陕西省五校高三数学第三次联考试题-理.doc

长长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学
高2012届第三次模拟考试
数学（理）试题

注意事项：
（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．
（2）答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．
（3）选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
（4）非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．
（5）考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．
第一卷（选择题 共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。
　1．命题“存在”的否定是 （ ）
A．存在 B．不存在
C． 对任意 D．对任意
2．已知与之间的几组数据如下表:
X
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则与的线性回归方程必过 （ ）
A． B． C． D．
3． 已知．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）
　　Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　Ｄ．
4．在数列中，（为虚数单位），，则的值为 （ ）
A．-2 B．0 C．2 D． 2i
5．函数，则此函数图像在点处的切线的倾斜角为　（　　）
Ａ．０　　　　　　Ｂ．锐角　　　　　　Ｃ．直角　　　　　Ｄ．钝角
6．已知集合，集合
集合A与B的关系是 （ ）
A． B． C． D．
7．若变量满足约束条件，，则取最小值时， 二项展开式中的常数项为 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 若存在，则实数的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
9．在中, 已知向量, ,
则的面积为 ( )
A． B． C． D．
10． 已知点、，是直线上任意一点，以A、B为焦点的椭圆过点P．记椭圆离心率关于的函数为，那么下列结论正确的是 （ ）
A．与一一对应 B．函数无最小值，有最大值
　　　C．函数是增函数 D．函数有最小值，无最大值
二、填空题 (共5小题, 每题5分,计25分.将正确的答案填在题后的横线上)
11．观察下列式子：，， ，由此可归纳出的一般结论是 ．
12．阅读右面的程序，当分别输入时，
输出的值　　　　．
13．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）
的作用而处于平衡状态．已知成角，且大小
为2和4，则的大小为 ．
14．如图，一个三棱锥的三视图的轮廓都是边长为1的正
方形，则此三棱锥外接球的表面积 ．
　15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题评分）
A．对于实数，若，，则的最大值 ．
　B．圆（为参数）的极坐标方程为　　　　　　　．
Ｃ．如图，切圆于点，割线经过圆心，，则 .
三、解答题 (共6小题，计75分。需写清详细解答步骤或证明过程)
16．(本小题12分)已知四个正实数前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一个与第三个的和为8，第二个与第四个的积为36.
(Ⅰ) 求此四数；
（Ⅱ）若前三数为等差数列的前三项，后三数为等比数列的前三项，令，求数列的前项和．
17．(本小题12分)如图，已知的半径是１，点Ｃ在直径AB的延长线上, , 点P是上半圆上的动点, 以为边作等边三角形，且点D与圆心分别在的两侧．
　(Ⅰ) 若，试将四边形的面积表示成的函数；
(Ⅱ) 求四边形的面积的最大值．
18．(本小题12分) “剪刀、石头、布”游戏的规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”， “剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，如果所出的拳相同，则为和局．现甲乙二人通过“剪刀、石头、布”游戏进行比赛．
(Ⅰ) 设甲乙二人每局都随机出“剪刀”、“石头”、“布”中的某一个，求甲胜乙的概率；
（Ⅱ）据专家分析，乙有以下的出拳习惯：① 第一局不出“剪刀”；② 连续两局的出拳方法一定不一样，即如果本局出“剪刀”，则下局将不再出“剪刀”，而是选“石头”、“布”中的某一个．假设专家的分析是正确的，甲根据专家的分析出拳，保证每一局都不输给乙．在最多５局的比赛中，谁胜的局数多，谁获胜．游戏结束的条件是：一方胜３局或赛满５局，用Ｘ表示游戏结束时的游戏局数，求Ｘ的分布列和期望．
19．(本小题12分)如图，在四棱锥中，底面为
平行四边形，底面，，，
，，E在棱上，
(Ⅰ) 当时，求证： 平面；
(Ⅱ) 当二面角的大小为时，
求直线与平面所成角的正弦值．
20． (本小题13分)设动点
到定点的距离比到轴的距离大．记点的轨迹为曲线C．
　（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）设圆M过，且圆心M在P的轨迹上，是圆Ｍ 在轴的截得的弦，当Ｍ 运动时弦长是否为定值？说明理由；
（Ⅲ）过作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S，求四边形面的最小值．
21．(本小题14分)已知，函数（其中为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）设数列的通项，是前项和，证明：．

长长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学
高2012届第三次模拟考试
数学（理）答案
一、选择题：DCAADBADAB
二、填空题
11. 12. 13. 14.
15. A 、6 B、 C、
三、解答题
16．解：(1)设此四数为
由题意知, 所求四数为2,4,6,9
(2) 利用错位相减求和得
17．解：　(1)在中，由余弦定理，得

=

=．
(2)当,即时,．
答：　四边形面积的最大值为
18．解：(1) 甲胜乙的概率为P=
(2) 第一局乙不出“剪刀”，则只能出“石头”或“布”，此时甲应该出“布”，才能保证不输给乙，甲胜的概率为；不妨设乙第一局出的“石头”，则乙第二局只能出“剪刀”或“布”，此时甲应出“剪刀”,，才能保证不输给乙，则甲胜的概率为；同理第三、四、五局甲胜的概率也为．
　　　　Ｘ的可能取值为3,4,5

Ｘ的分布列为　略
期望
19．解：在中,,
又,以A为坐标原点，所在直线为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则 , ,

(1)

(2) ,底面，

为二面角的平面角,即=,此时Ｅ为的中点

　　　　设平面的法向量为　计算可得

　　　　即直线与平面所成角的正弦值为．
　　20．解：(1) 由题意知，所求动点为以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为；
(2) 设圆心，半径
圆的方程为
令得
即弦长为定值；
　　　　(3)设过F的直线方程为 ,
由得
由韦达定理得
同理得
四边形的面积.
21．解：(1)
若时, 函数在区间是减函数 ;
时 函数在区间是减函数,是增函数 ;
综上所述 略
(2)由（1）可知，时，函数在定义域的最小值为0，
在上成立
令得
令

8
用心 爱心 专心