线性代数5习题讲解.ppt

单击此处编辑母版标题样式,定义,向量内积的定义及运算规律,定义,向量的长度具有下列性质：,向量的长度,定义,向量的夹角,所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零,向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正,交基,定理,定义,正交向量组的性质,施密特正交化方法,第一步正交化,第二步单位化,定义,正交矩阵与正交变换,方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行,（列）向量都是单位向量，且两两正交,定义,若为正交矩阵，则线性变换称为,正交变换,正交变换的特性在于保持线段的长度不变,定义,方阵的特征值和特征向量,有关特征值的一些结论,定理,定理,属于同一个特征值的特征向量的非零线性,组合仍是属于这个特征值的特征向量,有关特征向量的一些结论,定义,矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性；,(3)传递性,相似矩阵,有关相似矩阵的性质,若与相似，则与的特征多项式,相同，从而与的特征值亦相同,(4)能对角化的充分必要条件是有个线,性无关的特征向量,(5)有 个互异的特征值，则 与对角阵相似,实对称矩阵的相似矩阵,定义,二次型,二次型与它的矩阵是一一对应的,定义,二次型的标准形,化二次型为标准形,定义,正定二次型,惯性定理,注意,正定二次型的判定,一、证明所给矩阵为正交矩阵,典型例题,二、将线性无关向量组化为正,交单位向量组,三、特征值与特征向量的求法,四、已知的特征值，求与,相关矩阵的特征值,五、求方阵的特征多项式,六、关于特征值的其它问题,七、判断方阵可否对角化,八、利用正交变换将实对称,矩阵化为对角阵,九、化二次型为标准形,一、证明所给矩阵为正交矩阵,证明,将线性无关向量组化为正交单位向量组，可,以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与,单位化,二、将线性无关向量组化为正交单位 向量组,解一,先正交化，再单位化,解二,同时进行正交化与单位化,第三步,将每一个特征值代入相应的线性方程组，,求出基础解系，即得该特征值的特征向量,三、特征值与特征向量的求法,第一步,计算的特征多项式；,第二步,求出特征多项式的全部根，即得的全部,特征值；,解,第一步计算的特征多项式,第三步求出的全部特征向量,解,四、已知的特征值，求与相关 矩阵的特征值,解,五、求方阵的特征多项式,解,六、关于特征值的其它问题,方法一,方法二,方法三,解,七、判断方阵可否对角化,解,(1)可对角化的充分条件是有个互异的,特征值下面求出的所有特征值,解,第一步求A的特征值由,八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵,九、化二次型为标准形,解,第一步将表成矩阵形式,解,第五章测试题,一、填空题(每小题4分，共32分),二、计算题（共40分）,三、证明题（共20分）,四、（8分）设二次型,经正交变换 化成,测试题答案,