河北省清河县高三数学《39直接证明与间接证明》课时作业.doc

河北省清河县高三数学《39直接证明与间接证明》课时作业
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若x，y∈R，则下面四个式子中恒成立的是(　　)
A．log2(1＋2x2)>0　　　 B．x2＋y2≥2(x－y－1)
C．x2＋3xy≥2y2 D.<
解析：∵1＋2x2≥1，∴log2(1＋2x2)≥0，
故A不正确；
x2＋y2－2(x－y－1)＝(x－1)2＋(y＋1)2≥0，
故B正确；
令x＝0，y＝1，则x2＋3xy<2y2，故C不正确；
令x＝3，y＝2，则>，故D不正确．
答案：B
2．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．a>c>b
解析：∵a＝－＝，
b＝－＝，
c＝－＝，
∴若比较a，b，c的大小，
只要比较＋，＋，＋的大小．
∵＋>＋>＋>0，
∴<<，
∴c<b<a.
答案：A
3．已知P＝2－，Q＝()3，R＝()3，则P、Q、R的大小关系是(　　)
A．P<Q<R B．R<P<Q
C．Q<P<R D．R<Q<P
解析：∵0<P＝2－<1，Q＝()3>1,0<R＝()3＝<1，
∴P<Q，R<Q，∵2－>2－3.
∴R<P，∴R<P<Q.
答案：B
4．设a>2，b>2，则(　　)
A．ab>a＋b
B．ab<a＋b
C．存在a，b，使得ab＝a＋b
D.>1
解析：⇒ab>2(a＋b)－4>a＋b.
答案：A
5．(2010·揭阳模拟)设a，b，u都是正实数，且a，b满足＋＝1，则使得a＋b≥u恒成立的u的范围是(　　)
A．(0,16] B．(0,12]
C．(0,10] D．(0,8]
解析：∵＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝1＋×9＋＋9≥10＋2·＝16.
当且仅当＝，即a＝4，b＝12时取等号．
若a＋b≥u恒成立，
∴0<u≤16.
答案：A
6．设a、b、c∈R＋，则三个数a＋，b＋，c＋满足(　　)
A．都不大于2 B．都不小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
解析：若a＋<2，b＋<2，c＋<2同时成立，
相加得(a＋)＋(b＋)＋(c＋)<6.①
但∵a、b、c∈R＋，
∴a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2.
∵(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥6.②
∵①式与②式矛盾，
∴a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2，选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若x>1，则x与lnx的大小关系是________．
解析：令f(x)＝x－lnx，
则f′(x)＝1－＝.
∵x>1，∴>0，
∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x)>f(1)＝1>0，
即x－lnx>0，∴x>lnx.
答案：x>lnx
8．lg9·lg11与1的大小关系是__________．
解析：lg9·lg11<()2＝()2<()2＝1.
答案：lg9·lg11<1
9．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．
解析：∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π)，
∴≤f()＝f()，
即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝，
所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为.
答案：
三、解答题(共55分)
10．(15分)已知a、b、c∈(0，＋∞)，且a、b、c成等比数列．
求证：a2＋b2＋c2>(a－b＋c)2.
证明：左边－右边＝2(ab＋bc－ac)．
∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac.∵a、b、c∈(0，＋∞)，
∴0<b＝≤<a＋c.
∴a＋c>b.∴2(ab＋bc－ac)＝2(ab＋bc－b2)＝2b(a＋c－b)>0.∴a2＋b2＋c2>(a－b＋c)2.
11．(20分)(1)设x是正实数，
求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；
(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．
解：(1)x是正实数，由基本不等式知
x＋1≥2，1＋x2≥2x，x3＋1≥2，
故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．
(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．
由(1)知，当x>0时，不等式成立；
当x≤0时，8x3≤0，
而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)
＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－)2＋]≥0，
此时不等式仍然成立．
——探究提升——
12．(20分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c时，f(x)>0.
(1)证明：是f(x)＝0的一个根；
(2)试比较与c的大小；
(3)证明：－2<b<－1.
解：(1)∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，
∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，
又x1x2＝，∴x2＝(≠c)，
∴是f(x)＝0的一个根．
(2)假设<c，又>0，由0<x<c时，f(x)>0，
知f()>0与f()＝0矛盾，∴>c.
(3)由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，
∴b＝－1－ac.
又a>0，c>0，∴b<－1.
二次函数f(x)的图象的对称轴方程为
x＝－＝<＝x2＝，
即－<.
又a>0，∴b>－2，∴－2<b<－1.

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