1、1. 2018 全国 1 卷理科第 12 题对正方体结构的认知和运用+截面面积计算1.(2018 全国 1 卷理科第 12 题)已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等,则a截此正方体所得截面面积的最大值为()A 3 34B 2 33C 3 24D 32【解析】注意到正方体 12 条棱分为三组平行的棱,则只需与共顶点的三条棱所成角相等即可,注意到正方体的结构,则平面应为图 1 中所示,所以只需由图中平面平移即可。 最大面积截面如图 2 所示,故本题正确答案为 A。变式 1:(1994 全国联赛填空题第 5 题)已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于a, 则 sina
2、= 【解析】如上图 1,顶点到平面 ABC 的距离为体对角线的 1 ,则 sina =3 3 a3= 3 .a3变式 2:(2004 湖南数学竞赛第 8 题)过正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 的对角线 BD1 的截面面积为 S ,则 Smax 的值为()Smin362 32 6A.B.C.D.2233【解析】如图,因为正方体对面平行,所以截面 BED1 F 为平行四边形,则11S = 2SDBED= 2 2BD1 h ,此时 E 到 BD1 的最小值为 CC1 与 BD1 的距离,即当 E 为中点时,h= 2 a ( a 为正方体棱长),S= 2 1 3a 2 a =6 a 2 ,
3、又因为 S为min2min222max四边形 BC1 D1 F 的面积,选 C.变式 3:(2005 全国高中数学联赛第 4 题)在正方体 ABCD - A B C D 中,任作平面a与 对角线 AC 垂直,使得a与每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为 S ,周 长为 l ,则( )A. S 为定值, l 不为定值B. S 不为定值, l 为定值 C. S 与 l 均为定值 D. S 与 l 均不为定值【解析】选 B,将正方体切去两个正三棱锥 A - A BD 与 C - D B C 后,得到一个以平行平 面 A BD 与 D B C 为上、下底面的几何体 V,V 的每个侧面都是等
4、腰直角三角形,截面多边形 W 的每一条边分别与 V 的底面上的一条边平行,将 V 的侧面沿棱 A B 剪开,展平在一张平面上,得到一个平行四边形 A B B1 A1 ,如图而多边形 W 的周界展开后便成为一条与 A A1 平行的线段(如图中 E E1 ),显然 E E1 = A A ,故 l 为定值.当 E位于 A B 中点时,多边形 W 为正六边形,而当 E移至 A处时,W 为正三角形,易知周长为定值 l 的正六边形与正三角形面积分别为3 l 2 与243 l 2 ,故 S 不为定值.36变式 4:在长方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中, AB = AD = 4, AA1 = 2
5、,过点 A1 作平面a 与1AB, AD 分别交于 M , N 两点,若 AA 与平面a 所成角为 450 ,则截面面积的最小值 为 解析:过 A 作 MN 的垂线,垂足为T ,第一步:寻找T 的轨迹:T 的轨迹是平面 ABCD 内,以 A 为圆心, 2 为半径的圆法一:(直观感知,作出线面角并证明)连接 A1T ,因为 AA1 MN ,所以 MN 平面 AA1T ,0过 A 作 A1T 的垂线,垂足为 Q ,易证 AQ 平面 A1 MN ,所以 AA1T = 45,则 AT = 2 。1法二:(运动变化的观点探求轨迹问题)作一个以 AA 为轴,母线与对称轴所成角为 450 的圆锥,过任意一条
6、母线作圆锥的切面 A1 MN ,与平面 ABCD 的交线为 MN ,则 AT = 2 。 第二步:求最值法一:(注意运动中的不变性)因为 A1T = 22 为定值,且 A1T MN ,则要求截面面积的 最 小 值 , 只 需 求 MN的 最 小 值 ,AT 2 = MT NT = 4, 所 以MN = MT + TN 2MT = NT 。MT TN= 4 ,则 SDAMN 1 4 222 = 42 ,等号成立当且仅当1法二:(利用二面角实现面积的转化)切面 A MN 与平面 ABCD 所成角为 450 ,由射影面积法知 cos 450 =S DAMN1S DA MN,所以 SDAMN =2S
7、DAMN =2 1 MN AT =2112MN 4 211法三:(等体积法实现面积的转化)由V A -AMN= V A- A MN 得S DAMN3 AA1= 3 S DAMN d ,1因为线面角为 450 ,所以 d = AA sin 450 ,所以 SDAMN= 2SDAMN,同上。法四:(类比勾股定理)设切点 T (x0 , y0 ) ,则切线 MN 方程为 x0 x + y0 y = 4 ,则求得 4 4 M ,0 , M 0, ,类比直角三角的勾股定理,猜想截面的平方等于三角直角面的平方 x0 y0 64 16 16 64 16(x 2 + y 2 ) 128和,从而把截面面积的平方
8、化为x 2 y 2+ +x 2y 2= +x 2 y 200x 2 y 2=x 2 y 20 0000 00 00 022因为 x0 + y0= 4 2 x0 y0 ,即 0 x0 y0 2 ,128所以面积平方的最小值为= 32 ,面积是最小为 4 24变式 5:已知正四面体 ABCD 的棱长为 26 ,四个顶点都在球心为 O 的球面上,P 为棱 BC的中点,过点 P 作求 O 的截面,则截面面积的最小值为 【解析】当截面与 PO 垂直时面积最小,设截面半径为OA2 - OP 2= PA =6 ,答案为 6p变式 6:棱长为 2 的正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中, E 为棱
9、AD 的中点,过 B1 点,且与平面A1 BE 平行的正方体截面的面积为()A. 5B. 2 5C. 2 6D. 6【分析】对正方体结构和截面的认知,根据平行作图,得到一个菱形,对角线分别为面对角线和体对角线,选 C.变式 7:在一个密封的容积为 1 的透明正方体容器内装有部分液体,如果任意转动该正方体, 液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围是 . 解析:如图,正方体 ABCD-EFGH,此时若要使液面不为三角形,则液面必须高于平面 EHD,且低于平面 AFC可以求出液体取值范围为 1 , 5 6 6 【点评】在运动变化中,空间想象能力得到了很好的考查。拓展 1:点 M 为正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 的内切球 O 球面上的动点,点 N 为 B1C1 上一点,2 NB1 = NC1 , DM BN ,若球 O 的体积为 9 2 ,则动点 M 的轨迹的长度为 拓展 2:(1989 高中数学联赛解答题第 4 题)已知三棱锥 S - ABC 的高 SO = 3 ,底面边长为 6 ,过点 A 向其所对侧面 SBC 作垂线,垂足为 O,在 AO 上取一点 P,是 AP = 8 ,则经PO过点 P 且与底面平行的截面的面积为 【答案】 3