导函数论文.doc

摘要：导函数与原函数是由产生方式不同而给予不同定义的同一种数学工具，在数学的分析研究和解题中都有着不可替代的重要作用。在本文中，首先，对导函数、原函数的定名做了说明；接着介绍了导函数的几个性质（连续性，间断点性质等），使读者认识到导函数之于一般函数的特殊性；随后，简单了解了一些函数性质（奇偶性，周期性等）在导函数和原函数之间的交互情况；最后，由导函数出发，讨论了函数可积性与原函数存在性之间的关系。这些都是在解题与分析中十分重要的数学内容，这里只做简单的说明，以为深入的学习和探讨做打下基础。关键字：导函数，原函数，可积性。1 引言：导函数，顾名思义是以函数的导数来定义的函数。导数的直接反应则是用以描述函数的变化情况（随自变量运动所反映的因变量的运动快慢）。导函数定义的定向性（以特定的函数而对应得到），决定了它在数学分析研究中的重要作用。导函数的应用，使得函数的的变化情况（快慢，程度）得以量化分析，并且这个度量又以函数的形式来表现，从而又可以抽象出通用特征来分析，使得函数的能量进一步的提升和增强。利用函数将显示模型抽象出来的基础上又得以利用函数这一数学工具本身来对这一抽象模型进行深入研究和分析，易见，对导函数的深入学习和研究，不论是对于我们解决理论与实际问题还是锻炼我们的学习思维能力都是大有益处的。2 导函数的定义1 导数的出现是为对函数变化性质进行描述，可巧妙的是，以导数关系作为对应关系时其本身又能作为一个函数来考察。 定义 若函数F(x)在区间I上处处可导,xI,令F(x)=f(x) (对区间端点，仅考虑相应的单侧导数)，则称f(x)为I上F(x)的导函数。 定义 若函数f(x)与F(x)在区间I上都有定义，若F(x)=f(x)，xI，则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数。 伴随着导函数的定义，与之相对应函数则被称为“原函数”。3 导函数的性质函数F(x)的导数(记为f(x),f(x)仍然是一个函数，可以将它作为通常的函数来对待。但是导函数还有许多特殊的性质，常常被人们忽视。3.1 原函数存在定理：若f在a,b上连续：则由式子g(x)=，xa,b所定义的函数g（x）在a,b上处处可导，且g(x)在a,b上是f(x)的一个原函数。这个定理也说明了：在区间a,b上连续函数必是某函数的导函数（亦即连续函数必有原函数）。3.2 函数的介值性（达布定理）：设函数f(x)在区间I上有定义，对任意的a,b I,c为介于f(a)与f(b)之间的任何实数(f(a)ccf(b)，若至少存在一点(a,b)使得f()=c，则称f(x)在区间I上有介值性。 导函数在其定义域内要么连续要么在导数值上下（不离开导数值）震荡（在介绍导函数间断点是将具体讲述），因此，不论导函数连续与否，其值都将充满导函数值域区间，此即不受连续限制的介值性。对于导函数的介值性要注意导函数介值不需要连续，对于一般函数来说，在某点的极限存在并不意味着在该点连续，还有可能在该点函数无定义或函数值不等于极限值。但对于导函数来说，不会发生这种情况，极限存在即意味着连续。3.3 导函数极限存在与连续的关系：设函数f(x)在x=x。处连续。若x。点的某邻域内除x。外导数f(x)均存在，且有极限f(x)=c，则函数在x。点必可导，并且f(x。)= f（x） 由微分中值定理可证得该结论正确，即对于导函数来说，有：极限存在即是连续。这是一般函数所不具有的特性。关于导函数的间断点也有其特殊的性质，对于其间断点的研究有助于解决和证明导函数连续以及函数可积等一类问题3.4导函数不具有第一类间断点：若F(x)在(a,b)上处处可导，即F(x)的导函数为f(x),则有：f(x)不具有第一类间断点，即对x。(a,b),若x。为间断点，则必是第二类（振荡）间断点。处处可导的函数若不在连续，就在的附近振荡。3.5 对于处处可导函数的导函数有两个很好的性质：3.5.1 导函数在一点处有极限，则其在该点必连续，若无极限则该点两侧或单侧越振荡；3.5.2 可能有不连续点的导函数，其介值定理仍成立。由此又可得出有关原函数的三个推论 3.5.3 当时，则导数存在且连续。 3.5.4 当时至少有一个单侧极限为无穷时，函数在该点不可导。 3.5.5 和中一个或同时振荡时，原函数在该点可能可导。导函数不连续是起间断点的特殊性在解决和证明函数连续和可积的问题时十分奏效 例 1：f（x）在（a，b）上可导，且f（x）在（a，b）上单调，证明f（x）在a,b上连续。 例2：设f（x）定义为|x|,x0；当x=0时f（x）=1，证明：不存在以f（x）为导函数的函数。4 导函数与原函数之间性质交互问题在微分学和积分学中，原函数，导函数是两个相互关联的重要概念。在计算上它们是互逆的，泰勒定理、牛顿一莱布尼兹公式和微分学基本定理，这些都从理论上揭示了原函数和导函数之间的关系，而且其结论在形式上也是十分工整的。因此，讨论函数性质在原函数与其导函数间的交互传递性是十分有价值和必要的。 记F（x）的导函数为f（x），则有如下：4.1有界性不交互传递：F(x)在有限空间(a,b)无界时f(x)必无界，但其逆不真。例：设F（x）=xsin（1/x）,x(0,1),则f（x）=sin（1/x）-（1/x2）cos(1/x)在（0,1）上无界，但F（x）确实有界的4.2单调性不交互传递：(1)F(x)为凸性或凹性单调函数时f(x)具有单调性。(2)f(x)为单调不变号函数时，F(x)必有单调性。例：设F（x）=x2+C（C为常数），则f（x）=2x，且F（x）不具有单调性，但 f（x）为R上单增函数4.3奇偶性：(1)F(x)为奇(偶)函数时f(x)为偶(奇)函数。(2)f(x)为奇(偶)函数时，F(x)可表为一偶函数(奇函数)与一常数之和。4.4周期性： (1)F(x)是周期为T的函数时f(x)的周期也为T函数。(2)若f(x)为可积周期T函数，且满足F(T)=F(O)，则F(x)也为周期T函数，(3)若F(x)为R上非常值周期函数f(x)为仅有有限个第二类间断点的周期函数，那么F(x)与f(x)基本周期必相同。4.5极限：（1)F(x)在x。处有极限，f(x)在x。处未必有极限。(2)f(x)在x。处有极限，F(x)在x。处必有极限。4.6间断点：(1)F(x)无间断点，f(x)仅有第二类间断点。(2)F(x)一定连续,f(x)未必连续。(3)F(x)与f(x)均具有介值性，即介值性在F(x)与f(x)之间交互保持。(4)F(x)为初等函数时f(x)为初等函数,但其逆不真。例：设f（x）=sinx2，则f（x）为初等连续函数，但F（x）不能表示为初等连续函数。4.7可微性：F（x）必可微,f(x)未必可微，但若f(x)可微，则F(x)当然也可微。4.8极值: (1)极值在F(x)与f(x)之间不交互传递。(2)凸性区间在F(x)与f(x)之间也不交互传递。例：设f（x）=3x2，xR，则f（x）在x=0处有极小值，但F（x）=x3在x=0点无极值。4.9可积性：F(x)可积，则f(x)未必可积，但其逆为真，即若f(x)可积，则必有F(x)可积。5 关于原函数的存在问题 牛顿-莱布尼兹公式, 作为微积分的基本公式,将积分和微分真正沟通起来,明确地找到了两者内在的直接联系。其公式如下:如果函数 f(x)在a,b上连续, F(x)是f(x)在a,b上任一原函数,那么=F(b)-F(a)，该公式充分表达了定积分与原函数之间的内在联系,它把定积分的计算问题转化为求原函数的问题,从而给定积分的计算提供了一个简便而有效的方法,也是我们在定积分计算中普遍采用的。5.1原函数存在：若f(x)在a,b上可积, 则F(x)=必为a,b上的连续函数, 且在a,b内处处可导。其中F(x)=f(x)(甚至可以允许有有限个点例外) ,即有=F(a)-F(b),即原函数存在定理。 设函数f(x)在区间I上有定义, 那么如果函数f(x)在I上存在第一类间断点, 则f(x)在区间I上不存在原函数（有导函数间断点性质易见）。综上所述: 微积分基本公式只是给出了连续函数f(x)在a,b上的原函数存在时, 定积分与不定积分之间的关系。牛顿-莱布尼茨公式并不意味着定积分与原函数两者存在一致性, 还表明使用牛顿-莱布尼茨公式时, 必须满足两个前提条件: f(x)为a,b上的连续函数，f(x)在a,b上存在原函数F(x) 。微积分基本公式将连续函数的定积分问题转化为求被积函数的原函数。可以得出结论定积分存在与原函数存在是非一致的, 特别针对被积函数含有间断点的情况。5.2情况列举：5.3.1在区间a,b上黎曼可积的函数不一定存在原函数.由导函数的介值性质可知, 导函数不具有第一类间断点. 因此, 若f(x)在a,b上具有有限个第一类间断点, 则f(x)在整个区间上不存在原函数，但其属于三类可积函数之一, 故它是可积的。种情形的例子很多, 任何具有有限个第一类间断点的函数都可以。 例：5.3.2 f(x)在a,b上可积, 变上限积分（即使处处可导）不一定是其原函数。但如f(x)原函数存在，则必为。5.3.3 在a,b上存在原函数的函数不一定黎曼可积。综上：可以从两个角度来理解.若函数f(x)在a,b上存在原函数,但其本身无界,则f(x)不可积。例：对任意实数m1,函数 其导函数 在-1,1上存在原函数，但在其原点附近无界，故f（x）在包含原点的任何闭区间上不可积。若有界函数f(x)在a,b上存在原函数, 但其具有的第二类间断点构成一个正测度集,则f(x)不可积。6 小结：通过对文献的查阅与研究，对导函数的性质特点有了进一步的了解，并为更深入的探讨和论证打下了基础。参考文献1黄基廷.导函数的若干性质J.河池学院学报. 2004.(4).49-512刘玉莲.傅沛仁.数学分析讲义(第三版)M.北京:高等教育出版社.19923黄玉民.李成章.数学分析(第一版)M.北京:科学出版社.19954裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京:高等教育出版社.19935华东师范大学数学系.数学分析(第三版)M.北京:高等教育出版社.20016裴礼文.数学分析中的典型问题与方法(第二版)M.北京：高等教育出版社.2006 7海红.导函数性质及其应用J.武警学院学报.2009.25(8):94-968张申媛.关于函数可积性与原函数存在性问题J.中国科技信息.2011.(1):32-339华东师范大学数学系.数学分析(第三版)M.北京:高等教育出版社.200110同济大学应用数学系.高等数学M.北京:高等教育出版社.200211B.A.卓里奇俄罗斯数学教材选译数学分析(第1卷)(第4版)M.北京:高等教育出版社12常庚哲.史济怀.数学分析教程M.南京:江苏教育出版社.199813刘玉涟.数学分析习题讲义(上册)M.北京：高等教育出版社.200514任亲谋.数学分析习题讲义(下册)M.陕西:陕西师范大学出版社.200515朱文辉.导函数的特殊性质J.南通职业大学学报.2003.17(3):64-6616Bernard R Gelbaum.Counterexamples in analysisM.San Francisco:Holden-Day Inc.1964 17Walter.Rudin. principles of mathematical analysisM.北京:机械工业出版社.200418Richard A.Brualdi.Introductory CombinatoricsM.北京:机械工业出版社.200919Oliver D.Kellogg.On the derivatives of harmonic functions on the boundary J. Transactions of the American Mathematical Society.1931.33(2):486-51020Kenneth H.RosenDiscrete Mathematics and its ApplicationsM.北京:机械工业出版社.20128