高考复习教学案：6.2等差数列及其前n项和(人教A版).doc

　等差数列及其前n项和

1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．
4．了解等差数列与一次函数的关系．　　　
基础知识
1．等差数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第__________项起，每一项与它的前一项的差等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__________，通常用字母__________表示，定义的表达式为__________．
(2)等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么__________叫做a与b的等差中项且__________．
(3)通项公式：如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝__________.
2．等差数列的前n项和
已知条件
首项a1，末项an
首项a1和公差d
选用公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}是__________，公差为__________．
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}是__________．
(5)若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为__________的等差数列．
(6)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n组成新的__________．
(7)若项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)(an，an＋1为中间两项)，且S偶－S奇＝__________，＝.
若项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项)，且S奇－S偶＝__________，＝__________.
(8)关于等差数列的规律
①等差数列{an}中，若an＝m，am＝n(m≠n)，则am＋n＝0.
②等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．
③等差数列{an}中，若Sn＝Sm(m≠n)，则Sm＋n＝0.
④若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与S′n，则＝.
4. 等差数列的判定方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；
(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；
(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.
提醒：等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断．

典型例题
一、等差数列的判定与证明
【例1】 已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)．
(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？
(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．

二、等差数列的基本量的计算
【例2】 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和Sn满足S5S6＋15＝0.
(1)若S5＝5，求S6及a1；
(2)求d的取值范围．

三、等差数列性质及最值问题
【例3－1】 (1)设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180(n＞6)，求数列的项数n及a9＋a10；
(2)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，求的值．
【例3－2】 已知{an}为等差数列，若＜－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n等于多少？
方法提炼
1．解决等差数列问题，熟练掌握等差数列的有关性质，寻找项与前n项和之间的关系是解题关键．
2．在等差数列{an}中，有关Sn的最值问题：
(1)a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm.
(2)当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
(3)关于最值问题，除上面介绍的方法外，还可利用等差数列与函数的关系来解决，等差数列的前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋n，Sn可看成关于n的二次函数式且常数项为0，利用二次函数的图象或配方法解决最值问题．

等差数列主观题的规范解答
【典例】 (12分)(2012广州模拟)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.
规范解答：(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以有

解得(3分)
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.(6分)
(2)由(1)知an＝2n＋1，
所以bn＝＝＝·
＝·，(9分)
所以Tn＝·
＝·＝，(11分)
即数列{bn}的前n项和Tn＝.(12分)
巩固提升
1．(2012辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　)．
A．12 B．16 C．20 D．24
2．(2012福建高考)数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2 012等于(　　)．
A．1 006 B．2 012 C．503 D．0
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S15＞0，S16＜0，，，…，中最大的是(　　)．
A. B. C. D.
4．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列．
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S15＝225.
(1)求数列{an}的通项an；
(2)设bn＝＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.

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