第八讲 参数估计和假设检验.doc

第八讲 参数估计和假设检验

1．点估计（矩估计和极大似然估计，无偏性和有效性）
例1．设总体的概率密度为 ，是取自总体的简单随机样本，(1)求的矩估计量 ；（2）求的方差。
解：（1） ，为样本的一阶矩，
令，得=2。
（2），
，
= 。
注：对任何分布的总体的样本均值，都有， 。

例2．设样本（）是取自正态总体的容量为的样本，试确定常数，使得是的无偏估计。
解：由于为样本，故，，于是， ，，因此 ，要使是的无偏估计，只须，故。

例3．设是参数的无偏估计，且有，试证不是的无偏估计。
证明：（反证法）若是的无偏估计，且也是的无偏估计，则有 与矛盾，所以一定不是的无偏估计。
同理：若是的无偏估计，则一定不是的无偏估计。

例4．设总体服从上的均匀分布，（）是来自的样本，设 ， ，试证：（1），均是的无偏估计，（2）问，中哪个更有效？
证：（1）由于的密度为 ，
故的分布函数为 ，
对应的密度函数为，
从而。
所以，是的无偏估计，
类似地，的密度为 ，
故
，
（，，，）
所以，是的无偏估计。
（2）为计算，先算。

故，另外

，故 ，从而比更有效。

例5．设总体的概率密度为
其中， 是未知参数，是来自的一组样本，
（1）求的矩法估计，并考察是否为的无偏估计。
（2）求的极大似然估计，并考察是否为的无偏估计。若不是，如何修正成的无偏估计？
解：（1），因此
，所以此矩估计是的无偏估计。
（2）似然函数，
，，，
越小，越大，故
的分布函数为
的分布函数为
的密度函数为

，故不是的无偏估计。取，因，故是的无偏估计。

例6．设总体的概率分布为
0 1 2 3

其中是未知参数，利用总体的如下8个样本:3，1，3，0，3，1，2，3， 求的矩估计和最大似然估计值。
解：
，令 ，即，
解得得矩估计值 。
似然函数：,
，
。
令 ，解得 。因，不合题意，所以的最大似然估计值为 。

2．区间估计
例7．在天平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布，若以表示次称量结果的算术平均值，则为使，则的最小值应不小于自然数 16 。
分析：由于，由区间估计方法中有关均值的思想： ，
查正态分布的的分位数，即 ，
又从题目要求 ，可令 ，得=15.68 ，取大于的最小整数是16。

例8．设总体，已知，问样本容量为多大时，方能保证的置信度为0.95下的置信区间长度不超过 ？
解：由于，已知，故用作统计量即可找到分位数，
使 ，即 ，
从而置信区间长为，再由题目要求 ，从中解出 ，故，其中表示为小于的最大整数。

例9．假设0.50，1.25，0.80，2.00是取自总体的简单样本值，已知=服从正态分布，
（1）求数学期望（记为）。
（2）求的置信度为0.95的双侧置信区间。
（3）利用上述结果求的置信度为0.95的双侧区间。
解：（1）的概率密度函数为 ， ，于是（令）
。
（2）当置信度时，标准正态分布的()分位数为1.96，又，
故有,
，故的置信区间为。
（3）由上题结果及的严格递增性，可知：
，
故的置信度为0.95置信区间为 。

3．假设检验