异同点？
解　结构相同，只是字母x，y交换了位置.
故求焦点在y轴上的双曲线方程时，只需把焦点在x轴上的双曲线标准方中x，y互换即可，易得-=1(其中a>0，b>0，c2=a2+b2).
2.双曲线标准方程的特点
(1)双曲线的标准方程分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种:
当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)；
当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0).
(2)a，b，c有关系式c2=a2+b2成立，且a>0，b>0，c>0，其中a与b的大小关系可以为a=b，a<b，a>b.
3.根据双曲线的标准方程判断焦点的位置
从椭圆的标准方程不难看出，椭圆的焦点位置可由方程中含字母x2，y2项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴，而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上.
三、 数学运用
【例1】　讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．
分析：由于，，则的取值范围为，，，分别进行讨论．
解：（1）当时，，，所给方程表示椭圆，此时，，，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．
（2）当时，，，所给方程表示双曲线，此时，，，，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．
（3）k>25，，时，所给方程没有轨迹．
【例2】根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点，且焦点在坐标轴上．
（2），经过点（－5，2），焦点在轴上．（3）与双曲线有相同焦点，且经过点
解：（1）设双曲线方程为，∵ 、两点在双曲线上，∴解得
∴所求双曲线方程为
（2）∵焦点在轴上，，∴设所求双曲线方程为：（其中）
∵双曲线经过点（－5，2），∴，∴或（舍去），∴所求双曲线方程是
（3）设所求双曲线方程为：，∵双曲线过点，∴
∴或（舍），∴所求双曲线方程为
*【例3】　已知A，B两地相距800 m，一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s，设声速为340 m/s.
(1) 爆炸点应在什么样的曲线上？
(2) 求曲线的方程.[5]
[处理建议]　引导学生联想双曲线的定义，并建立合适的直角坐标系.

(例3)
[规范板书]　解　(1) 由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A，B为焦点的双曲线上.
因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上.
(2)如图，建立直角坐标系xOy，使A，B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合.设爆炸点P的坐标为(x，y)，
则PA-PB=340×2=680，即2a=680，a=340.
又AB=800，
所以2c=800，c=400，b2=c2-a2=44 400.
因为PA-PB=680>0，所以x>0.
故所求曲线的方程为-=1(x>0).
[题后反思]　解此类实际问题的关键是“能根据条件联想、构造出合适的数学模型”，这种构造转化是以熟练掌握基础知识为前提的.对圆锥曲线而言，必须熟悉其相关定义.定义既是建构数学知识的基石，也是解答数学问题的重要工具.因此，在研究某些几何或实际问题时，若能活用双曲线的定义，则不仅可深化学生对双曲线概念的理解，还能提高其分析问题、解决问题的能力.本例亦可扩展为“确定爆炸点的位置”，
四、 课堂练习
1.已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，求．
解：∵点在双曲线的左支上，∴，∴，∴
∵，∴
说明：“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键，若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢？
2.已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积．
解：∵为双曲线上的一个点且、为焦点．∴,
∵，∴在中，
∵，∴，∴
∴
五、 课堂小结
1. 双曲线的标准方程和标准方程的求法(定义法、待定系数法).
2. 在解决双曲线的有关问题时可与椭圆中的相应问题进行类比来解决.