广东省湛江市第二中学2014届高三数学8月月考理试题新人教A版.doc

湛江市第二中学2014届高三理科数学月考试题
（本试卷共21小题，满分150分。考试用时120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷 选择题（共40分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.已知集合，，且都是全集的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合（ ）
A． B． C． D．
2．已知为正实数,则( )
A． B．
C． D．
3．函数的大致图象是（ ）

4. 若0<x<y<1，则(　　)
A． B． C． D.
5. 已知函数, 则的值是
A． B． C． D．
6.根据表格中的数据，可以判定函数有一个零点所在的区间为(k∈N*)，则k的值为（ ）

1
2
3
4
5

0
0．69
1．10
1．39
1．61

A．5 B．4 C．3 D．2
7．已知集合,,则“”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8.定义在R上的偶函数在上递减，，则满足＞0的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。
9. 若幂函数的图像经过点,则= 。
10.函数是奇函数的充要条件是a= 。
11．已知一元二次不等式的解集为,则的解集为 。
12. 已知集合，集合，命题p：，命题q：，若q的必要不充分条件是p，则实数a的取值范围是 。
13.定义在R上的偶函数满足，且在[-1,0]上是增函数，给出下列关于的判断：①是周期函数； ②关于直线x=1对称；③在[0,1]是增函数； ④在[1,2]是减函数；⑤=。其中正确的判断的序号是 。
（二）选做题：（第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分）
14.（坐标系与参数方程选做题）设分别为直线为参数）和曲线：上的点，则的最小值为 。
15.（几何证明选讲选做题）已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝ 。

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16.（本小题满分12分）
设函数.
(1)求的值域；
(2)记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若，b＝1，c＝，求a的值。

17. （本小题满分12分）
某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望。

18．(本题满分14分)
如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，，,现将梯形沿CB、DA折起，使且，得一简单几何体（如图（2）），已知分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证： ；
（3）当多长时，平面与平面
所成的锐二面角为？
图（1） 图（2）
19.(本题满分14分)
“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过4（尾/立方米）时，的值为（千克/年）；当时，是的一次函数；当达到（尾/立方米）时，因缺氧等原因，的值为（千克/年）．
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值。

20．(本题满分14分)
如图所示，椭圆的离心率为，且A（0，2）是椭圆C的顶点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A作斜率为1的直线，设以椭圆C的右焦点F为抛物线的焦点，若点M为抛物线E上任意一点，求点M到直线距离的最小值。

21. （本小题满分14分）
已知函数.若函数满足下列条件：
①；②对一切实数，不等式恒成立。
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）若对,恒成立,求实数的取值范围；
（Ⅲ）求证：。

湛江市第二中学2014届高三理科数学月考试题
参考答案与评分标准
命题人：彭庆华 审题人：周秋华
2013年8月27日
一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分
B D B C A C A B
二．填空题：共6小题，其中14、15题选做一题，两题都做只计第一题得分，每小题5分，满分30分
9． 10. 1 11． 12. 13. ①②⑤ 14. 4 15.
三.解答题
16．解:(1)f(x)＝cos xcos π－sin x·sinπ＋cos x＋1
＝－cos x－sin x＋cos x＋1
＝cos x－sin x＋1
＝cos＋1， ………………………4分
因为，所以f(x)的值域为[0,2]． ……………………6分
(2)由f(B)＝1得cos＋1＝1，即cos＝0，
又因0<B<π，故B＝. …………………8分
法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或2. ………………12分
法二　由正弦定理＝，得 sin C＝，C＝或.
当C＝时，A＝，从而a＝＝2；当C＝π时，A＝，又B＝，从而a＝b＝1.
故a的值为1或2. ……………12分

17．解：（1）众数：8.6；中位数：8.75 ……………2分
（2）由茎叶图可知，幸福度为“极幸福”的人有4人。
设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则 ……………6分
（3）从16人的样本数据中任意选取1人，抽到“极幸福”的人的概率为，
故依题意可知，从该社区中任选1人，抽到“极幸福”的人的概率.…………………7分
的可能取值为0,1,2,3高.考.资.源+网 …………………8分 高.考.资.源+网 ；
；
所以的分布列为

. ……………………12分
另解：由题可知， 所以=.

18.（1）证明：连，∵四边形是矩形，为中点，
∴为中点， ……………………1分
在中，为中点，故 ……………………3分
∵平面，平面，平面； ……………4分
（2）证明：依题意知 且∴平面
∵平面，∴，……………………………………5分
∵为中点，∴结合，知四边形是平行四边形
∴，……………………………………………………7分
而，∴ ∴，即 …………8分
又 ∴平面，
∵平面， ∴. ………………9分
（3）解法一：如图，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系
设，则
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则故，即
令，则，故 ………………………………………………11分
∴，依题意，，， ……13分
即时，平面与平面所成的锐二面角为．………………………………14分
解法二：过点A作交DE于Q点，连结PQ，由（2）有
∵ ∴平面，
∵平面， ∴
∴为二面角A-DE-F的平面角，… …………………………………………………………11分
由=600，AP=BF=2得AQ， … ………………………………12分
又
得，解得，
即时，平面与平面所成的锐二面角为．……………………………14分

19．解：（1）由题意：当时，； …………………………2分
当时，设，显然在是减函数，
由已知得，解得 ………………………4分
故函数= ………………6分
（2）依题意并由（1）可得 ……8分
当时，为增函数，故； ……………10分
当时，，
． ……………………………12分
所以，当时，的最大值为．
因此当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米。
……………………………………………14分
20.解：（1）由题意可知，
，即
所以椭圆C的方程为： ……………………………………5分
（2）解法一：由（1）可求得椭圆C的右焦点F坐标（1，0）
抛物线E的方程为：，而直线的方程为 …… ……8分
设动点M为，则点M到直线的距离为

即抛物线E上的点到直线距离的最小值为 …… ……………………14分
解法二：由（1）可求得椭圆C的右焦点F坐标（1，0）
抛物线E的方程为：，而直线的方程为 …… ……………8分
可设与直线平行且抛物线E相切的直线方程为：
由可得：
，
解得：C=1
直线方程为：
抛物线上的点到直线的距离的最小值等于直线与的距离：
… ………………………………………………………14分
21.解：（Ⅰ）又，所以，即.……2分
又因为对一切实数恒成立，
即对一切实数，不等式，恒成立.
显然，当时，不符合题意.
当时，应满足,
可得，故. 所以 ………… ……5分
（Ⅱ）由于，， ………… ……6分。即： 。

由

所以 ………… ……10分
（Ⅲ）证明：因为，所以. ………11分
要证不等式成立,
即证.
因为,
所以.
所以成立. ……………14分

（如有其它解法，请酌情给分）

11