高三数学下6.3不等式的证明3教案.doc

课 题：不等式的证明（3）
教学目的：
1． 掌握分析法证明不等式；
2．理解分析法实质——执果索因；
3．提高证明不等式证法灵活性
教学重点：分析法
教学难点：分析法实质的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．重要不等式：
如果
2．定理：如果a,b是正数，那么
3公式的等价变形：ab≤，ab≤（）2
4． ≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；
5．定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）
6．推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”）
7．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论
比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论
8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法
用综合法证明不等式的逻辑关系是：
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法

二、讲解新课：
1分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法
2．用分析法证明不等式的逻辑关系是：
3．分析法的思维特点是：执果索因
4．分析法的书写格式：
要证明命题B为真，
只需要证明命题为真，从而有……
这只需要证明命题为真，从而又有……
……
这只需要证明命题A为真
而已知A为真，故命题B必为真
三、讲解范例：
例1 求证
证明：因为都是正数，所以为了证明
只需证明
展开得
即
因为成立，所以
成立
即证明了
说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法
②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，
这只需要证明命题B1为真，从而有……
这只需要证明命题B2为真，从而又有……
这只需要证明命题A为真
而已知A为真，故B必真
例2 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为L的正方形边长为，截面积为所以本题只需证明
证明：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为，所以本题只需证明
为了证明上式成立，只需证明
两边同乘以正数，得
因此，只需证明
上式是成立的，所以
这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大
说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的
四、课堂练习：
已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤
分析一:用分析法
证法一:(1)当ac+bd≤0时,显然成立
(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,
只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
即证2abcd≤b2c2+a2d2
即证0≤(bc-ad)2
因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,
综合(1)、(2)可知:原不等式成立
分析二:用综合法
证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)
=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2
∴≥|ac+bd|≥ac+bd
故命题得证
分析三:用比较法
证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,
∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
∴≥|ac+bd|≥ac+bd,
即ac+bd≤
五、小结 ：通过本节学习，要求大家在理解分析法的逻辑关系的基础上掌握分析法证明不等式，并加深认识不等式证明方法的灵活性，能综合运用证明不等式的各种方法
六、课后作业：
1选择题
(1)若logab为整数,且loga>logalogba2,那么下列四个结论中正确的个数是（ ）①>>a2 ②logab+logba=0 ③0<a<b<1 ④ab-1=0
A1 B2 C3 D4
答案:A
(2)设x1和x2是方程x2+px+4=0的两个不相等的实数根,则（ ）
A|x1|>2且|x2|>2 B|x1+x2|>4 C|x1+x2|<4 D|x1|=4且|x2|=1
答案:B
(3)若x,y∈R+,且x≠y,则下列四个数中最小的一个是（ ）
A B C D
答案:D
(4)若x>0,y>0,且≤a成立,则a的最小值是（ ）
A B C2 D2
答案:B
(5)已知a,b∈R+,则下列各式中成立的是（ ）
Acos2θ·lga+sin2θ·lgb<lg(a+b) Bcos2θ·lga+sin2θ·lgb>lg(a+b)
Cacos2θ·bsin2θ=a+b Dacos2θ·bsin2θ>a+b
答案:A
(6)设a,b∈R+,且ab-a-b≥1,则有（ ）
Aa+b≥2(+1) Ba+b≤+1 Ca+b≥(+1)2 Da+b≤2(+1)
答案:A
2用分析法证明:
3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2
证明:要证3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2
只需证3［(1+a2)2-a2］≥(1+a+a2)2
即证3(1+a2+a)(1+a2-a)≥(1+a+a2)2
∵1+a+a2=(a+)2+>0
只需证3(1+a2-a)≥1+a+a2
展开得2-4a+2a2≥0
即2(1-a)2≥0成立
故3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2成立
3用分析法证明:
ab+cd≤
证明:①当ab+cd<0时,
ab+cd<成立
②当ab+cd≥0时,
欲证ab+cd≤
只需证(ab+cd)2≤()2
展开得a2b2+2abcd+c2d2≤(a2+c2)(b2+d2)
即a2b2+2abcd+c2d2≤a2b2+a2d2+b2c2+c2d2
即2abcd≤a2d2+b2c2
只需证a2d2+b2c2-2abcd≥0
即(ad-bc)2≥0
因为(ad-bc)2≥0成立
所以当ab+cd≥0时,ab+cd≤成立
综合①②可知:ab+cd≤成立
4用分析法证明下列不等式:
(1)求证:
(2)求证:(x≥4)
(3)求证:a,b,c∈R+,求证:

证明:(1)欲证
只需证
展开得12+2>16+2
即2>4+2
只需证(2)2>(4+2)2
即4>这显然成立
故成立
(2)欲证(x≥4)
只需证(x≥4)
即证(x≥4)
展开得2x-5+2
即
只需证［］2<［］2
即证x2-5x+4<x2-5x+6
即4<6这显然成立
故(x≥4)成立
(3)欲证2()≤3()
只需证a+b-2≤a+b+c-3
即证c+2≥3
∵a,b,c∈R+
∴c+2=c++≥3
∴c+2≥3成立
故原不等式成立
5若a,b>0,2c>a+b,求证:
(1)c2>ab
（2）c-<a<c+
证明:（1）∵ab≤()2<c2
∴ab<c2
（2）欲证c-<a<c+
只需证-<a-c<
即|a-c|<
即a2-2ac+c2<c2-ab
只需证a(a+b)<2ac
∵a>0,只要证a+b<2c(已知)
故原不等式成立
6已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0,有两个实数根α,β,证明:
(1)如果|α|<2,|β|<2,那么2|α|<4+b且|b|<4
(2)如果2|α|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β|<2
证明:依题设及一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)得:α+β=-a,αβ=b则有:
(1)(2)等价于证明|α|<2,|β|<22|α+β|<4+αβ,且|αβ|<4

七、板书设计（略）
八、课后记：

用心 爱心 专心