线性代数1-5章习题教学文稿.doc

线性代数1-5章习题

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线
性
代
数
习
题
集

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第一章 行 列 式

一、判断题
1．行列式如果有两列元素对应成比例，则行列式等于零. ( 1 )
2. .( 2 )
3. ( 1)
4. ( 1 )
5. ( 1 )
6. 阶行列式中元素的代数余子式为阶行列式. ( 1 )
7. .( 2 )
8. ( 2 )
9．如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零. ( 1 )
10. 如果方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不为零，则方程组一定有解. (1 )
二、选择题
1．若是5阶行列式中带正号的一项，则的值为（　B　）．
A. B.
C. D.
2.下列排列是偶排列的是（ C）
A. 4312 B. 51432 C. 45312 D. 654321
3.若行列式， 则x=( C ).
A.–2 B. 2 C. -1 D. 1
4.行列式的值等于（B ）.
A. B. C. D.
5.设abc≠0，则三阶行列式的值是（　C　　）.
A．a B．-b C．0 D．abc
6.设行列式=1，=2，则=（　　D　）.
A．-3 B．-1 C．1 D．3
7.设非齐次线性方程组有唯一解，则必须满足（　　D　）.

8. 是按（ B ）展开的.
A．第2列 B．第2行 C．第1列 D．第1行
9.设则下式中（　B　　）是正确的.

10. 的的代数余子式的值为（　C　　）.
A. 3 B. -3 C. 5 D. -5
三、填空题
1． 排列的逆序数是____13____.
2． 四阶行列式中的一项应取的符号是____正___.
3.若 则k=_1/2__________.
4.行列式中元素的代数余子式A32=____-2________.
5.=_____5_____.
6.行列式=__-1____.
7.行列式=______24____.
8.非零元素只有行的阶行列式的值等于_____0_____.
9. 则____16______.
10. 阶行列式中元素的代数余子式与余子式之间的关系是____ ______，按第列展开的公式是__________.

第二章 矩 阵

一、判断题
1.若是矩阵，是矩阵，则是矩阵. ( 1 )
2.若且则( 2 )
3. 的解. ( 2 )
4.若是阶对称矩阵，则也是阶对称矩阵. ( 1 )
5. 阶矩阵为零矩阵的充分必要条件是 ( 2 )
6. 若为同阶可逆矩阵，则. ( 2 )
7. . ( 2 )
8. 阶矩阵为逆矩阵的充分必要条件是 ( 1 )
9.设为同阶方阵，则 . ( 2 )
10.设 为阶可逆矩阵，则 .( 1 )
二、选择题
1. 若为阶矩阵，则下式中（　D　　）是正确的.

2.若，则下列运算有意义的是（　　A　）.

3.若，做乘积则必须满足（　C　　）.

4.矩阵的伴随矩阵（　　D　）
A． B． C． D．
5.设2阶矩阵，则（　A　　）
A． B． C． D．
6. 矩阵的逆矩阵是（　C　　）
A． B． C． D．
7. 设2阶方阵A可逆，且A-1=，则A=（　B　　）.
A． B． C． D．
8. 阶矩阵行列式为则的行列式为（　　　B）.
A. B. C. D.
9. 设为阶矩阵满足且可逆，则有（C ）.
互为逆矩阵
10.设是任意阶矩阵，则（ C ）是对称阵.

三、填空题
1.设矩阵，，则 _____________
2.设A=，B=则AB =___________.
3.设矩阵A=，B=，则ATB=______7______.
4.(1，2，3)=______ ____.
5.=__________.
6.＝________ ______________.
7.设2阶矩阵A=，则A*A=_____ ________.
8.设矩阵A=，则行列式|A2|=_____4_____.
9.设A=，且det(A)=ad-bc≠0，则A-1=____ ______ .
10. 设 为阶可逆矩阵，则 _____ __________.

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

一、选择题
1．设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条件是（ B ）
(A) (B)
(C) (D)
2．设是矩阵，则线性方程组有无穷解的充要条件是（ D ）
(A) (B)
(C) (D)
3．设是矩阵，非齐次线性方程组的导出组为，若，则（ C ）
(A) 必有无穷多解 (B) 必有唯一解
(C) 必有非零解 (D) 必有唯一解
4．已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是导出组的基础解系，为任意常数，则的通解是（ B）
(A) (B)
(C) (D)
5．设为矩阵，则下列结论正确的是（D ）
(A) 若仅有零解 ，则有唯一解
(B) 若有非零解 ，则有无穷多解
(C) 若有无穷多解 ，则仅有零解
(D) 若有无穷多解 ，则有非零解
6．线性方程组 （ C ）
(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只有零解
二、判断题
1．若是线性方程组的两个解向量， 则是方程组的解。 1
2．设向量是元线性方程组的解向量，那么也是这个方程组的一个解向量。 1
3．若是的解,若是的解，则是的解。 1
4．元线性方程组当时有无穷多解。 2
5．设是阶方阵,若方程组满足,则有唯一解。 2
6．对于线性方程组 (这里为n阶方阵), 如果该方程组有解，则必有 2
7．设,都是阶方阵,若,则必有
8．若线性方程组有解,则的秩一定为零。2
9．设是阶方阵,则。1
10．设矩阵的秩为，则中必有一个级子式不为零。1
11．设为元线性方程组，则秩时有无穷组解。2
12．若，且，则。2
13．对于具相同系数矩阵的非齐次方程组(I)： 及 (II)：, 成立以下结论：
若方程组(I)有解，则方程组(II)必然也有解。2
14．方程组 中，方程个数少于未知量个数，因而方程组有无限多解。2
15．若是的解，则也是的解。2

三、填空题
1．矩阵的秩为_____2_____。
2．=, 则 =__________。
3．设是阶方阵，且秩，则齐次线性方程组的基础解系中含 . 个解向量。
4．矩阵的秩为 2 。
5．方程组 的解空间的维数为 2 。
6．设是元齐次线性方程组的基础解系，则秩()= 。
7．矩阵的秩为，则的基础解系一定由________个线性无关的解向量构成。
8．若方程组有非零解，则 。 3
9．已知方程组 有无穷多解，则必有 -1 。
10．设是阶方阵,若线性方程组有非零解,则必有 0 。
11．设是矩阵,,又,则 2 。
12．齐次线性方程的解空间为___n-1______维线性空间。
13．设是阶方阵,,则线性方程组的基础解系所含向量的个数是 2 。
14．设阶方阵满足,为阶单位阵,则 n 。
15．非齐次线性方程组有解的充分必要条件是 。

第四章 向量组的线性相关性
一、选择题
1．下列说法正确的是（ D ）
（A）若有不全为零的数，使得，则 线性无关
（B）若有不全为零的数，使得，则线性无关
（C）若线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示
（D）任何个维向量必线性相关
2．设为阶方阵，且，则（ D）。
（A）中两行（列）对应元素成比例
（B）中任意一行为其他行的线性组合
（C）中至少有一行元素全为零
（D）中必有一行为其他行的线性组合
3．设为阶方阵，，则在的个行向量中（ A ）。
（A）必有个行向量线性无关
（B）任意个行向量线性无关
（C）任意个行向量都构成极大线性无关组
（D）任意一个行向量都能被其他个行向量线性表示
4．阶方阵可逆的充分必要条件是（ B ）
（A） （B）的列秩为
（C）的每一个行向量都是非零向量 （D）的伴随矩阵存在
5．维向量组线性无关的充分条件是( B )
（A）都不是零向量
（B）中任一向量均不能由其它向量线性表示
（C）中任意两个向量都不成比例
（D）中有一个部分组线性无关
6．维向量组线性相关的充要条件是( D )
（A）中至少有一个零向量
（B）中至少有两个向量成比例
（C）中任意两个向量不成比例
（D）中至少有一向量可由其它向量线性表示
7．维向量组线性无关的充要条件是( C )
（A）存在一组不全为零的数，使得
（B）中任意两个向量都线性无关
（C）中任意一个向量,都不能被其余向量线性表示
（D）中任一部分组线性无关
8．设均为维向量,那么下列结论正确的是( B )
（A）若，则线性相关
（B）若对于任意一组不全为零的数,都有,则线性无关
（C）若线性相关,则对任意不全为零的数,都
（D）若,则线性无关
9． 已知向量组线性无关，则向量组（ C ）
（A）线性无关
（B）线性无关
（C）线性无关
（D）线性无关
10．若向量可被向量组线性表示，则（ C ）
（A）存在一组不全为零的数，使得
（B）存在一组全为零的数，使得
（C）存在一组数，使得
（D）对的表达式唯一
二、填空题
1．, , 线性相关 ,则的值为____4______。
2．若向量 与 线性相关，则的取值为 0 。
3．设向量组，，,则向量组的秩是 2 。
4．已知向量组，则当常数满足___或者互不相等_____时该向量组线性无关。
5．设向量组I： 的秩为， 向量组II： 秩为， 且向量组I 能由向量组II线性表出，则与的大小关系是___ ______________。
6．设线性无关，且，
则向量组的秩为3 。
7．，则齐次线性方程组的任一基础解系所含向量个数为
2 。
8．设向量组 I:线性无关，而 都能由I 线性表出，则秩( )
= S 。
9．当 时,向量组线性相关。
10．已知一个向量组含有两个或两个以上的最大线性无关组,则各个最大线性无关组所含向量的个数必定 相等 。
11．设向量组线性相关,则向量组线性 相关 。
12．设是阶方阵,,则线性方程组的基础解系所含向量的个数是 2 。
13．向量是的一组基，则向量在该基下的坐标为 。
14．设向量 与向量线性相关, 则-10 。
15．设，， 是的一组基，则在该基下的坐标为 。
三、判断题
1．维向量组必线性相关。1
2．如果向量组线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例。2
3．若向量组线性相关，则组中任一向量都可由其余向量线性表示。2
4．向量组中任意两个向量都线性无关，则向量组线性无关。2
5．若是线性方程组的两个解向量， 则是方程组的解。1
6．向 量 组( I ): 与向量组( II ):等价。1
7．设向量组I： 是向量组II：的部分组，如果向量组I线性相关，则向量组II也线性相关。1
8．设向量组I：是向量组II：的部分组，如果向量组I线性无关，则向量组II也线性无关。2
9．如果向量组 线性无关，则向量组 也线性无关。1
10．如果向量组 线性无关，则该向量组的任何部分组必线性无关。1
11．设向量组线性无关,于是向量组也线性无关。1
12．设维向量组线性相关,于是也线性相关,其中为一维向量。1
13．若向量组线性相关,则一定可由线性表示。2
14．设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)可互相线性表示,则秩(Ⅰ)= 秩(Ⅱ)。1
15．设向量组线性相关,则该向量组中一定含有零向量。2
16．若是的解,若是的解，则是的解。1
17．包含零向量的向量组是线性相关的。1
18．若是的解，则也是的解。2

第五章 相似矩阵及二次型
一、判断题
1.线性无关的向量组必是正交向量组.( 2 )
2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( 1 )
3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( 1 )
4.若n阶矩阵A与B相似,则A与B不一定等价.( 2)
5.若阶矩阵A有n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.( 1 )
6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( 1 )
7. 相似矩阵的行列式必相同.( 1 )
8.若阶矩阵和相似，则它们一定有相同的特征值.(1 )
9．阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( 1 )
10. 若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.( 1 )
二、单项选择题
1. 设,则的特征值是( A ).
(A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2
2. 若分别是方阵的两个不同的特征值对应的特征向量,则也是的特征向量的充分条件是( D ).
(A) (B) (C) (D)
3. 若阶方阵的特征值相同,则( B ).
(A) (B) (C) 与相似 (D) 与合同
4. 设为阶可逆矩阵, 是的特征值,则的特征根之一是(B ).
(A) (B) (C) (D)
5. 矩阵A的属于不同特征值的特征向量（ B）.
(A)线性相关 (B)线性无关
(C)两两相交 (D)其和仍是特征向量
6. 是阶矩阵与相似的( C ).
(A)充要条件 (B)充分而非必要条件
(C)必要而非充分条件 (D)既不充分也不必要条件
7. 若阶方阵与某对角阵相似,则( C).
(A) (B) 有个不同的特征值
(C) 有个线性无关的特征向量 (D) 必为对称阵
8.阶对称矩阵正定的充分必要条件是（ D ）.
(A) (B)存在阶阵C，使
(C)负惯性指数为零 (D)各阶顺序主子式为正
9．设为n阶方阵，则下列结论正确的是（C ）.
(A)A必与一对角阵合同
(B)若A的所有顺序主子式为正，则A正定
(C)若A与正定阵B合同，则A正定
(D) 若A与一对角阵相似，则A必与一对角阵合同
10．设A为正定矩阵，则下列结论不正确的是（ C ）.
(A)A可逆 (B)正定
(C)A的所有元素为正 (D)任给
二、填空题
1. n阶零矩阵的全部特征值为___0____.
2. 若，则的全部特征值为_ O或-1______.
3. 设三阶矩阵的特征值分别为-1,0,2,则行列式 7 .
4. 特征值全为1的正交阵必是 单位阵 阵.
5. 若，与相似，则 -17 ，= -12 .
6.二次型的秩为 3 .
7.若正定，则t的取值范围是 .
8.设是正定矩阵，则满足条件 .
9．二次型的负惯性指数是___1_______.
10．二次型的矩阵为 .
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