近世代数习题拓展.doc

68、设G是一个群，H是G的一个子群，a是G中的一个n阶元素。证明：存在最小正整数m使且|n。
证：由于|a|=n，故从而存在最小正整数m使。又令，则由于和，得但m是使的最小正整数，故必r=0,从而|n。
75、设H，K是群G的两个子群。证明：
证：设则任取令
由于故从而
又由于故即HK中任二元素之积仍属于HK。故
反之，设任取则令于是故同理可证因此，
57、证明：交换群中所有有限价元素作成子群。对非交换群如何？
证：设H是由交换群G中所有有限阶元作成的集合。显然故H非空。又若设|a|＝m，|b|=n。因G可交换，故从而又因||=|a|,故因此，
对非交换群一般不成立。例如，Q上全体2阶可逆方阵八成的乘群中，易知，的阶有限，都是２，但易知其乘积的阶却无限。即其全体有限阶元素不能作成子群。
76、设G是一个阶数大于2的群，且G的每个元素都满足方程证明：G必含有4阶子群。
证：证法１.由于G中每个元素都满足方程而e的阶是1，故G中除e外的元素的阶都是２，从而每个元素的逆元均为自身。
由于G的阶大于２，在G中任取则由上所述，是G中4个不同的元素。由于G中每个元素都满足方程所以G是一个交换群，故是G的一个4阶子群。
证法2：在G中任取则由于故又因G的阶大于2，故在G中存在元素而又因G是交换群，故
106、证明：若群G的阶子群只有一个，则此阶子群必是G的正规子群。
证：设H是群G的一个阶子群，则对G中任意元素也是G的一个阶子群。事实上，任取令则故
又当时显然故也是G的一个阶子群。但由题设，G的阶子群只有一个，故从而
128、证明：对任何固定的正整数，互不同构的阶群只有有限个。
证：由定理知，任何阶群都同次对称群的一个子群同构，而是阶有限群，它只有有限个子群，故互不同构的阶群只有有限个。
11、设G是群，且证明：对每个都有
证明：由于H是G的正规子群，因此有商群又因为所以的阶为于是对任意的因此
70、设G是一个阶交换群。证明：如果是一个奇数，则G有而且只有一个2阶子群。（期中考试题）
证：显然，即要证G有且仅有一个2阶元素。
由于阶数大于2的元素在G中成对出现，而单位元的阶是1，又G的阶是，故G中必有2阶元素，且有奇数个。
设是G的一个2阶元素，则便是G的一个2阶子群。如果G另有2阶元素则便是一个异于H的子群。由于G是交换群，故是G的一个4阶子群，于是由定理知，|HK|︳|G|,即4|.这与是奇数矛盾。故G只能有一个2阶元素，即只能有一个2阶子群。
69、设H是群G的一个子群，又其中是两个整数。证明：若，则（期中考试题）
证：因为故存在整数使于是有但是由题设而H是群G的一个子群，故
58、试求出三次对称群的所有子群。（期中考试题）
解：易知的以下六个子集
对置换乘法都是封闭的，因此都是的子群。
下证仅有这六个子群。
设H为的任一非平凡子群，则由于H的阶是的阶的因数，故只能H的阶为2,3.
当H的阶为2时，H中除单位元外，另一个元素只能是一个2阶元。但的2阶元只有三个，即，因此，H只能是
当H的阶为3时，由定理知，H中元素的阶必为3的因数，即只能是1或3，因此，此时H中除单位元外，另两个元素必定都是3阶元。但中的三阶元有且仅有两个，即因此，此时只能
综上所述可知，有且仅有以上六个子群。