第六章：证明(一)经典试题.doc

第一部分：基础复习
八年级数学(下)
第六章：证明(一)
一、中考要求：
l．理解证明的必要性和设置公理的必要性．
2．关注现实，并通过具体例子了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件和结论，知道反倒的意义和作用．
3．初步掌握用综合法证明的格式，会证明两直线平行的有关判定定理，两直线平行的有关性质定理，三角形内角和定理及其椎论．
4．体会推理的严谨性和结论的确定性，初步树立步步有据的推理意识，发展推理论证能力，同时，要善于表达自己的想法，并能与同伴交流．
新课标对本章的要求不高，但比较简单的几何证明题仍是2006年中考的热点．
二、中考卷研究
(一)中考对知识点的考查：
2004、2005年部分省市课标中考涉及的知识点如下表:
序号
所考知识点
比率
1
命题的真假
7.5%
2
证明的过程
2~10%
(二)中考热点：
新课标对本章的要求不高，但比较简单的几何证
明题仍是2006年中考的热点．
三、中考命题趋势及复习对策
本章主要考查对命题，定理等概念的理解以及运用定义、定理证明问题的过程，在中考题中以证明题的形式出现，一般占5～7分，因此同学们在复习时应注意认真理解概念，分清题目的条件和结论，正确的写出证明过程．

★★★(I)考点突破★★★
考点1：
一、考点讲解：
定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就叫做定义·
命题：判断一件事情的句子叫命题，每个命题都由条件和结论两部分一组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项，一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．
命题分为真命题和假命题．
真命题：正确的命题是真命题；
假命题：不正确的命题是假命题；
要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．
公理：公认的真命题称为公理．
证明：除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明．
定理：经过证明的真命题称为定理．
逆命题：把原命题的结论作为命题的条件，原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫原命题的逆命题．
逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理．

二、经典考题剖析：
【考题1－1】（2004、宁安，9分）如图l－6－1，四边形ABCD中，点E在边CD上，连结AE、BE。给出下列五个关系式：①AD∥BC；②DE=CE；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD＋BC=AB。将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题。
⑴用序号写出一个真命题（书写形式如：如果×××，那么××）。并给出证明；
⑵用序号再写出三个真命题（不要求证明）；
⑶加分题：真命题不止以上四个，想一想，就能够多写出几
个真命题，每多写出一个真命
题就给你加1分，最多加2分。
解：（如果①、②、③，那么④、⑤）．
⑴证明：如图l－6－2，延长AE交BC的延长线于F．因为AD∥BC，所以∠1＝∠F．又因为∠AED＝∠ CEF，DE＝EC，所以△ADE≌△FCE．所以AD=CF，AE=EF．因为∠1＝∠F，∠1＝∠2，所以∠2＝∠F ，所以 AB=BF．所以∠3=∠4．所以 AD+BC=CF+BC=BF＝AB；
⑵如果①、②、④，那么③、⑤；如果①、③、④，那么②、⑤；如果①、③、⑤，那么②、④；
⑶略．点拨：本题是一道开放性命题，构建的几何题充分考查了学生对几何知识点的整合能力，洞察能力和证明过程的严密性，第（3）题加分的设置，极大地鼓舞了学生去勇于探索，不断创新．
三、针对性训练：( 15分钟) (答案：254 )
1．下列句子中，哪些是命题？
⑴ 如果a＞b，a＞c，那么b＞c，
⑵ 动物都需要水；
⑶ 负数都比零小； ⑷玫瑰花是动物；
⑸ 三个角对应成比例的两个三角形一定全等；
⑹ 美丽的天空； ⑺小红做完作业了吗？
⑻ 猴子不是动物； ⑼所有的奇数都是质数；
⑽ 过直线l外一点作l的垂线．
2．指出下列命题的条件和结论．
⑴ 如果两个三角形的两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等；
⑵ 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑶ 直角三角形的两个锐角互余；
⑷ 如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
3．指出下列命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题．
⑴ 同位角相等，两直线平行；
⑵ 相等的角是对顶角；
⑶ 垂直于同一直线的两直线平行；
⑷ 一个角的补角一定是钝角；
⑸ 两个无理数的和仍是无理数；
⑹ 互补的两个角一个是锐角，一个角是钝角．
4．下列句子是不是命题：
⑴ 熊猫没有翅膀；⑵对顶角相等；⑶如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
⑷ 任何一个三角形一定有直角；⑸无论n为怎样的
自然数，式子n2－n+11的值都是质数；
⑹ 你喜欢英语吗？ ⑺作∠AOB=∠ACD．
5．判断下列命题的真假．
⑴ 如果 ；
⑵ 各边对应成比例的两个多边形一定相似；
⑶ 如果a≠0，b≠0，那么； ⑷ 两个锐角之和一定是钝角．

考点2：证明的过程
一、考点讲解：
证明是一个推理过程，是一个严密而条理的合理的推理过程，证明过程一定要步步有理有据．
二、经典考题剖析：
【考题2－1】（2004、云南，3分）如图1－6－3，∠1=________
解：如图l－6－3，因为∠2+50°=100°，所以∠2=50○．因为∠1+∠2=180°，所以∠1=180°－50°=130°．点拨：本题应用了三角形的一个外角等于和它相邻的两内角的和来进行推理的．

【考题2－2】（2004、无锡模拟，4分）如图1－6－4，A B∥DC，∠1＝30°，
∠C和∠D互余，则∠D＝________，∠B=_______.
解：30°；120°点拨：因为AB∥CD，所以∠D=∠l，∠B＋∠C＝180○．因为∠1=30○，所以∠D=30○．因为∠C和∠D互余，所以∠C=90○一∠D=90○ －30○=60○．所以∠B=180○－∠C=120○．
【考题2－3】（2004、贵阳，3分）如图l－6－5，直线a∥b，则∠A CB=______.
解：78° 点拨：过点C作CD∥a，因为a∥b，所以b∥CD，所以∠DCA＝28°，∠DCB＝50°，所以∠ACB＝∠DCA+∠DCB＝28°+50°=78°．
三、针对性训练：( 25分钟) (答案：254 )
1、如图l－6－6，在△ABC中，D是AC延长线上的一点，∠BCD=________.

2．(2004，吉林，3分）已知△ABC，现将∠A的度数增加l倍，∠B的度数增加2倍，刚好使∠C是直角，则∠A的度数可能是 （ ）
A．75° B．60° C．30° D．45” °
3．如图l－6－7，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，AB=10，AC=14，BC=16，则DE等于（）
A．5 B．7 C．8 D．12
4．如图1－6－8，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA 的延长线上，连结CF交A D于点E．
（1）求证：△CDE∽△FA E；
（2）当E是AD的中点，且BC=2CD时，求证: ∠F=∠BCF.

★★★(II)2005年新课标中考题一网打尽★★★
（13分 10分钟） （254）
【回顾1】（2005、安徽，4分）下列图 1－6－9中能够说明∠l＞∠2的是（ ）

【回顾2】（2005、南充）一个三角形的两个内角分别是55°和65°这个三角形的外角不可能是（ ）
A．115° B．120° C．125° D．130°
【回顾3】（2005、峪关）下列命题中，假命题是（ ）
A．两条弧的长度相等，它们是等弧 B．等弧所对的圆周角相等
C．直径所对的圆周角是直角 D．一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的两倍
【回顾4】（2005、杭州，3分）给出下列4个结论：①边长相等的多边形内角相等；②等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形；③三角形的内切圆和外接圆是同心圆；④圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线．其中正确结论的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

★★★(III)2006年中考题预测★★★
（90分 60分钟） （254）
一、基础经典题( 42分)
(一)选择题(每题4分，共24分)
【备考1】下列语句中，不是命题的是（）
A．两点之间线段最短 B．如果ab=0，那么a=0 C．不是对顶角不相等 D．连接A、B两点
【备考2】下面关于“证明”的说法正确的是（ ）
A．“证明”是一种命题 B．“证明”是一种定理
C、“证明”是一种推理过程 D．“证明”就是举例说明
【备考3】下列命题中是假命题的是（ ）
A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．钝角的补角是锐角 D．垂线段最短
【备考4】两条直线，被第三条直线所截，下列条件不
能判定两直线平行的是（ ）
A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角相等 D．同旁内角互补
【备考5】已知如图1－6－10，已知 AD∥BC，则∠A+∠B＝180°，
②∠B＋∠C=180°；③∠C+∠D=180°，其中正确的是（ ）
A．只有① B．只有② C．只有③D．①和③
【备考6】在证题过程中，对已学过的公理，定义，定 理，可用来作为推理根据的是（ ）
A．公理、定义 B．定理、定义、公理
C．公理 D．定理、公理
（二）填空题（每题3分，共18分）
【备考7】将命题“对顶角相等”写成：如果_________________________，对么____________________。
【备考8】将命题“直角都相等”写成：如果_______ __________________，对么____________________。
【备考9】命题“平行于同一条直线的两条直线平行” 的题设是________________________，结论是____
_______________________．
【备考10】命题由________和________两部分组成， 命题通常写成的形式是______________.
【备考11】下列句子：①延长线段AB到C，②如果|a|=|b|，那么a=b，③分数都是有理数；④全等三角形面积相等，其中命题是_____________(只填序号)
【备考12】①两个负数的差一定是负数；②两边分别平行的两个角一定相等；③全等的两个三角形一定关于某条直线对称；④对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，其中真命题是___________________________（只填序号）．
二、学科内综合题（每题12分，共24分）
【备考13】如图l－6－11，已知B、E分别是线段AC、DE上的点，AF交BD于G，交EC于H，∠l＝∠2，
∠D＝∠C，求证∠A＝∠F，请你完成下列证明中的填空：
证明：因为∠l一∠2（已知人∠1＝∠3（ ），
所以∠2＝∠3（等量代换)
所以_________∥___________（ ）．
所以∠C=∠ABD（ ）
因为∠D=∠C（ ）
所以∠D=________________（ ）
所以_________∥__________（ ）
所以∠A=∠F（ ）
【备考14】如图1－6－12，∠B＝∠C，AE∥BC，求证：AE平分∠DAC．
三、渗透新课标理念题（每题12分，共24分）
【备考15】以一个命题的条件为结论，结论为条件的
命题称为原命题的逆命题，如命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是
“同位角相等，两直线平行”．请你写出下列命题的逆命题：
（1）若a=0，则ab=0；
（2）对顶角相等；
（3）同旁内角互补，两直线平行．
【备考16】（推理题）早在1840年前后，德国数学家、
天文学家莫比乌斯提出了这样一个问题：在彩色的地图上，相邻地区的颜色是不同的，那么绘制一张有许多地区的地图，至少要用多少种不同的颜色呢？他通过大量的实践得出一个设想：只要用四种颜色就可以绘制出合格的彩色地图，但遗憾的是，他付出了毕生的精力，还是没能给出这个设想严密的数学证明，在后来的一百多年里，“四色定理”吸引了许多著名数学家的参与，直到1976年，美国的三位数学家用高速电子计算机，运行1200小时，作了100亿个判断，终于证明了莫比乌斯的猜想是对的．读了这则材料，你有何感想？说一说.