【全程复习方略】(浙江专用)2013版高考数学-6.4基本不等式课时体能训练-理-新人教A版.doc

【全程复习方略】（浙江专用）2013版高考数学 6.4基本不等式课时体能训练 理 新人教A版
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(易错题)下列不等式①a2＋1>2a；②x2＋≥1；③≤2；④sin2x＋≥4.
其中正确的不等式的个数是(　　)
(A)1　　　(B)2　　　(C)3　　　(D)4
2.(2012·义乌模拟)已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
(A)m≥4或m≤－2
(B)m≥2或m≤－4
(C)－2<m<4
(D)－4<m<2
3.设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则＋的最小值是(　　)
(A)4 (B)6 (C)8 (D)10

4.已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)
(A)3 (B)4 (C) (D)
5.若a>0，b>0，且a＋b＝1，则ab＋的最小值为(　　)
(A)2 (B)4 (C) (D)2
6.设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为(　　)
(A)4 (B) (C)1 (D)2
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·杭州模拟)函数y＝x＋(x>1)的最小值为　　　　.
8.(预测题)若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是　　　　.
9.x，y，z为正实数，x－y＋2z＝0，则的最大值为　　　　.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，
求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值.
11.(2012·银川模拟)某食品加工厂定期购买玉米，已知该厂每天需用玉米6吨，每吨玉米的价格为1 800元，玉米的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买玉米每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次玉米，才能使平均每天所支付的费用最少？
【探究创新】
(16分)设矩形ABCD(AB>AD)的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后交CD于点P，如图，设AB＝x，求△ADP的面积的最大值，及此时x的值.

答案解析
1.【解析】选A.∵a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，故①错；
∵x2＋＝x2＋1＋－1≥2－1＝1，
等号成立的条件为x＝0，故②对；
当a，b均大于零时，a＋b≥2，即≥2，故③错；
sin2x＋≥4等号不成立，
故④错，故选A.
2.【解析】选D.∵x>0，y>0，且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋
≥4＋2＝8，当且仅当＝，即4y2＝x2，x＝2y，又＋＝1即x＝4，y＝2等号成立.
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m成立，即8>m2＋2m，
解得－4<m<2.
3.【解析】选C.＝－＝(a－1,1)，
＝－＝(－b－1,2)，
∵与共线，
∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1.
∵a>0，b>0，
∴＋＝(＋)(2a＋b)
＝4＋＋≥4＋4＝8，
当且仅当＝，即b＝2a时等号成立.
4.【解析】选B.因为x＋2y＋2xy＝8，
所以y＝，所以x＋2y＝x＋
＝x＋＝(x＋1)＋－2
≥2－2＝4(当且仅当x＋1＝，
即x＝2时等号成立，此时y＝1)，选B.
【一题多解】本题可以利用基本不等式转化为一元二次不等式求解.
因为x＋2y≥2，所以2xy≤()2，
所以x＋2y＋2xy≤x＋2y＋，
设x＋2y＝A，则A＋≥8，
即A2＋4A－32≥0，解此不等式得A≤－8(舍去)或A≥4，即x＋2y≥4.∴最小值为4.
5.【解题指南】由已知利用基本不等式得ab的取值范围而后换元利用函数的单调性求解.
【解析】选C.由a＋b＝1，a>0，b>0得
2≤a＋b＝1，∴≤，
∴ab≤.
令ab＝t，则0<t≤，
则ab＋＝t＋，结合函数的图象可知t＋在(0，]上单调递减，故当t＝时，t＋有最小值为＋4＝.
6.【解题指南】作出可行域确定最大值点，从而得a，b的关系式，利用“1”的代换求解.
【解析】选A.作出可行域如图

由图可知目标函数过A点时z取最大值，
由得，
故4a＋6b＝12，即＋＝1，
∴＋＝(＋)(＋)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当3b＝2a时等号成立，又2a＋3b＝6，即a＝，b＝1时等号成立.
7.【解析】∵x>1，∴y＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3.
答案：3
8.【解析】因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，所以有＝≤＝，即的最大值为，故a≥.
答案：[，＋∞)

【方法技巧】不等式恒成立问题的解题方法
不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解：
c≥f(x)恒成立c≥f(x)max；
c≤f(x)恒成立c≤f(x)min.
【变式备选】已知x>0，y>0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是　　　　.
【解析】由x>0，y>0，xy＝x＋2y≥2，得
xy≥8，等号当且仅当x＝2y时取得.
又m－2≤xy恒成立，故只需m－2≤8，即m≤10.
∴m的最大值为10.
答案：10
9.【解题指南】由已知用x，z代换y后，分子分母同除以xz后利用基本不等式求解.
【解析】＝＝＝≤.等号当且仅当x＝2z时取得.
答案：
10.【解题指南】把2x＋8y－xy＝0转化为＋＝1即可.
【解析】(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2＝，得xy≥64，
当且仅当＝时，等号成立.
所以xy的最小值为64.
(2)方法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，
∵x＞0，∴y＞2，
则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，
当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时，等号成立.
∴x＋y的最小值为18.
方法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝(＋)·(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当＝，且＋＝1时等号成立，
∴x＋y的最小值为18.
11.【解题指南】平均每天所支付的费用＝，先列出平均每天所支付的费用的函数解析式，再利用基本不等式求其最值.
【解析】设该厂应每隔x天购买一次玉米，其购买量为6x吨，由题意知，玉米的保管等其他费用为
3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]
＝3×＝9x(x＋1)，
设平均每天所支付的费用为Y1元，
则Y1＝＋1 800×6＝9x＋＋10 809
≥2＋10 809＝10 989，
当且仅当9x＝，即x＝10时取等号.
该厂每隔10天购买一次玉米，才能使平均每天所支付的费用最少.
【变式备选】围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面围墙利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，所需费用为y元.
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用.
【解析】(1)设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360
由已知xa＝360，得a＝，
所以y＝225x＋－360(x>0).
(2)∵x＞0，∴225x＋≥2＝10 800，
∴y＝225x＋－360≥10 440.
当且仅当225x＝时，等号成立.
即当x＝24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元.
【探究创新】
【解析】∵AB＝x，∴AD＝12－x，
又DP＝PB′，AP＝AB′－PB′＝AB－DP，
即AP＝x－DP，
∴(12－x)2＋PD2＝(x－PD)2，
得PD＝12－，
∵AB>AD，∴6<x<12，
∴△ADP的面积S＝AD·DP
＝(12－x)(12－)
＝108－6(x＋)≤108－6·2＝108－72
当且仅当x＝即x＝6时取等号，
∴△ADP面积的最大值为108－72，此时x＝6.

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