4、．都不小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
解析：若a＋<2，b＋<2，c＋<2同时成立，
相加得(a＋)＋(b＋)＋(c＋)<6.①
但∵a、b、c∈R＋，
∴a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2.
∵(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥6.②
∵①式与②式矛盾，
∴a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2，选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若x>1，则x与lnx的大小关系是________．
解析：令f(x)＝x－lnx，
则f′(x)＝1－＝.
∵x>1，∴>0，
∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x)>f(1)＝1>0
5、
即x－lnx>0，∴x>lnx.
答案：x>lnx
8．lg9·lg11与1的大小关系是__________．
解析：lg9·lg11<()2＝()2<()2＝1.
答案：lg9·lg11<1
9．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．
解析：∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π)，
∴≤f()＝f()，
即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝，
6、
所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为.
答案：
三、解答题(共55分)
10．(15分)已知a、b、c∈(0，＋∞)，且a、b、c成等比数列．
求证：a2＋b2＋c2>(a－b＋c)2.
证明：左边－右边＝2(ab＋bc－ac)．
∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac.∵a、b、c∈(0，＋∞)，
∴0b.∴2(ab＋bc－ac)＝2(ab＋bc－b2)＝2b(a＋c－b)>0.∴a2＋b2＋c2>(a－b＋c)2.
11．(20分)(1)设x是正实数，
求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；
(2)若x∈R，不等式(x
7、＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．
解：(1)x是正实数，由基本不等式知
x＋1≥2，1＋x2≥2x，x3＋1≥2，
故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．
(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．
由(1)知，当x>0时，不等式成立；
当x≤0时，8x3≤0，
而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)
＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－)2＋]≥0，
此时不等式仍然成立．
8、
——探究提升——
12．(20分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.
(1)证明：是f(x)＝0的一个根；
(2)试比较与c的大小；
(3)证明：－20，由00，
知f()>0与f()＝0矛盾，∴>c.
(3)由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，
∴b＝－1－ac.
又a>0，c>0，∴b<－1.
二次函数f(x)的图象的对称轴方程为
x＝－＝<＝x2＝，
即－<.
又a>0，∴b>－2，∴－2
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
