2014届山东省高考压轴卷文科数学试题及答案.doc

2014山东省高考压轴卷
文科数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．
0
B．
0 B.1

C.2

D.3
2. 复数，则复数在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知直线平面，直线∥平面，则“”是“”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件
4. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，a3=5，Sk+2﹣Sk=36，则k的值为（　　）

A．
8
B．
7
C．
6
D．
5

5．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（　　）

A．
4
B．
8
C．
16
D．
20
6.一个算法的程序框图如图所示，如果输入的x的值为2014，则输出的i的结果为（　　）

A．
3
B．
5
C．
6
D．
8

7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其 中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（　　）

A.[6K-1，6K+2](K∈Z) B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)
C.[3k-1,3k+2] (K∈Z) D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)

8．在约束条件下，目标函数的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)

9. 直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为（　　）

A．
5
B．
6
C．
7
D．
8
10. 已知函数f（x）=ln（ex﹣1）（x＞0）（　　）

A．
若f（a）+2a=f（b）+3b，则a＞b
B．
若f（a）+2a=f（b）+3b，则a＜b

C．
若f（a）﹣2a=f（b）﹣3b，则a＞b
D．
若f（a）﹣2a=f（b）﹣3b，则a＜b

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出100名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．其中成绩分组区间是[40，50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90) ,[90,100]．则成绩在[80 ,100]上的人数为__________.
12.设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k存在两个零点，则实数k的取值范围是　________________.
．
13. 设数列是公差为1的等差数列，且a1=2，则数列{lgan}的前9项和为_______________．
14. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是________________．
15.若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是__________________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．
16.在△ABC中，已知A=，．
(I)求cosC的值；
(Ⅱ)若BC=2，D为AB的中点，求CD的长．
17.如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2．
（1）求证：B1B∥平面D1AC；
（2）求证：平面D1AC⊥平面B1BDD1．

组号
分组
频数
频率
第1组

第2组

第3组

第4组

第5组

合计

18.某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取名学生的成绩（得分均为整数，满分分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若从成绩较好的第、、 组中按分层抽样的方法抽取人参加社区志愿者活动，并从中选出人做负责人，求人中至少有1人是第四组的概率．
19. 设数列的前项和为，点在直线上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，求数列的前项和.
20. 给定椭圆C：，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是．
（1）若椭圆C上一动点M1满足||+||=4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2，求P点的坐标.
21. 已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）
（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程；
（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）﹣1≥a.

2014山东省高考压轴卷
文科数学参考答案
1. 【答案】C.
【解析】由A={0，1，2}，B={x|x=2a，a∈A}={0，2，4}，
所以A∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}．
所以A∩B中元素的个数为2．
故选C．
2. 【答案】D.
【解析】因为，所以，所以复数在复平面上对应的点位于第四象限.
3. 【答案】A.
【解析】当时，由平面得，，又直线∥平面，所以。若，则推不出，所以“”是“”的充分不必要条件，选A.
4. 【答案】 A
【解析】当时，由平面得，，又直线∥平面，所以。若，则推不出，所以“”是“”的充分不必要条件，选A.
5. 【答案】B.
【解析】 解：由三视图可知，几何体一三棱锥，底面三角形一边长为6，对应的高为2，几何体高为4
底面积S=×6×2=6，
所以V=Sh=×6×4=8
故选B
6. 【答案】A.
【解析】解：模拟程序框图执行过程，如下；
开始，
输入x：2014，
a=x=2014，
i=1，
b===﹣，
b≠x？
是，
i=1+1=2，
a=b=﹣，
b==；
b≠x？
是，
i=2+1=3，
a=b=，
b==2014；
b≠x？
否，
输出i：3；
故选：A．
7. 【答案】B.

【解析】解：|AB|=5，|yA﹣yB|=4，
所以|xA﹣xB|=3，即=3，
所以T==6，ω=；
∵f（x）=2sin（x+φ）过点（2，﹣2），
即2sin（+φ）=﹣2，
∴sin（+φ）=﹣1，
∵0≤φ≤π，
∴+φ=，
解得φ=，函数为f（x）=2sin（x+），
由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，
得6k﹣4≤x≤6k﹣1，
故函数单调递增区间为[6k﹣4，6k﹣1]（k∈Z）．
故选B.
8. 【答案】C.
【解析】由得。作出可行域如图阴影部分，平移直线，由平移可知，当直线经过点C时，直线的截距最大，此时最大。
由解得，
代入得，选C.
9. 【答案】D.
【解析】 解：设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l0，C是AB的中点，
分别过点A，B作直线l0的垂线，垂足分别为M，N，
由抛物线定义，
得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|
==xA+xB+p=2xC+p=8．
故选：D．
10. 【答案】A.
【解析】解：根据复合函数的单调性可知，f（x）=ln（ex﹣1）（x＞0）为增函数，
∵函数的定义域为（0，+∞）．
∴a＞0，b＞0，
设g（x）=f（x）+2x，
∵f（x）是增函数，
∴当x＞0时，g（x）=f（x）+2x为递增函数，
∵f（a）+2a=f（b）+3b，
∴f（a）+2a=f（b）+3b＞f（b）+2b，
即g（a）＞g（b），
∵g（x）=f（x）+2x为递增函数，
∴a＞b，
故选：A．
11. 【答案】 30.
【解析】落在[80 ,100]上的频率为，所以落在[80 ,100]上的人数为.
12. 【答案】（0，1].
【解析】解：∵函数y=f（x）﹣k存在两个零点，
∴函数y=f（x）与y=k的图象有两个公共点，
在同一个坐标系中作出它们的图象，
由图象可知：实数k的取值范围是（0，1]，故答案为：（0，1].
13. 【答案】1.
【解析】解：∵是公差为1的等差数列，
∴，
∴，
∴
∴数列{lgan}的前9项和为：
S9=（lg2﹣lg1）+（lg3﹣lg2）+…+（lg10﹣lg9）=lg10=1．
故答案为：1．
14. 【答案】（﹣∞，﹣5].
【解析】 解：∵当x≥0时，f（x）=x2，
∴此时函数f（x）单调递增，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数f（x）在R上单调递增，
若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，
则x+a≥3x+1恒成立，
即a≥2x+1恒成立，
∵x∈[a，a+2]，
∴（2x+1）max=2（a+2）+1=2a+5，
即a≥2a+5，
解得a≤﹣5，
即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]；
故答案为：（﹣∞，﹣5].
15. 【答案】5.
【解析】解：由3x+y=5xy得，

∴4x+3y=（4x+3y）（）=，
当且仅当，即y=2x，即5x=5x2，
∴x=1，y=2时取等号．
故4x+3y的最小值是5，
故答案为：5.
16.解：（Ⅰ）且，∴ …………2分
……………………………………………4分
…………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ……………………8分
由正弦定理得，即，解得． ………………………………10分
在中，，所以.
17.证明：（1）设AC∩BD=E，连接D1E，
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1．
∴B1D1∥BE，∵B1D1=BE=，
∴四边形B1D1EB是平行四边形，
所以B1B∥D1E．
又因为B1B⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC，
所以B1B∥平面D1AC
（2）侧棱DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥DD1．
∵下底ABCD是正方形，AC⊥BD．
∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，
∴AC⊥平面B1BDD1
∵AC⊂平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面B1BDD1．
18.解：（I） ……………………………………………………………12分
（Ⅱ）因为第、、组共有名学生，所以利用分层抽样在名学生中抽取名学生，每组分别为：
第组：人，
第组：人，
第组：人，
所以第、、组分别抽取人，人，人. …………6分
设第组的位同学为、、，第组的位同学为、，第组的位同学为，则从六位同学中抽两位同学有种可能如下：
…………10分
所以其中第组的位同学至少有一位同学入选的概率为 …………12分
19. 解：（Ⅰ）由题设知，…………………………1分
得）………………………………2分
两式相减得：
即，…………………………4分
又 得
所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
所以. …………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
因为 所以
所以.……………………8分
令…，
则… ①
… ②
①—②得……………………10分
……………………………………11分
……………………………………12分

20. 解：（1）由题意，，∴=，所以椭圆C的方程为．
其“伴随圆”的方程为x2+y2=6；
（2）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程为（2k2+1）x2+4tkx+2t2﹣4=0
∴由△=（4tk）2﹣8（2k2+1）（t2﹣2）=0得t2=4k2+2①，
由直线l截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，可得，即t2=3（k2+1）②
由①②可得t2=6．
∵t＜0，∴t=﹣，∴P（0，﹣）.
21. （Ⅰ）解：当a=2时，f（x）=2lnx+1，
，f（e）=3，．
∴函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y﹣3=，
即2x﹣ey+e=0；
（Ⅱ）证明：令=，
则，由g′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴g（x）在x=1处取得极小值，也是最小值，
因此g（x）≥g（1）=0，即．
18