浙江省杭州市重点高中2013届高考数学4月命题比赛参赛试题18.doc

浙江省杭州市重点高中2013届高考数学4月命题比赛参赛试题18
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页。满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 如果事件A、B相互独立，那么
P(A+B)=P(A)+P(B) P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n 次独立重复试验中恰好发生k次的概率

台体的体积公式 球的表面积公式

其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积 球的体积公式
h表示台体的高

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）(根据10年浙江卷改编)设
（A） （B）
（C） （D）

（2 ） 已知等比数列的公比为正数，
且·= 4，=1，则=
(A) . (B). (C). (D).2
(3 )（2010年辽宁卷）如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m， 满足n≥m，那么输出的P等于
（A） (B)
(C) (D)
（4）对于数列，“”是“为递增数列”的
（A）充分而不必不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）（2010年浙江卷）对任意复数为虚数单位，则下列结论正确的是
（A） （B） （C） （D）
（6）（2009浙江卷文）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（7）若实数满足不等式组且的最大值为9，则实数
（A）-2 （B）-1 （C）1 （D）2

（8） （2010年辽宁卷改编）设抛物线y2=-8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,
PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为, 那么|PF|=
(A) (B)8 (C) (D) 16
（9）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是
（A）[-4，-2] （B）[-2，0] （C）[0，2] （D）[2，4]
（10）（改编）某小区召开代表大会，规定各幢楼的居民中，每10人推选一名代表 ，当居民人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各幢楼可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]( [x]表示不大于x的最大整数)可以表示为
A. B. C. D.

2013年高考模拟试卷 数 学（理科）
非选择题部分（共100分）
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
（11）（2010年四川卷改编）的展开式中的常数项为_________.
（12）设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，
则该双曲线的离心率等于
（13） （2010年辽宁卷改编）如图，网格纸的
小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了
某多面体的三视图，则这个多面体的体积为
（14）设
=，将的最小值记为，则 其中 。
（15）（2009广东卷理改编）已知等比数列满足，且，则当时，
（16）已知平面向量满足的夹角为120° 。
（17）中国从5名外交官中选派4人去日本、韩国、菲律宾参加公益活动，每人一个国家， 要求去日本两人参加，去韩国一人参加，去菲律宾一人参加，则不同的选派方法共有 （用数字作答）。
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（18）（10年浙江卷改编）（本题满分14分）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知
（I）求的值； （II）当a=2，时，求b的长及的面积.

（19）(2009湖南卷理)（本小题满分14分）.
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。
（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。

（20）(原创)（本题满分15分）
如图所示，等腰三角形△ABC的底边AB=，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。
（1）求V(x)的表达式；
（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？
（3）当V（x）取得最大值时，求异面 直线AC与PF
所成角的余弦值。

（21）（2008年宁夏卷改编）（本题满分15分）
在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．
（I）求的取值范围；
（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．

（22）（2010年湖南理改编）（本题满分14分）
数列中，是函数的极小值点
（Ⅰ）当a=0时，求通项；
（Ⅱ）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

2013年高考模拟试卷 数 学(理) 答卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．________________________ 12．________________________
13． 14．________________________
15． 　 16．
17．
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（14分）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知
（I）求的值；
（II）当a=2，时，求b的长及的面积.

19．（14分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。
（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。

20．（14分）如图所示，等腰三角形△ABC的底边AB=，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。
（1）求V(x)的表达式；
（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？
（3）当V（x）取得最大值时，求异面 直线AC与PF
所成角的余弦值。

21．（15分）在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．
（I）求的取值范围；
（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．

22．（15分）数列，是函数的极小值点
（Ⅰ）当a=0时，求通项；
（Ⅱ）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

2013年高考模拟试卷数学参考答案与评分标准
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
（1）A （2）B （3）D （4）B （5）D
（6）C （7）C （8）B （9）A （10）B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。
（11）-5 （12） （13）
（14） （15）
（16） （17）60
三、解答题：本大题共5小题，共72分。
（18）本题主要考查三角交换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。
（Ⅰ）解：因为，
及
所以
（Ⅱ）解：当时，
由正弦定理，得

由及得

由余弦定理，得

解得

（19）本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同 时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。
解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（）=，P（）=，P（）=
（1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6=
(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，），且=3。
所以P（=0）=P（=3）==，.
P（=1）=P（=2）= =
P（=2）=P（=1）==
P（=3）=P（=0）= =
故的分布是

0
1
2
3
P

的数学期望E=0+1+2+3=2
解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件，
i=1,2,3 ，由此已知，·D，相互独立，且
P（）-（，）= P（）+P（）=+= .
所以--,既，
故的分布列是

1
2
3

(20)本题主要考查空间点、线、面位置关系,同时考察利用导数求单调性的问题，考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。
（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，，

（2），所以时，>0，单调递增；时<0 ，单调递减；因此x=6时，取得最大值；
（3）过F作MF//AC交AD与M,则，PM=，
，
在△PFM中， ，
∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为；

（21）本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分
解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，
代入椭圆方程得．
整理得　　　①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，
解得或．即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，
由方程①，．　　　②
又．　　　　③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．

（22） 本题重点考察了学生的研究能力。本题考察了导数的运算，导数与单调性的关系；等比数列的通项公式，简单递推数列；不等式证明：数学归纳法，构造法；通过多情况分类讨论，考察了学生的严密性；通过不断的转化化归，查考学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力。满分14分。
易知：
令
（1）

（2）
（3）
Ⅰ：

由此猜想：当
用数学归纳法证明：
事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立。
假设
、

故当
由（2）知，当
综上所诉，。
Ⅱ：
事实上，由（2）知，若对任意n，都有
即数列是首项为a，公比为3的等比数列，且
而要使
设
令
因此：
故当
于是当
这说明，当
当
由（3）知：
当
综上所述：存在a，

14