福建省2011年中考数学试题分类解析汇编-专题12：押轴题.doc

福建省2011年中考数学试题分类解析汇编专题12：押轴题解答题1.（福建福州14分）已知，如图，二次函数图象的顶点为H，与轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线：对称（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BKAH交直线于K点，M、N分别为直线AH和直线上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值【答案】解：（1）依题意，得，解得1=3，2=1，B点在A点右侧，A点坐标为（3，0），B点坐标为（1，0）。直线：，当=3时，点A在直线上。（2）点H、B关于过A点的直线：对称，AH=AB=4。过顶点H作HCAB交AB于C点，则AC=AB=2，HC=。顶点H（1，）。代入二次函数解析式，解得，二次函数解析式为。（3）直线AH的解析式为，直线BK的解析式为，由，解得。K（3，）。则BK=4。过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，过点K作KDAB，垂足为点D。点H、B关于直线AK对称，HN+MN的最小值是MB， 。且QM=MK，QE= KE= KD= ，AEQK。BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值。BKAH，BKQ=HEQ=90。由勾股定理得QB=8。HN+NM+MK的最小值为8。【考点】二次函数综合题，解一元二次方程，轴对称的性质，解二元一次方程组，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。【分析】（1）解出方程，即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线即可判断A是否在直线上。（2）根据点H、B关于过A点的直线：对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HCAB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出，即可得到二次函数解析式。（3）解方程组，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案。2.（福建泉州14分）如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点（1）当点A的坐标为（，p）时，填空：p=_ ，m= _，AOE= _如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形； （2）在图1中，连接EQ并延长交Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化请说明理由【答案】解：（1） 1，60。（2）如图，连接TM，ME，EN，QN，QM ，OE和OP是Q的切线，QEx轴，QTOT，即QTA=90。而lx轴，QEMN。MF=NF。又r=2，EF=1，QF=21=1。四边形QNEM为平行四边形，即QNME。EN=MQ=EQ=QN，即QEN为等边三角形。NQE=60，QNF=30。在四边形OEQT中，QTO=QEO=90，TOE=60，TQE=360-909060=120。TQE+NQE=120+60=180。T、Q、N三点共线，即TN为直径。TMN=90。TNME，MTN=60=TNE。以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形。（3）对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值不会变化。理由如下：如图，连DM，ME，DM为直径，DME=90。而DM垂直平分MN，RtMFDRtEFM。MF2=EFFD。设D（h，k），（h0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（x-h）2+k。又M、N的纵坐标都为1，当y=1时，a（x-h）2+k=1，解得x1=，x2=。MN=2。MF=MN=。 。a=1。对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化，a=1。【考点】一次、二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，切线的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，多边形内角和定理，平行的判定和性质，等腰梯形的判定，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）点A的坐标为（ ，p），点A在直线l：y=1上，p=1，即点A坐标为（ ，1）。点A在直线y=mx上，1= m，解得m=。在RtOBA中，OB=1，AB= ，tanAOB=，AOB =30。AOE=60。（2）作辅助线：连接TM，ME，EN，QN，QM，根据切线的性质得到QEx轴，QTOT，由QEMN，得到MF=NF，而r=2，EF=1，则四边形QNEM为平行四边形，即QNME；同时有QEN为等边三角形，则NQE=60，QNF=30；在四边形OEQT中，QTO=QEO=90，TOE=60，可求出TQE=120，于是有TQE+NQE=120+60=180，即T、Q、N三点共线，得到TN为直径；得到TMN=90，得到TNME，所以MTN=60=TNE，得到以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形。（3）作辅助线：连接DM，ME，根据垂径定理和圆周定理的推论得到DME=90，DM垂直平分MN，所以RtMFDRtEFM，得到MF2=EFFD，设D（h，k），（h0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（x-h）2+k，令y=1，得到x1=，x2=，则MF=MN=，得到），解得a=1。3.（福建漳州14分）如图1，抛物线ymx211mx24m (m0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且BAC90（1）填空：OB_ ，OC_ ；（2）连接OA，将OAC沿x轴翻折后得ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：xn与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l 沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值【答案】解：（1）OB3，OC8。 （2）连接AD，交OC于点E，四边形OACD是菱形，ADOC，OEEC 84。BE431。又BAC90，ACEBAE。AE2BECE144。AE2。点A的坐标为 (4，2) 。把点A的坐标 (4，2)代入抛物线ymx211mx24m，得m。抛物线的解析式为yx2x12。 （3）直线xn与抛物线交于点M，点M的坐标为 (n，n2n12) 。由（2）知，点D的坐标为（4，2），则由C、D两点的坐标求直线CD的解析式为yx4。点N的坐标为 (n，n4)。MN（n2n12）（n4）n25n8。S四边形AMCNSAMNSCMNMNCE（n25n8）4(n5)29 。 当n5时，S四边形AMCN9。【考点】二次函数综合题，解一元二次方程，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）根据二次函数与轴交点坐标求法，由mx211mx24m 0(m0)，解一元二次方程即可得出。（2）利用菱形性质得出ADOC，从而得出ACEBAE，即可得出A点坐标，从而求出二次函数解析式。（3）用待定系数法求出过C、D两点的坐标的直线CD的解析式，从而由S四边形AMCN=SAMN+SCMN利用二次函数的最值求出即可。 4.（福建三明14分）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图）（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图），求PC的长；（2）探究：将直尺从图中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：tanPEF的值是否发生变化？请说明理由；直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长【答案】解：（1）在矩形ABCD中，AD90，AP1，CDAB2，则PB。ABPAPB90 。又BPC90，APBDPC90。ABPDPC。APBDCP。 ， 即 。PC2。（2）tanPEF的值不变。理由如下：过F作FGAD，垂足为G，则四边形ABFG是矩形。APFG90，GFAB2。AEPAPE90。又EPF90，APEGPF90。AEPGPF。APEGPF。 2。RtEPF中，tanPEF2。tanPEF的值不变。（3）线段EF的中点经过的路线长为。【考点】矩形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形斜边上中线的性质，线段中垂线的性质，三角形中位线定理。【分析】（1）由勾股定理求PB，利用互余关系证明APBDCP，利用相似比求PC。（2）tanPEF的值不变过F作FGAD，垂足为G，同（1）的方法证明APBDCP，得相似比 2，再利用锐角三角函数的定义求值。（3）如图2，对EF的中点O，由直角三角形斜边上中线的性质，有POBOEF，即点O 在PB的中垂线上。所以从开始到停止，线段EF的中点经过的路线是一条线段。如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点O1，O2，连接O1O2，线段O1O2即为线段EF的中点经过的路线长，它是PB的中垂线的一段，也是BPC的中位线。由（1），根据三角形中位线定理，O1O2PC。5.（福建厦门11分）已知抛物线y=x2+2mxm2+2的顶点A在第一象限，过点A作ABy轴于点B，C是线段AB上一点（不与点A、B重合），过点C作CDx轴于点D并交抛物线于点P（1）若点C（1，a）是线段AB的中点，求点P的坐标；（2）若直线AP交y轴的正半轴于点E，且AC=CP，求OEP的面积S的取值范围【答案】解：（1）依题意得顶点A的坐标为（2，a），设P（1，n）由顶点坐标公式，得，得m=2。抛物线的表达式为y=x2+4x2。把P点的坐标代入得n=1。即P点的坐标为（1，1）。（2）把抛物线化为顶点式：y=（xm）2+2，可知A（m，2），设C（n，2），把n代入y=（xm）2+2得y=（nm）2+2，所以P（n，（nm）2+2）。AC=CP，mn=2+（mn）22，即mn=（mn）2。mn=0或mn=1。又C点不与端点A、B重合，mn。mn=1。则A（m，2），P（m1，1）。由AC=CP可得BE=AB。OB=2，OE=2m。OPE的面积S=（2m）（m1）=（m）2+（1m2）。0S。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程式的关系，二次函数的性质。【分析】（1）根据题意得顶点A的坐标为（2，a），然后设P（1，n）。由二次函数的顶点得A点的横坐标为2，求得函数的解析式，把P点的坐标代入得n=1，从而求得P点的坐标。（2）把抛物线化为顶点式：y=（xm）2+2，求得其顶点坐标，设C（n，2），然后表示出P（n，（nm）2+2）根据AC=CP求得mn的值，然后表示出OB、OE的值从而表示出OPE的面积，从而求得面积的取值范围。6.（福建龙岩14分）如图，在直角梯形ABCD中，D=BCD=90，B=60，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点(E不与D重合)，过点E作EFAC，交AD于点F(当E运动到C时，EF与AC重合)把DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y。(1) 求CD的长及1的度数；(2) 若点G恰好在BC上，求此时x的值；(3) 求y与x之间的函数关系式。并求x为何值时，y的值最大?最大值是多少?【答案】解：（1）过点A作AMBC于M，B=60，AB=6BM=ABcosB=6=3，AM=ABsinB=6=3。D=BCD=90，四边形AMCD是矩形。CD=AM=3。AD=9，tanDAC=。DAC=30。EFAC，1=DAC=30。CD=3 ，1=30。（2）若点G恰好在BC上，则有GE=DE=x，EC=3x 。1=30，FED=60。GEF=60。GEC=60。GE=2CE，即x=2（3x），解得x=2。（3）EFGEFD，SEFG=SEFD=。 当0x2时，随着x的增大，SEFG增大，此时SEFG就是重叠的面积，即y=SEFG= 。当x= 2时，y达到最大值，为。当x2时，EFG就有一部分在梯形外，如图。GE=DE=x，EC=3x，ME=2（3x）。GM=GEME= x 2（3x）=3 x6。NG=。SMNG =。 此时y= SEFGSMNG = 。当x=时，y最大值=。综上所述，y与x之间的函数关系式为y=；当x=时，y最大值=。【考点】直角梯形的性质，二次函数的最值，全等三角形的判定和性质，翻折变换（折叠问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，矩形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）将AB平移，使点A与点D重合，利用勾股定理，则可得出CD的长度，根据CD与AD的长度关系可得出DAC的度数，也就得出了1的度数。（2）根据点G落在BC上时，有GE=DE=x，EC=3x ，求出GEF=GEC=60，然后根据GE=2CE列出方程即可得出x的值。（3）根据EFGEFD列出y的表达式，从而讨论x的范围，分别得出可能的值即可。 7.（福建莆田14分）已知菱形ABCD的边长为1ADC=60，等边AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动记等边AEF的外心为点P （4分）猜想验证：如图2猜想AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明； （6分）拓展运用：如图3，当AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值若是请求出该定值；若不是请说明理由。【答案】解：（1）证明：如图1，分别连接OE、0F，四边形ABCD是菱形，ACBD，BD平分ADCAO=DC=BC。COD=COB=AOD=90，ADO= ADC= 60=30。又E、F分别为DC、CB中点，OE= CD，OF= BC，AO=AD。0E=OF=OA。点O即为AEF的外心。（2）猜想：外心P一定落在直线DB上。证明如下：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PICD于I，PJAD于J，PIE=PJD=90。ADC=60，IPJ=360PIEPJDJDI=120，点P是等边AEF的外心，EPA=120，PE=PA。IPJ=EPA。IPE=JPA，PIEPJA（AAS）。PI=PJ。点P在ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。 为定值2。当AEDC时AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为AEF的外心。如图3设MN交BC于点G，设DM=x，DN=y（x0yO），则CN=y1。BCDA，GBPMDP。BG=DM=xCG=1x。BCDA，GBPNDM。 ，即。xy=2xy。 ，即 =2。【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，菱形的性质，三角形的外接圆与外心。【分析】（1）首先分别连接OE、0F，由四边形ABCD是菱形，即可得ACBD，BD平分ADCAO=DC=BC，又由E、F分别为DC、CB中点，即可证得0E=OF=OA，则可得点O即为AEF的外心。（2）首先分别连接PE、PA，过点P分别作PICD于I，PJAD于J，即可求得IPJ的度数，又由点P是等边AEF的外心，易证得PIEPJA，可得PI=PJ，即点P在ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。当AEDC时AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为AEF的外心由GBPMDP，即可为定值2。8.（福建南平14分）定义：对于抛物线yax2bxc ( a、b、c是常数，a0)，若b2ac，则称该抛物线为黄金抛物线例如：y2x22x2是黄金抛物线（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式_ ；（2）若抛物线yax2bxc ( a、b、c是常数，a0)是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（3）将黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位 直接写出平移后的新抛物线的解析式； 设中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 注：第小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图（画图不计分） 【提示：抛物线yax2bxc (a0)的对称轴是x，顶点坐标是 (，)】xy1Oy2345123412345-1-2-3-4-5【答案】解：（1）y=x2，y=x2x1，y=x22x4等。（2）依题意得b2=ac=b24ac=b24b2=3b2。当b=0时，=0，此时抛物线与x轴有一个公共点。当b0时，0，此时抛物线与x轴没有公共点。（3）新抛物线的解析式为y=2x22x1。存在。有四个符合条件的点P的坐标：（0，1），（1，1），（， ），（ ， ）。【考点】二次函数综合题，一元二次方程根的判别式，平移的性质，全等三角形的判定。【分析】（1）利用b2=ac即b2-ac=0的抛物线为黄金抛物线。（2）根据题意得到b2=ac，然后结合根的判别式即可求得其根的判别式，根据判别式得到抛物线与x轴的交点情况即可。（3）根据抛物线的平移规律即可得到平移后的抛物线的解析式：y2x22x22（x）2向下平移3个单位，得y2（x）232x22x1。然后利用直角三角形的性质即可得到使以点P、Q、B为顶点的三角形与AOB全等的点P的坐标： 如图，可求A（0，1），B（，0），OA=1，OB=，AOB=900。过点A作AQ1y轴，交抛物线对称轴于Q1，交抛物线于P2，此时得到满足条件的点P1（0，1），P2（1，1）。在抛物线对称轴上取点Q2，使B Q2=，过Q2作y轴的垂线交抛物线于P3，P4，此时得到满足条件的点P3（， ），P4（ ， ）。9.（福建宁德13分）直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点E从B点，出发以每秒1个单位的速度沿线段BO向O点移动（与B、O点不重合），过E作EFAB，交x轴于F.将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形DCEF，设点E的运动时间为秒直线与坐标轴交点坐标是A（_，_），B（_，_）；画出t2时，四边形ABEF沿EF折叠后的图形（不写画法）；若CD交y轴于H点，求证：四边形DHEF为平行四边形；并求为何值时，四边形DHEF为菱形（计算结果不需化简）；设四边形DCEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于的函数表达式，并求出S的最大值【答案】解： 6，0；0，6。如图，四边形DCEF即为四边形ABEF沿EF折叠后的图形：四边形DCEF与四边形ABEF关于直线EF对称，又ABEF，CDEF。OAOB，AOB90，BAO45。ABEF，AFE135。DFEAFE135。AFD360213590，即DFx轴。DFEH。四边形DHEF为平行四边形。要使DHEF为菱形，只需EFDF。ABEF，FABEBA，FAEB。DFFAEB。又OEOF6，EF。当时，DHEF为菱形。分两种情况讨论：当03时，四边形DCEF落在第一象限内的图形是DFG，S。S，在0时，S随增大而增大，t3时，S最大。当36时， 四边形DCEF落在第一象限内的图形是四边形DHOF。S四边形DHOFSDGFSHGO。S。0，S有最大值。当4时，S最大6.。综上所述，当S4时，S最大值为6。【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，平行的性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定，菱形的性质，动点问题，二次函数的最值。【分析】（1）在令，得；令，得。直线与坐标轴交点坐标是A（6，0），B（0，6）。作点A、B关于EF的对称点D、C，连接 DC，AD，CB，四边形DCEF即为四边形ABEF沿EF折叠后的图形。（2）由轴对称和平行的性质，得到DFEH即可证得四边形DHEF为平行四边形。要使其为菱形，只要邻边相等，在此条件下求出的值即可。（3）分03和36两种情况讨论，利用二次函数的最值即可求解。16用心 爱心 专心